1ère D : séquence 2 en maths

EXERCICE 1 : 3 PTS

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E)$ : $12x^2+3600x-37200=0$. 0,75 pt

2. Monsieur Ndam doit rembourser une somme de $397\,200$ F en trois tranches. Le premier versement est de $120\,000$ F, chacun des versements suivants correspond au précédent augmenté de $t\%$.

a) Montrer que $t$ vérifie l’équation $(E)$ et calculer $t$. 1,5 pt

b) En déduire chacun des montants des différents versements. 0,75 pt

EXERCICE 2 : 6 PTS

On considère les applications $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ et $g:\mathbb{R}\setminus\{0\}\rightarrow\mathbb{R}\setminus\{3\}$ définies par :

$f(x)=x^2-1$ ;    $g(x)=\dfrac{1-3x}{x}$.

1. L’application $f$ est-elle surjective ? injective ? Justifier votre réponse. 0,75 pt × 2

2. Montrer que $g$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque $g^{-1}$. 2 pts

3. Déterminer l’ensemble de définition $D_{g^{-1}}$ de $g^{-1}$. Puis calculer pour tout $x\in D_{g^{-1}}$, $g^{-1}(x)$. 2 pts

4. Justifier et conclure que pour tout $x$ appartenant à $]0;+\infty[$ : $f(x)=g(x)$. 0,5 pt

Que représente la fonction $f$ pour $g$ ?

PROBLÈME : 11 PTS

Les parties A et B sont indépendantes. Le plan est muni d’un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$.

PARTIE A : 5 pts

1. a) Déterminer le triplet $(x,y,z)$ vérifiant le système :

$\begin{cases} 2x-3y+4z=15\\ -x+2y+z=5\\ x+y+z=2 \end{cases}$ 1,5 pt

b) On donne les points $A(2;3)$, $B(-2;1)$ et $C(1;-1)$. Déterminer une équation cartésienne du cercle $(C)$ circonscrit à $ABC$.

(On rappelle que l’équation cartésienne d’un cercle est de la forme $x^2+y^2+ax+by+c=0$.) 1,5 pt

2. Soit $(C)$ le cercle dont une représentation paramétrique est :

$\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}+2\cos\alpha\\ y=2+2\sin\alpha \end{cases} \quad \text{avec } \alpha\in]-\pi;\pi]$.

a) Les points $A\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}\right)$ et $B(2;1)$ appartiennent-ils à $(C)$ ?

b) Écrire l’équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ passant par $A$. 1 pt

PARTIE B : 6 pts

$ABCD$ est un carré de centre $O$ et de côté $3$ cm. $G$ est le barycentre des points pondérés $(A;1)$, $(B;2)$ et $(C;1)$.

1. Construire le point $G$. 0,5 pt

2. Montrer que les points $B$, $G$ et $O$ sont alignés. 1 pt

3. Calculer $AG^2$, $BO^2$ et $CG^2$. 1 pt

4. On désigne par $(E)$ l’ensemble des points $M$ tels que : $MA^2+2MB^2+MC^2=22$.

a) Montrer que pour tout point $M$ : $MA^2+2MB^2+MC^2=4MG^2+6$. 1 pt

b) En déduire la nature et construire $(E)$. 1 pt

5. On pose $\vec{u}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}$.

a) Écrire $\vec{u}$ en fonction de $\overrightarrow{OD}$. 0,5 pt

b) En déduire la nature et construire l’ensemble $(E')$ des points $M$ du plan tels que : $MD\cdot(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD})=\sqrt{2}$. 1 pt

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES 15,5 points

EXERCICE 1 : 4 points

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $2t^2+\sqrt{3}t-3=0$. 1 pt

2. Déterminer deux nombres réels $r$ et $\varphi$ tels que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, on ait :

$\sqrt{3}\cos x+\sin x=r\cos(x-\varphi)$. 0,5 pt

3. (a) Utiliser les résultats des questions 1 et 2 pour résoudre dans l’intervalle $[0;2\pi[$ l’équation :

$(E)\ :\ (2\sin^2x+\sqrt{3}\sin x-3)(\sqrt{3}\cos x+\sin x-\sqrt{2})=0$. 1,75 pt

(b) Représenter les images des solutions de $(E)$ sur un cercle trigonométrique. 0,75 pt

EXERCICE 2 : 5 points

On considère la fonction numérique définie pour tout réel $x\ne-1$ par : $f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$. On note $(C_f)$, dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$, la courbe représentative de $f$.

1. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 1 pt

2. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x\ne-1$ : $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}$. 0,5 pt

3. Montrer que la droite $(D)$ d’équation $y=x-1$ est une asymptote à $(C_f)$, puis déterminer une équation de l’autre asymptote. 0,75 pt

4. Montrer que le point $\Omega(-1;-2)$ est centre de symétrie de $(C_f)$. 0,75 pt

5. (a) Montrer que pour tout $x\ne-1$ : $f'(x)=\dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2}$. 0,5 pt

(b) En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 0,75 pt

6. Construire la courbe $(C_f)$ ainsi que ses asymptotes. 0,75 pt

EXERCICE 3 : 3,5 points

1. Soient $A$ et $B$ deux points du plan tels que $AB=5$. On désigne par $I$ le milieu de $[AB]$.

(a) Déterminer l’ensemble $\mathcal{E}_1$ des points $M$ du plan tels que : $MA^2+MB^2=25$. 1 pt

(b) Déterminer l’ensemble $\mathcal{E}_2$ des points $M$ du plan tels que : $MA^2-MB^2=0$. 0,75 pt

2. Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. Soient les points $A(-2;3)$ et $B(4;-1)$. On note $I$ le point tel que $B$ soit le symétrique de $A$ par rapport à $I$.

