Examen de mathématiques 5e séquence 3e

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES : 5 points

EXERCICE 1 : (1,5 points)

1. Calculer $PGCD(324;654)$ par l’algorithme de votre choix. 0,5pt
2. Rendre irréductible la fraction $A=\dfrac{2}{5}-\dfrac{12}{5}\div4$. 0,5pt
3. (a) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $B=-3\sqrt{12}+\sqrt{16}+4\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$. 0,5pt
   (b) Sachant que $1,73<\sqrt{3}<1,74$, donner un encadrement à $10^{-2}$ près de $4-2\sqrt{3}$. 0,5pt

EXERCICE 2 : (1,75 points)

1. On considère l’expression $P=(2x-3)^2-4x^2$. Montrer que $P=-3(4x-3)$. 0,5pt
2. Choisir la bonne réponse pour l’affirmation suivante :
   « La condition d’existence de $F=\dfrac{(x-3)(4x-3)}{(x+1)(x-2)}$ est : »
   (a) $x\neq3$ et $x\neq\dfrac34$
   (b) $x\neq3$ ou $x\neq\dfrac34$
   (c) $x\neq-1$ et $x\neq2$
   (d) $x\neq-1$ ou $x\neq2$
   0,5pt
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation suivante : $2x-3\leq3x+1$. 0,75pt

EXERCICE 3 : (1,75 points)

Le tableau ci-dessous représente les notes sur 20 en mathématiques d’une classe de $3^{ème}$. Ces résultats sont regroupés dans des classes d’amplitude 4.

1. Combien d’élèves compte cette classe ? 0,25pt
2. Donner la ou les classe(s) modale(s) de cette série statistique. 0,5pt
3. Reprendre ce tableau en faisant ressortir les centres des classes, puis calculer la moyenne générale obtenue en mathématiques par cette salle de classe. 1pt

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES : 5 points

EXERCICE 1 : (1,25 points)

La figure ci-contre représente la charpente du toit d’un notable. Elle a la forme d’une pyramide régulière de base carrée de côté $3m$ et son volume est de $6000$ litres.

1. Montrer que la hauteur de cette pyramide est de $2m$. 0,5pt
2. Pour créer un grenier à l’intérieur de cette charpente pyramidale, on sépare cette pyramide à mi-hauteur par une plaque métallique parallèle à la base. La partie $MNPQIJKL$ constitue un tronc de pyramide représentant le grenier.
   (a) Calculer le coefficient de réduction $K$ de cette séparation. 0,25pt
   (b) En déduire la contenance de ce grenier. 0,5pt

EXERCICE 2 : (3,25 points)

On munit le plan d’un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ d’unité $1cm$. Les points $A(-4;1)$, $B(2;3)$ et la droite $(D):y=-3x+5$ sont donnés. La figure sera complétée progressivement.

1. Placer les points $A$ et $B$ dans le repère, puis construire la droite $(D)$. 1pt
2. (a) Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ et déterminer un vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite $(D)$. 0,5pt
   (b) Déduire que les vecteurs $\vec{u}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont orthogonaux. 0,25pt

3. Montrer que la droite $(AB)$ a pour équation $(AB):x-3y+7=0$. 0,5pt
4. (a) Vérifier que $I(-1;2)$ est le milieu du segment $[AB]$ et que $I\in(D)$. 0,75pt
   (b) Que représente $(D)$ pour le segment $[AB]$ ? 0,25pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (10 points)

Situation :

Contexte et motivation du projet

Pour ses besoins de santé, Mr André décide d’aller en Inde afin de bénéficier de soins appropriés pour une bonne guérison. Le coût du voyage étant élevé, il se voit contraint de vendre son terrain situé à Japoma.

Conditions financières de la vente

Il contacte un démarcheur et tous deux s’accordent sur une somme de $16.000\ \text{fcfa par } m^2$, à laquelle s’ajoute une caution de $150.000\ \text{fcfa}$ pour les frais de signature des documents, quel que soit le prix proposé par le client du démarcheur.

Subdivision du terrain et offres reçues

Dans l’optique d’obtenir le bénéfice maximal, le démarcheur décide de subdiviser le terrain en trois lots, comme l’indique la figure ci-dessous. En raison de sa position, le lot 1 intéresse une station-service qui propose une somme de $2.800.000\ \text{fcfa}$.

Pour le lot 2, un commerçant fait une offre de $3.500.000\ \text{fcfa}$. Quant au lot 3, un enseignant propose un montant de $3.000.000\ \text{fcfa}$.

Données géométriques utiles

NB : On rappelle que l’aire d’un triangle est donnée par $\mathcal{A}=\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}$. On prendra : $\sin53^\circ=0,8$, $\cos53^\circ=0,6$ et $\tan53^\circ=1,3$.

Tâches :

1. L’offre de la station-service est-elle avantageuse pour le démarcheur ? 3 pts
2. L’offre du commerçant est-elle avantageuse pour le démarcheur ? 3 pts
3. L’offre de l’enseignant est-elle avantageuse pour le démarcheur ? 3 pts