Sujet de mathématiques Première D 2e séquence Cameroun

Exercice 1 2 points

1- Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $\sqrt{3-x}=x-1$. 0,75pt

2- Une coopérative décide d’acheter trois terrains. Les terrains $1$, $2$ et $3$ coûtent respectivement $120000$, $325000$ et $136000$. Les membres sont répartis en trois groupes $A$, $B$ et $C$. Le tableau ci-dessous indique ce que chaque membre du groupe a payé.

Déterminer le nombre de membres de chaque groupe. 1,25pt

Exercice 2 3 points

On considère $B(x)=-1+2(\cos x)^2-2\sqrt{3}\sin x\cos x$.

1- Montrer que $B(x)=\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x$. 0,5pt

2- Déterminer $a$ et $b$ tels que $B(x)=a\cos(2x+b)$. 0,75pt

3- Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l’équation $(E)$ : $B(x)=1$. 1pt

4- En déduire l’ensemble solution de $(I)$ : $B(x)\ge 1$. 0,75pt

Exercice 3 4pts

$ABC$ est un triangle équilatéral de côté $5\,\text{cm}$ et de centre de gravité $I$. $D$ et $E$ sont des points tels que $\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{AB}$, $E=\text{bar}((A,2),(C,-1))$, $\overrightarrow{BF}=\dfrac{5}{6}\overrightarrow{BC}$.

1- Faire la figure et placer les points $D$, $E$ et $F$. 0,75pt

2- On désigne par $G$ le barycentre des points $(A,2)$, $(B,-4)$ et $(C,-1)$.

a) Déterminer et construire $G$. 0,75pt

b) Démontrer que $C$, $D$ et $G$ sont alignés. 0,5pt

c) Montrer que les droites $(AF)$, $(BE)$ et $(CD)$ sont concourantes. 0,5pt

3- Déterminer et construire :

a) $(E):\ MB^2+MC^2=25$. 0,75pt

b) $(F):\ |2\vec{MA}+4\vec{MB}-\vec{MC}|=|\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}|$. 0,75pt

Exercice 4 6,5 points

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,I,J)$. On définit $g(x)=\dfrac{x^2-3x+6}{x-1}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

1- Calculer les limites aux bornes du domaine de définition. 1pt

2- En déduire l’asymptote verticale. 0,25pt

3- a) Déterminer $a$, $b$ et $c$ tels que $g(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}$. 0,75pt

b) Déterminer une équation de l’asymptote oblique. 0,25pt

4- Résoudre $\dfrac{x^2-3x+6}{x-1}=-2x+2$ puis conclure sur la position relative de $C_g$ et de son asymptote oblique. 0,75pt

5- Montrer que $\Omega(1;1)$ est centre de symétrie de $C_g$. 0,75pt

6- a) Déterminer la dérivée de $g$ puis étudier le sens de variation de $g$. 1pt

b) Dresser le tableau de variation de $g$. 0,75pt

c) Construire la courbe de $g$ ainsi que ses asymptotes. 1,25pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES 4,5 points

L’unité de longueur est le mètre.

Monsieur Fadil possède une réserve divisée en trois parties. Les parties A et B sont des demi-disques ; la partie C est rectangulaire, de diagonale $PQ=50\,\text{m}$.

Il veut des chèvres sur A, des bœufs sur B et des poulets sur C. L’aire de B vaut deux fois celle de A et il élève $5$ poulets par mètre carré. Le bœuf coûte $1\,000\,000\,\text{F}$ et la chèvre $115\,000\,\text{F}$.

Tâches

1) Déterminer l’aire de la partie A. 1,5pt

2) Calculer le nombre maximal de poulets sur la partie C. 1,5pt

3) Déterminer le nombre de chèvres et de bœufs à acheter. 1,5pt