(a) Déterminer les coordonnées du point $I$. 0,5 pt

(b) Montrer que pour tout point $M$ du plan : $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac{AB^2}{4}$. 0,5 pt

(c) Déterminer l’ensemble $\mathcal{E}_3$ des points $M$ du plan tels que : $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=-9$. 0,75 pt

EXERCICE 4 : 3 points

Lors des compositions de fin du $1^{er}$ trimestre, on constate que $25$ élèves ont eu au moins $10/20$ en Maths, $35$ en Physique et $45$ dans l’une ou l’autre de ces matières.

On désigne par $x$, $y$ et $z$ le nombre d’élèves qui respectivement ont eu au moins $10/20$ en Maths exclusivement, en Physique exclusivement et dans les deux matières.

1. (a) Justifier que $x$, $y$ et $z$ vérifient le système $(S)$ : 0,75 pt

$(S)\ \begin{cases} x+y+z=45\\ x+z=25\\ y+z=35 \end{cases}$

(b) En déduire les valeurs de $x$, $y$ et $z$. 0,75 pt

2. Cinq élèves de cette classe dont $2$ filles sont candidats à l’élection d’un bureau constitué d’un chef, de son adjoint et d’un délégué. On admet qu’il n’y a pas de cumul de poste.

(a) Combien peut-on avoir de bureaux ayant une seule fille ? 0,75 pt

(b) Combien peut-on avoir de bureaux ayant un homme comme délégué ? 0,75 pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES 4,5 points

Compétence visée : Lecture, écriture, interaction verbale et interprétation des données comportant des chiffres.

SITUATION :

Trois usines $A$, $B$ et $C$ fabriquent des machines agricoles. L’usine $A$ peut produire en un mois entre $0$ et $40$ machines ; l’usine $B$ peut produire en un mois entre $0$ et $50$ machines ; l’usine $C$ peut produire en un mois entre $40$ et $160$ machines agricoles.

On a modélisé le bénéfice de chaque usine $A$, $B$ et $C$, exprimé en milliers de francs, par les fonctions respectives $f$, $g$ et $h$.

Le bénéfice réalisé par l’usine $A$, exprimé en milliers de francs, est modélisé par la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x\in[0;40]$ par :

$f(x)=-30x^2+1200x+4000$.

Le bénéfice réalisé par l’usine $B$, exprimé en milliers de francs, est modélisé par la fonction $g$ définie pour tout nombre réel $x\in[0;50]$ par :

$g(x)=x^3-96x^2+2484x-10000$.

Le bénéfice réalisé par l’usine $C$, exprimé en milliers de francs, est modélisé par la fonction $h$ définie pour tout nombre réel $x\in[40;160]$ par :

$h(x)=-x+2000-\dfrac{6400}{x}$.

Tâches :

1. Calculer le bénéfice maximal de l’usine $A$. 1,5 pt

2. Calculer le bénéfice maximal de l’usine $B$. 1,5 pt

3. Calculer le bénéfice maximal de l’usine $C$. 1,5 pt

EXERCICE 1 — 6 pts

Les questions de cet exercice sont indépendantes.

1. a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation suivante : $\sqrt{-2x^2+3x+5}=x^2-9$. 1 pt

b) Vérifier que $t=1$ est une racine du polynôme $P(x)=2x^3-9x^2-2x+9$.

En déduire l’ensemble solution de l’équation :

$(\sqrt{x+1})^3-9(\sqrt{x+1})^2-2(\sqrt{x+1})+9=0$. 1 pt

2. Soit l’équation $(E)$ : $(m+2)x^2-2mx+2m-3=0$.

a) Étudier l’équation $(E)$ pour $m=-2$. 0,5 pt

b) Pour quelles valeurs de $m$ l’équation $(E)$ admet :

– Deux solutions. 0,5 pt

– Une seule solution. 0,5 pt

– Aucune solution. 0,5 pt

c) Si ces solutions existent, calculer leur somme et leur produit en fonction de $m$. 0,5 pt

3. Résoudre et discuter, selon les valeurs du nombre réel $m$, le système suivant :

$\begin{cases} (\sqrt{2}-1)x-my=\sqrt{2}-1\\ x-(\sqrt{2}+1)y=m \end{cases}$ 1 pt

EXERCICE 2 — 5 pts

Le plan est muni du repère orthonormé $(O,I,J)$. On considère le triangle $ABC$ tel que : $AB=7$, $BC=4$ et $AC=5$ (Unité : $1$ cm). $I$ est le milieu de $[BC]$. On fera une figure qui sera complète, claire et faite au mesure.

1. Démontrer que $AI=\sqrt{33}$. 1 pt

2. Soit $M$ un point du plan.

a) Pour quelle valeur du nombre réel $m$ le vecteur $\vec{u}=m\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$ est indépendant du point $M$ ? 0,5 pt

b) Déterminer $\vec{u}$ en fonction de $\overrightarrow{AI}$. 0,5 pt

c) Déterminer l’ensemble $(E)$ des points $M$ du plan tels que : $-2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=-58$. 1 pt

3. Soit $D=\mathrm{bar}((A,-1),(B,1),(C,1))$.

a) Donner la nature du quadrilatère $ABCD$. 1 pt

b) Déterminer et construire l’ensemble $(F)$ des points $M$ du plan tels que : $-MA^2+BM^2+MC^2=-25$. 1 pt

PROBLÈME — 9 pts

Partie A — 6 pts

Le triangle magique

On considère le système $(s)$ : $\begin{cases} \cos 3x = 1 \\ \sin 3x = 0 \end{cases}$ dans l’intervalle $]-\pi,\pi]$.

