Épreuve corrigée de maths 5e séquence 3e

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (10 points)

A – ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (05 points)

Exercice 1 : (1,75 points)

On considère le polynôme $P$ du second degré défini par $P(x)=9x^2-42x+33$.

1. Calculer et écrire $P(\sqrt3)$ sous la forme $a-b\sqrt3$, $a$ et $b$ étant des entiers. 0,5pt
2. Montrer que $P(x)=(3x-7)^2-16$. 0,75pt
3. Factoriser $P(x)$. 0,5pt

Exercice 2 : (3 points)

On considère le tableau statistique ci-dessous donnant les masses en kilogrammes des $150$ élèves des classes de $3^{ème}A$ et $3^{ème}B$ d’un collège de la ville.

1. Sachant que la moyenne de cette série statistique est $M=50,16\ \text{kg}$, montrer que $a$ et $b$ vérifient le système $\begin{cases}a+b=56\\25a+29b=1448\end{cases}$. 1pt
2. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système $(S)$. 1,5pt
3. En prenant $a=44$ et $b=12$, construire l’histogramme associé à cette série statistique. 0,75pt

B – ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (05 points)

Exercice 1 : (2 points)

On considère dans le plan la droite $(D): -x+3y+1=0$ et les points $A(-1;1)$, $B(2;-3)$ et $C(1;m)$.

1. Déterminer le coefficient directeur de chacune des droites $(D)$ et $(AB)$. 1pt
2. Déterminer le réel $m$ pour que le point $C$ appartienne à la droite $(D)$. 1pt

Exercice 2 : (3 points)

1. Placer dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ les points $A(-2;2)$ et $B(1;8)$. 0,5pt
2. Que calcule-t-on lorsqu’on écrit :
   a) $\left(\dfrac{-2+1}{2}\;;\dfrac{2+8}{2}\right)$ ;
   b) $\sqrt{(1+2)^2+(8-2)^2}$ ;
   c) $(1+2\;;8-2)$ ?
   0,75pt

3. Montrer qu’une équation de la droite $(AB)$ est $y=2x+6$. 0,75pt
4. Tracer dans le repère la droite $(AB)$ et la droite $(D):x+2y+4=0$. 0,75pt
5. Les droites $(D)$ et $(AB)$ se coupent en un point $E$. Déterminer les coordonnées de $E$. 0,25pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (10 points)

Situation :

Achat de viande au marché

Madame Petou envoie sa fille Marie avec $10\,000$ francs au marché pour acheter $2$ kg de viande sans os et $3$ kg de viande avec os, le tout pour $9\,600$ francs. Les $400$ francs restants peuvent servir pour le transport aller-retour.

Marie étant allée à pied et ayant passé du temps à s’amuser, elle inverse les quantités chez le boucher Bouba. Celui-ci lui rembourse alors seulement $100$ francs sur les $10\,000$ francs.

Observation d’un tas de sable

Sur le chemin, Marie observe une bande transporteuse déposant du sable sec, formant un cône de révolution dont le diamètre de base est $2,50\ \text{m}$ (figure 1).

Ce sable est ensuite placé dans un grand fût ayant la forme d’un tronc de pyramide, obtenu en coupant une pyramide de hauteur $4\ \text{m}$ par un plan parallèle à sa base, qui est un carré de côté $2\ \text{m}$. Le coefficient de réduction est $\dfrac{2}{3}$ (figure 2).

Le fût et le tas de sable ont le même volume et le sable est destiné à un chantier.

Repérage dans le village

Deux axes perpendiculaires $(L)$ et $(D)$ traversent le village. Le domicile des Petou $(P)$, l’église $(E)$ et la boucherie $(B)$ sont situés sur une même droite (figure 3).

L’église est située à $7$ km de $(D)$ et à $2$ km de $(L)$. Le marché est à $1$ km de $(D)$ et à $4$ km de $(L)$. Le domicile de Madame Petou est situé à $1$ km de $(L)$.

Tâches :

1. À combien Bouba vend-t-il le kilogramme de viande sans os et le kilogramme de viande avec os ? 3pts
2. Pendant que Marie observe le tas de sable, elle cherche à estimer l’angle formé par l’horizontale et un bord du tas de sable $\widehat{SAB}$. Un manœuvre affirme que cet angle est compris entre $60^\circ$ et $62^\circ$, tandis que Marie affirme qu’il vaut $65^\circ$. Selon vous, lequel des deux a raison ? 3pts
3. Marie doit prendre un taxi pour le retour mais ne dispose que de $100$ francs. Bouba, compatissant, lui donne une pièce supplémentaire de $50$ francs. Sachant que le transport coûte $15$ francs par kilomètre, Marie a-t-elle assez d’argent pour rentrer ? 3pts