1. Donner les solutions de $(s)$ dans $\mathbb{R}$ puis dans $]-\pi,\pi]$. 1 pt

2. a) En utilisant les formules d’addition, montrer que : $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$. 1 pt

b) Montrer que l’équation $\cos 3x = 1$ équivaut à : $4X^3 - 3X - 1 = 0$. 0,5 pt

c) Factoriser : $4X^3 - 3X - 1 = (X - 1)(4X^2 + aX + b)$. 0,5 pt

d) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $4X^2 + 4X + 1 = 0$ et conclure sur les solutions de l’équation $\cos 3x = 1$ dans $]-\pi,\pi]$. 1 pt

e) Vérifier que les solutions de l’équation $4X^3 - 3X - 1 = 0$ sont aussi les solutions de l’équation $\sin 3x = 0$. 0,5 pt

3. Représentation graphique :

a) Placer sur le cercle trigonométrique les points $A$, $B$ et $C$ images des nombres réels solutions du système $(s)$. 1 pt

b) Donner la nature du triangle $ABC$. 0,5 pt

Partie B — 3 pts

Une commission de 5 membres comprenant 2 filles et 3 garçons doit être constituée à partir de 15 élèves de la classe de 1^ère du Lycée d’Okola (la classe se divisant en 3 filles et 12 garçons).

1. De combien de façons différentes cette commission peut-elle être formée ? 0,5 pt

2. Combien peut-on former de commission comprenant :

a) Une fille nommément désignée doit faire partie de la commission. 1 pt

b) Un garçon doit être écarté de la commission. 0,5 pt

c) Une des filles et un des garçons ne font pas partie de la commission. 1 pt

EXERCICE 1 — 5,5 pts

1. Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions numériques suivantes :

$f(x)=\dfrac{x-1}{|x+3|}$ ; $g(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+x-6}}{|x|+1}$ ; $h(x)=\dfrac{x+3}{\sqrt{3x+1}-5}$ ; $p(x)=\dfrac{7x^2+1}{\sqrt{x+3}-\sqrt{2x-1}}$. 2 pts

2. Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par : $f(x)=\dfrac{6-2x}{x-1}$.

a) Démontrer que $f$ est une bijection. 1 pt

b) Déterminer $f^{-1}$. 0,5 pt

3. Déterminer l’ensemble de définition de $g\circ f$ puis déterminer la fonction $g\circ f$ avec $f(x)=x^2-4$ et $g(x)=\dfrac{\sqrt{x-5}}{x}$. 1 pt

4. Étudier le sens de variation de la fonction $t(x)=-2x^2+4x+5$. 1 pt

EXERCICE 2 — 4,75 pts

$ABC$ est un triangle équilatéral de côté $3$ cm.

$D$ est le point du plan tel que : $4\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC}$.

1. Démontrer que $D$ est le barycentre des points $A$, $B$ et $C$ affectés de coefficients que l’on déterminera. 0,75 pt

2. a) Soit $B'$ le milieu de $[AC]$. Démontrer que $D$ est le barycentre des points $B$ et $B'$ affectés de coefficients que l’on déterminera. 0,75 pt

b) En déduire que $D$ appartient à la médiatrice de $[AC]$. 0,5 pt

3. Calculer $DA^2$ et $DB^2$. 1 pt

4. a) Déterminer l’ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ du plan tels que : $3MA^2-2MB^2+3MC^2=12$. 1 pt

b) Construire l’ensemble $(\Gamma)$. 0,5 pt

c) Vérifier que le centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ appartient à $(\Gamma)$. 0,5 pt

PROBLÈME — 9,75 pts

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A — 3,25 pts

$ABCD$ est un parallélogramme tel que :

On donne les vecteurs : $\vec{u}=\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-4\overrightarrow{MD}$ et $\vec{v}=2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MD}$.

a) Construire le barycentre $G$ des points pondérés $(A,2),(B,-3),(C,0),(D,3)$. 0,5 pt

b) Que peut-on dire du vecteur $\vec{u}$ ? 0,25 pt

2. Déterminer et construire l’ensemble $(\varepsilon)$ des points $M$ tels que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires. 1,5 pt

3. Déterminer l’ensemble $(\beta)$ des points $M$ du plan tels que : $\|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|$. 1 pt

Partie B — 1,75 pts

Soit $ABC$ un triangle. Construire les points $O$, $P$ et $Q$ tels que :

$\overrightarrow{BO}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CP}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AQ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$. 0,75 pt

b) Démontrer que les droites $(AO)$, $(BP)$ et $(CQ)$ sont concourantes. 1 pt

Partie C (4,75 points)

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,I,J)$. On considère les fonctions numériques $f$ et $g$ définies de $[-3;3]$ vers $[-5;4]$ et dont ci-dessous les représentations graphiques $(C_f)$ et $(C_g)$.

5) Déterminer graphiquement :

Exercice 1 : 4 pts

Résoudre les systèmes suivants :

a) $\begin{cases} x^2+y^2=10\\ x+y=\dfrac{5}{2} \end{cases}$

b) $\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=27\\ xy=36 \end{cases}$

Exercice 2 : 3.5 pts

$ABC$ est un triangle. On désigne par $A'$, $B'$ et $C'$ les milieux respectifs des côtés $[BC]$, $[CA]$ et $[AB]$. $D$ est le point tel que $\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.

1) Réaliser une figure. 0.5pt

2) Écrire $D$ comme barycentre des points $A$ et $B$ affectés des coefficients que l’on précisera. 0.75pt

3) Soit $E$ le barycentre des points $(A,2)$ ; $(B,1)$ et $(C,1)$.

a) Montrer que $E$ est le milieu du segment $[A'C]$. 0.75pt

b) Montrer que les points $C$, $D$ et $E$ sont alignés. 0.5pt

4) Démontrer que les droites $(AA')$, $(B'C')$ et $(CD)$ sont concourantes. 1pt

Exercice 3 : 4.5 pts

1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ le système :

$\begin{cases} x+y+z=90\\ 6x+3y+4z=380\\ 2x+y+z=125 \end{cases}$ 3pts

2) Deux hommes d’affaires organisent un partage de chasse aux antilopes, aux autruches et aux oies. À leur retour, on lit sur le rapport de chasse : « 90 têtes et 250 pattes d’animaux tués. Le transporteur perçoit une somme de $19000\ \text{F}$ : antilope à $3000\ \text{F}$ par tête, autruche à $1500\ \text{F}$ par tête et oie à $200\ \text{F}$ par tête. Combien d’antilopes, d’autruches et d’oies ont été ramenées de cette partie de chasse ? » 1.5pt

Exercice 4 : 3.5 pts

Soit l’équation $(E)$ : $x^4+10x^3+26x^2+10x+1=0$.

1) a) Montrer que $0$ n’est pas solution de $(E)$. 0.5pt

1) b) En déduire que l’équation $(E)$ a mêmes solutions que l’équation $(E')$ : $x^2+10x+26+\dfrac{10}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0$. 0.75pt

2) On pose $X=x+\dfrac{1}{x}$. 0.75pt

a) Montrer que $X^2-2=x^2+\dfrac{1}{x^2}$. 0.5pt

b) Montrer que si $x$ est solution de $(E')$ alors $X$ est solution de l’équation $(E'')$ : $X^2+10X+24=0$. 0.75pt

c) Résoudre $(E'')$ puis déduire les solutions de $(E)$. 1pt

Partie B : Evaluation des competences 4.5pts

L’association $AJB$ décide d’acheter un terrain rectangulaire de périmètre $292\ \text{m}$ et d’aire $5185\ \text{m}^2$ coûtant $7862500\ \text{FCFA}$.

Afin d’obtenir ce montant pour l’achat, le club décide de placer les $7000000\ \text{FCFA}$ dont elle dispose dans un fonds, dans un élan de trois ans au taux d’intérêt composé de $x\%$ (à la fin de première année, le capital s’ajoute aux intérêts pour donner le nouveau capital). Dans la même ville, une autre association $AJB$ intéressée par le même terrain décide que chacun de ses membres doit contribuer équitablement pour l’achat de ce terrain. Le jour de la contribution, $10$ membres résistent et chacun des membres présents doit alors contribuer $12500\ \text{FCFA}$ de plus.

1) Déterminer les dimensions de ce terrain. 1.5pt

2) Déterminer le taux d’intérêt du placement. 1.5pt

3) Déterminer le nombre de membres de l’association $AJB$. 1.5pt

Exercice I (5 pts)

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $(E_1): -\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+1=0$   ;   $(I_1): \sqrt{3}\,x^2+(1+\sqrt{3})x+1\ge 0$.

2. Mme Ngono a hérité de son père un terrain rectangulaire de $230\,\text{m}$ de périmètre. Elle a vendu ce terrain à $600000\,\text{F}$ la raison de $2000\,\text{F}$ le mètre carré. Déterminer les dimensions de ce terrain.

3. On considère la fonction polynôme définie par $f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+1$ et sa représentation graphique dans le plan muni d’un repère $(O,i,j)$.

a) Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole.

b) Construire graphiquement la courbe $C$.

c) Résoudre graphiquement : $f(x)=2$ ; $f(x)<-3$.

d) Retrouver par calcul le résultat de la question c).

Exercice II (4 pts)

1. On veut résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E)$ : $(\sin x)^4+(\sin x)^2=\dfrac{3}{4}$.

a) Montrer que pour tout réel $a,b$ : $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$.

b) Exprimer $\sin 2x$ en fonction de $\sin x$.

c) En déduire que $(\sin x)^4+(\sin x)^2=\dfrac{1}{2}\sin^2 2x$.

d) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E)$.

e) Placer les images solutions de $(E)$ sur un cercle trigonométrique.

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E')$ : $\sin 2x=\sqrt{2}\sin x$.

PROBLÈME

PARTIE A (5 pts)

1. a) Montrer que $(1+\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{2}$.

b) Montrer que $\dfrac{1}{1+\tan^2 x}=\cos^2 x$.

2. Soit l’équation $(E_2)$ : $\dfrac{1}{1+\tan^2 x}+(1-\sqrt{2})\cos x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0$.

a) Résoudre dans $\mathbb{R}$, puis dans $]-\pi,\pi]$, l’équation $(E_2)$ et placer les solutions dans un cercle trigonométrique.

b) Résoudre dans $[0,2\pi[$ l’inéquation $\dfrac{1}{1+\tan^2 x}+(1-\sqrt{2})\cos x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ge 0$.

3. On considère l’application $f(x)=3\cos 2x-\sin 2x$.

a) Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)=2\sin(2x-\dfrac{\pi}{3})$.

b) Résoudre dans $[-\pi,\pi]$ l’équation $f(x)-1=0$.

PARTIE B (5 pts)

1. On considère le triangle isocèle en $A$. Soit $I$ milieu de $[BC]$ et $G$ barycentre des points pondérés $(A,3)$ ; $(B,-1)$ ; $(C,-1)$.

a) Construire les points $A,B,C$ et $G$.

b) Calculer $\overrightarrow{AI}$ puis exprimer $\overrightarrow{AG}$ en fonction de $\overrightarrow{AI}$ et en déduire que les points $A,G,I$ sont alignés.

2. Calculer $GA^2$ ; $GB^2$ ; $GC^2$.

3. Déterminer l’ensemble $(C)$ défini par : $3MA^2-MB^2-MC^2=11$.

4. On donne $A(1,2)$ ; $B(-1,2)$ et $C(-3,2)$.

a) Déterminer les coordonnées de $G$ et $I$.

b) On pose $M(x,y)$ ; exprimer $MG^2$ en fonction de $x$ et de $y$.

c) En déduire l’équation cartésienne de $(C)$.

d) Déterminer l’équation paramétrique de $(C)$.

Exercice 1 : 03 Points

A- Une équation $(E)$ admet deux solutions $x_1$ et $x_2$ vérifiant : $\begin{cases} x_1x_2+2x_1+2x_2=3\\ x_1-2x_1x_2+x_2=4 \end{cases}$

1- Reformer cette équation. 0.75pt

2- En déduire les valeurs de $x_1$ et $x_2$. 0.75pt

B- La jeune Françoise, ne voulant pas épouser un riche homme d’affaire que lui proposaient ses parents, le trouvait trop âgé pour elle. En effet, il avait trois fois son âge. Son père lui demanda : « Mais si au lieu du triple, il avait juste le double ? ». La jeune fille répondit : « alors j’accepterais ». Françoise a dû épouser l’homme d’affaires lorsque celui-ci eut ses $64$ ans. Quel était alors l’âge de la jeune fille et de l’homme d’affaire lors de la demande en mariage ? 1.5pt

Exercice 2 : 06 Points

A- On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par : $f(x)=\dfrac{x+1}{x^2-11-x+1}$ ; $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$.

1- Déterminer les ensembles de définition de $f$ et $g$. 1pt

2- Montrer que lorsque $g(x)$ existe, on a : $g(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$. 0.5pt

3- Déterminer la valeur exacte du nombre $m=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{9}}$. 1pt

B- On considère une fonction $h$ du second degré vérifiant $h(1)=1$, $h(-2)=-20$ et $h(3)=-5$, avec $h(x)=ax^2+bx+c$.

1- a) Montrer que le triplet $(a,b,c)$ est solution du système : $\begin{cases} a+b+c=1\\ 4a-2b+c=-20\\ 9a+3b+c=-5 \end{cases}$ 0.5pt

b) Déterminer l’expression de $h(x)$ en fonction de $x$. 1.5pt

2- On pose $t(x)=\dfrac{-2x^2+5x-2}{x^2-4}$ ; $k(x)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{x}$ et $p=k\circ t$.

a) Déterminer les ensembles de définition des fonctions $t$ et $k$. 1pt

b) Déterminer l’ensemble de définition $D_p$ de $p$. 0.5pt

c) Montrer que pour tout $x\in D_p$, $p(x)=\dfrac{x-2}{1-2x}$. 0.5pt

PROBLÈME : 11 Points

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère un triangle équilatéral $ABC$ de centre $O$. On désigne par $(C)$ le cercle circonscrit au triangle $ABC$. $I$ est le milieu du segment $[AB]$ et $J$ est le milieu de $[OI]$. Les droites $(OA)$ et $(OC)$ coupent le cercle $(C)$ respectivement en $D$ et $E$. On donne $OA=4\ \text{cm}$. On fera une figure que l’on complètera au fur et à mesure.

Partie A : (03.5 Points)

1- On désigne par $G$ l’isobarycentre des points $A,B,C,D$ et $E$.

a) Démontrer que $\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{OB}$. 0.75pt

b) En remarquant que $O$ est milieu de $[CE]$, écrire $G$ comme barycentre des points $I$, $C$ et $D$. 0.5pt

c) En déduire que $G$ est le barycentre des points $J$ et $D$ affectés des coefficients respectifs $4$ et $1$. 0.5pt

d) Justifier que les droites $(OB)$ et $(DJ)$ se coupent en $G$. Placer $G$ sur la figure. 0.5pt

2- Soit $(T)$ l’ensemble des points $M$ du plan tels que $MA^2=3MB^2$.

a) Déterminer et construire $(T)$. 1pt

b) Que représente $(T)$ pour le cercle $(C)$ ? 1pt

Partie B : (05.5 Points)

$F$ et $H$ sont deux points tels que $ADFH$ est un carré de côté $8\ \text{cm}$. On place sur les segments $[AD]$, $[DF]$, $[FH]$ et $[HA]$ les points respectifs $M,N,P$ et $Q$ tels que $AM=DN=FP=HQ=x$.

1- Placer sur la figure les points $F,H,M,N,P$ et $Q$. 0.5pt

2- Quelles sont les valeurs extrêmes de $x$ ? 0.5pt

3- Montrer que le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{MQ}$ est nul. 0.75pt

4- Vérifier que $MN=\sqrt{2x^2-16x+64}$. 0.75pt

5- En déduire que le quadrilatère $MNPQ$ est un carré. 0.75pt

6- On désigne par $\mathcal{A}(x)$ l’aire du carré $MNPQ$.

a) Exprimer $\mathcal{A}(x)$ en fonction de $x$. 0.5pt

b) Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $\mathcal{A}(x)=34\ \text{cm}^2$. 1pt

c) Montrer que pour tout $x\in]1,7[$, $\mathcal{A}(x)<50$. 1pt

Partie C : (02 Points)

On admet que $G=\text{bar}((B,1),(O,4))$. On considère le point $K=\text{bar}((B,1),(O,-4))$. $(E)$ désigne l’ensemble des points $M$ du plan tels que $\dfrac{MB}{MO}=4$.

1- Montrer que $MB^2=4(MB^2+MO^2)-(MB-MO)^2$. 0.75pt

2- Déterminer l’ensemble $(E)$. 0.75pt

3- Construire $(E)$ sur la figure. 0.5pt

EXERCICE 1 6 points

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$. [0,75pt × 4 = 3pts]

$(E_1):\ x^2-|x|+1=0$ ;

$(E_2):\ x^2-mx+m=0,\ m\in\mathbb{R}$ ;

$(I_1):\ x^2-x-6<0$ ;

$(E_3):\ \dfrac{1}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{\sqrt{x}}{4}$.

2. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ par la méthode du pivot de Gauss. [1,5pt × 2 = 3pts]

$(S_1):\ \begin{cases} x+y-z=0\\ x-y+z=2\\ x+y+z=4 \end{cases}$

$(S_2):\ \begin{cases} x-3y+2z=1\\ 3x+2y-z=10\\ 5x+y+z=4 \end{cases}$

EXERCICE 2 7 points

1. $f$ et $g$ sont deux fonctions de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$, définies par : $f(x)=\dfrac{x+1}{2-x}$ et $g(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}$.

a) Déterminer $D_f$, $D_g$ et $D_{g\circ f}$. [1pt]

b) Déterminer $f\circ g$. Que remarque-t-on ? [1pt]

2. On considère la fonction $h$ définie par : $h(x)=x^2-8x+7$.

a) Écrire $h(x)$ sous la forme canonique. [0,5pt]

b) Démontrer que la fonction $h$ présente un minimum sur $\mathbb{R}$. [1pt]

c) Démontrer que pour tout $x\in[4,5]$, $\dfrac{5}{4}\le h(x)\le 5$. [1pt]

d) Construire sur $[0,10]$ la courbe de la fonction $y=x^2$. [0,5pt]

e) En déduire la courbe de $h$ à partir de celle de $y=x^2$, après avoir donné le programme de construction de $(C_h)$. [1pt]

f) Donner la nature et les éléments caractéristiques de $(C_h)$. [2pts]

On vous donne ci-dessous une représentation graphique de la fonction $f$ et de la droite $(D)$ d’équation $y=-2$.

1) Résoudre graphiquement l’équation $f(x)=-2$. [1pt]

2) Résoudre graphiquement l’inéquation $f(x)>-2$. [1pt]

EXERCICE 4 5 points

Soit le vecteur $\vec{V}=2\vec{MA}+\vec{MB}-3\vec{MC}$, un vecteur du plan.

1. Réduire l’expression $\vec{V}$. 1pt

2. Soit $I$ le barycentre des points $(A,2)$ et $(B,1)$, et $G$ le barycentre des points $(A,4)$ et $(B,2)$.

a) Exprimer $\vec{V}$ en fonction des points $I$ et $C$. 1pt

b) Exprimer $4\vec{MA}+2\vec{MB}$ en fonction des points $M$ et $G$. 1pt

3. Déterminer et construire le lieu des points $M$ du plan tels que :

a) $|4\vec{MA}+2\vec{MB}|=|2\vec{MA}+\vec{MB}-3\vec{MC}|$. 1pt

b) $(4\vec{MA}+2\vec{MB})\cdot(2\vec{MA}+\vec{MB}-3\vec{MC})=0$. 1pt

EXERCICE 1 : (04,25 POINTS)

A- Le problème consiste à résoudre l’équation $(E)$ : $x^4+5x^3+8x^2+5x+1=0$.

1- Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E')$ : $x^2+5x+6=0$. 0.5pt

2- Montrer que si $x$ est solution de $(E)$ alors $x\ne 0$. 0.25pt

3- Montrer que l’équation $(E)$ est équivalente à $(E'')$ : $(x+\dfrac{1}{x})^2+5(x+\dfrac{1}{x})+6=0$. 0.75pt

4- Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $(E_1): x+\dfrac{1}{x}=-2$ et $(E_2): x+\dfrac{1}{x}=-3$. 1.5pt

5- En déduire les solutions de $(E)$. 0.5pt

B- Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :

$f(x)=\dfrac{x+1}{x^2-1}$ ; $g(x)=\dfrac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x^2+2x}}$ ; $h(x)=\sqrt{x^2+5x+6}$. 0.75pt

EXERCICE 2 : (05,00 POINTS)

$ABC$ est un triangle rectangle isocèle en $A$ et $D$ un point tel que $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$.

1- Montrer que $D$ est le barycentre des points $(A,4)$, $(B,-1)$ et $(C,-1)$. 0.5pt

2- Soit $K$ le milieu du segment $[BC]$. Montrer que $A$ est le milieu du segment $[DK]$. 0.25pt

3- Soient $P,Q$ et $R$ tels que : $\overrightarrow{CA}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BR}=\dfrac{5}{8}\overrightarrow{BC}$.

a) Représenter les points $D,K,P,Q$ et $R$. 0.5pt

b) Écrire $D$ comme barycentre de $A$ et $C$, $Q$ comme barycentre de $A$ et $B$, et $R$ comme barycentre de $B$ et $C$. 1pt

4- Montrer que les droites $(AK)$, $(BP)$ et $(CQ)$ sont concourantes. 0.75pt

5- On suppose que $AB=6$. Déterminer et construire l’ensemble des points $M$ tels que : $MB+MC=3I$. 1pt

EXERCICE 3 : (03,50 POINTS)

La courbe ci-dessous est celle d’une fonction $f$.

1- Déterminer le domaine de définition de $f$. 0.75pt

2- Déterminer $f(-2)$, $f(0)$ et $f(2)$. 0.75pt

3- Déterminer les antécédents de $0$ et $2$. 0.75pt

4- Déterminer l’image directe de $[-1;4]$ et $[-1;3]$. 0.75pt

5- Déterminer l’image réciproque de $[-2;0]$ et $[0;2]$. 0.5pt

6- Établir le tableau de variation de $f$. 1pt

PROBLÈME : (07,25 POINTS)

Partie A

$ABC$ est un triangle tel que $AB=2\sqrt{2}$, $AC=3\sqrt{2}$ et $BC=\sqrt{26}$. $(\Gamma)$ est l’ensemble des points $M$ tels que $2MA^2-MB^2+MC^2=10$. $G$ est le barycentre des points $A,B,C$ affectés des coefficients $2,-1,1$.

1. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. 0.5pt

2. Prouver que $CA^2=\dfrac{26}{4}$, $BG^2=\dfrac{9}{4}$ et $AG=GC$. 1.5pt

3. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $(\Gamma)$. 1pt

Partie B

Dans un repère orthonormé $(O,I,J)$, on considère $A(4,4)$, $B(2,2)$, $C(7,1)$ et $D(7,2)$.

1. Déterminer les points $M$ tels que $DM\cdot DB=-2$. 0.25pt

2. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $(\Delta)$. 1pt

3.a) Montrer que $M\in(\Gamma)\iff x^2+y^2-13x-7y+48=0$. 1pt

3.b) Montrer que $M\in(\Delta)\iff y=-x+8$. 1pt

4.a) Calculer la distance $d$ entre $(\Gamma)$ et $(\Delta)$ et conclure. 0.25pt

4.b) Déterminer les coordonnées des points d’intersection $E$ et $F$. 1pt

5. Représenter le triangle $ABC$ et construire $(\Gamma)$ et $(\Delta)$. 2pts

Exercice 1 (3 points)

1) Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système suivant :

$\begin{cases} x+y+z=89\\ 30x+40y+35z=3130\\ 40x+10y+16z=1820 \end{cases}$ 1.5pt

2) Un potier fabrique trois types d’objets $A$, $B$ et $C$.

• $2\,\text{kg}$ d’argile et $3\,\text{h}$ pour un objet $A$.
• $500\,\text{g}$ d’argile et $4\,\text{h}$ pour un objet $B$.
• $800\,\text{g}$ d’argile et $3\,\text{h}$ pour un objet $C$.

En $31\,\text{h}$ de travail, il utilise $91\,\text{kg}$ d’argile pour fabriquer $89$ objets. Déterminer le nombre d’objets de chaque type. 1.5pt

Exercice 2 (3 points)

On considère le polynôme $P(x)=2x^3-3x^2-5x+6$.

1) Montrer que $1$ est une racine de $P(x)$. 0.5pt

2) Déterminer $a$, $b$ et $c$ tels que $P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)$. 0.75pt

3) En déduire les solutions de $P(x)=0$ dans $\mathbb{R}$. 0.75pt

4) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $P(x)\ge 0$. 0.75pt

Exercice 3 (4 points)

On rappelle que $\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

1) Montrer que pour tout $x$ tel que $\tan x$ et $\tan 2x$ existent : $\tan 2x=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2 x}$. 1pt

2) On pose $t=\tan\dfrac{\pi}{12}$.

a) Montrer que $t$ est solution de $x^2+2\sqrt{3}x-1=0$. 0.5pt

b) Résoudre cette équation dans $\mathbb{R}$. 0.5pt

c) En déduire $\tan\dfrac{\pi}{12}=\sqrt{3}-2$. 0.5pt

3) Calculer $\cos\dfrac{\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{\pi}{12}$. 0.5pt

4) Calculer $\cos\dfrac{5\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{5\pi}{12}$. 1pt

Exercice 4 (5 points)

ABC est un triangle rectangle en A tel que $AB=3cm$, $AC=4cm$; I, J, K et O sont des points du plan tels que $\overrightarrow{BI}=\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AJ}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{AB}$ et O milieu de [JB]. On note G le barycentre du système $\{(A,-1),(B,2),(C,3)\}$ et on considère l’ensemble $(\mathcal{C})$ des points M du plan vérifiant $MJ^2+MB^2=\frac{81}{2}$.

Partie B : Évaluation des compétences (5 points)

Situation problème.

M. BOUBA est un grossiste qui livre des produits dans un marché à Bafoussam. Il livre un produit coûtant 120000FCFA à la fin du mois d’octobre 2020 dans ce marché. Au mois de novembre 2020, ce produit a subi une baisse d’un taux de $x\%$. Au mois de décembre 2020, ce produit a subi une augmentation d’un taux de $(x + 5)\%$ ; ce produit coûte alors 125400FCFA en décembre 2020.

Alice, la fille de M. BOUBA doit participer à une excursion en décembre organisée par son école dont le coût de transport s’élève à 15000FCFA et qui doit être équitablement supporté par tous les participants. Au moment du départ, 5 élèves sont absents et chaque participant voit sa contribution augmentée de 1000FCFA. M. BOUBA a donné 6500FCFA à Alice à cet effet.

M. BOUBA est un grand supporter de football; il doit voyager avec un groupe d’amis pour assister à un match en décembre 2020 dont le coût du transport doit être équitablement supporté par tous les participants. L’agence de voyage a donné les termes suivants : si le groupe est seul, il paie 720000FCFA et s’il y’a d’autres supporters de plus, le coût de location est fixé à 770000FCFA. Au moment du départ, 10 nouveaux supporters s’ajoutent et la contribution de chacun diminue de 1000FCFA. M. BOUBA a prévu 11500FCFA pour cela.

Tâches.

Exercice 1 3pts

1) Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système :

$\begin{cases} 3a+b+5c=370\\ 3a+5b+2,5c=350\\ 4a+4b+2,5c=380 \end{cases}$ 1.5pt

2) Une entreprise fabrique chaque jour trois alliages $A$, $B$ et $C$ (fer, plomb, cuivre). L’alliage $A$ contient $30\%$ de fer, $30\%$ de plomb et $40\%$ de cuivre. L’alliage $B$ contient $10\%$ de fer, $50\%$ de plomb et $40\%$ de cuivre. L’alliage $C$ contient $50\%$ de fer, $25\%$ de plomb et $25\%$ de cuivre. L’usine dispose de $37\,\text{kg}$ de fer, $35\,\text{kg}$ de plomb et $38\,\text{kg}$ de cuivre. Quelle quantité de chacun des alliages doit-elle produire pour épuiser son stock ? 1.5pt

EXERCICE 2 8pts

$ABC$ est un triangle quelconque. $I$, $J$, $K$ et $L$ sont définis par : $\overrightarrow{AJ}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}$, $L=\text{bar}((B,1),(C,2))$.

1. Construire les points $I$, $J$ et $K$. 1.5pt

2.

a) Écrire $J$ comme barycentre de $A$ et $C$. 0.5pt

b) Écrire $K$ comme barycentre de $A$ et $B$. 0.5pt

3. Soit $D=\text{bar}((A,2),(B,3),(C,6))$.

a) Montrer que $D$ appartient aux droites $(CK)$ et $(BJ)$. 1pt

b) En déduire que les droites $(AI)$, $(CK)$ et $(BJ)$ sont concourantes. 1pt

4. Soit $(E)$ l’ensemble des points $M$ tels que $AM^2+CM^2=\dfrac{5}{4}AC^2$.

a) Vérifier que $I\in(E)$. 1pt

b) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $(E)$. 1.5pt

c) Construire $(E)$. 1pt

EXERCICE 3 4pts

La courbe ci-dessous représente le graphe d’une fonction $f$ sur $[-3;4]$. On définit $g_1(x)=-f(x)$, $g_2(x)=f(-x)$ et $g_3(x)=f(x-1)$.

Construire distinctement $(C_{g_1})$, $(C_{g_2}) sur la figure 1, puis $(C_{g_3})$ et $(C_{g_4})$ sur la figure 2. 1pt / courbe

PROBLÈME 5pts

On donne les courbes $(C_f)$ et $(\Delta)$ des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.

1. Résoudre graphiquement dans $[-2;5]$ :

a) $f(x)=g(x)$ ;    b) $f(x)\le g(x)$. 1.5pt

2. Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-2x-1$. 0.5pt

a) Montrer que $f(b)-f(a)=\dfrac{(b-a)(b+a-4)}{2}$. 0.75pt

b) Étudier les variations de $f$ dans $[-2;5]$. 1pt

c) Dresser le tableau de variation de $f$ dans $[-2;5]$. 0.75pt

3. Ranger dans l’ordre croissant $f(4{,}01)$, $g(4{,}01)$ et $f(4{,}02)$. 0.5pt

Exercice 1 2 points

1- Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $\sqrt{3-x}=x-1$. 0,75pt

2- Une coopérative décide d’acheter trois terrains. Les terrains $1$, $2$ et $3$ coûtent respectivement $120000$, $325000$ et $136000$. Les membres sont répartis en trois groupes $A$, $B$ et $C$. Le tableau ci-dessous indique ce que chaque membre du groupe a payé.

Déterminer le nombre de membres de chaque groupe. 1,25pt

Exercice 2 3 points

On considère $B(x)=-1+2(\cos x)^2-2\sqrt{3}\sin x\cos x$.

1- Montrer que $B(x)=\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x$. 0,5pt

2- Déterminer $a$ et $b$ tels que $B(x)=a\cos(2x+b)$. 0,75pt

3- Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l’équation $(E)$ : $B(x)=1$. 1pt

4- En déduire l’ensemble solution de $(I)$ : $B(x)\ge 1$. 0,75pt

Exercice 3 4pts

$ABC$ est un triangle équilatéral de côté $5\,\text{cm}$ et de centre de gravité $I$. $D$ et $E$ sont des points tels que $\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{AB}$, $E=\text{bar}((A,2),(C,-1))$, $\overrightarrow{BF}=\dfrac{5}{6}\overrightarrow{BC}$.

1- Faire la figure et placer les points $D$, $E$ et $F$. 0,75pt

2- On désigne par $G$ le barycentre des points $(A,2)$, $(B,-4)$ et $(C,-1)$.

a) Déterminer et construire $G$. 0,75pt

b) Démontrer que $C$, $D$ et $G$ sont alignés. 0,5pt

c) Montrer que les droites $(AF)$, $(BE)$ et $(CD)$ sont concourantes. 0,5pt

3- Déterminer et construire :

a) $(E):\ MB^2+MC^2=25$. 0,75pt

b) $(F):\ |2\vec{MA}+4\vec{MB}-\vec{MC}|=|\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}|$. 0,75pt

Exercice 4 6,5 points

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,I,J)$. On définit $g(x)=\dfrac{x^2-3x+6}{x-1}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

1- Calculer les limites aux bornes du domaine de définition. 1pt

2- En déduire l’asymptote verticale. 0,25pt

3- a) Déterminer $a$, $b$ et $c$ tels que $g(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}$. 0,75pt

b) Déterminer une équation de l’asymptote oblique. 0,25pt

4- Résoudre $\dfrac{x^2-3x+6}{x-1}=-2x+2$ puis conclure sur la position relative de $C_g$ et de son asymptote oblique. 0,75pt

5- Montrer que $\Omega(1;1)$ est centre de symétrie de $C_g$. 0,75pt

6- a) Déterminer la dérivée de $g$ puis étudier le sens de variation de $g$. 1pt

b) Dresser le tableau de variation de $g$. 0,75pt

c) Construire la courbe de $g$ ainsi que ses asymptotes. 1,25pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES 4,5 points

L’unité de longueur est le mètre.

Monsieur Fadil possède une réserve divisée en trois parties. Les parties A et B sont des demi-disques ; la partie C est rectangulaire, de diagonale $PQ=50\,\text{m}$.

Il veut des chèvres sur A, des bœufs sur B et des poulets sur C. L’aire de B vaut deux fois celle de A et il élève $5$ poulets par mètre carré. Le bœuf coûte $1\,000\,000\,\text{F}$ et la chèvre $115\,000\,\text{F}$.

Tâches

1) Déterminer l’aire de la partie A. 1,5pt

2) Calculer le nombre maximal de poulets sur la partie C. 1,5pt

3) Déterminer le nombre de chèvres et de bœufs à acheter. 1,5pt