3e : séquence 5 en maths

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (10 pts)

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (05 pts)

Exercice 1 (02,5 pts)

Dans le tableau ci-dessous et pour chaque question, trois réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est juste. Écrire le numéro de la question suivi de la lettre de la réponse juste.

Exercice 2 (02,5 pts)

Lors de la correction d’un examen, les notes des élèves d’un lycée ont été regroupées en quatre classes de même amplitude. On a obtenu le tableau suivant dans lequel certains nombres ont été supprimés :

1. Recopier et compléter le tableau. (01,25 pts)
2. Construire le diagramme à bande de cette série statistique. (01,25 pts)

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (05 pts)

Exercice 1 (03 pts)

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,I,J)$. L’unité de mesure est le centimètre.

1. a) Placer les points $A(3;0)$ et $B(0;3)$. (0,5 pt)
2. b) Placer les points $C$ et $D$ tels que :
   • $C$ est symétrique de $A$ par rapport à $B$ ;
   • $D$ est symétrique de $B$ par rapport à $O$.
   (0,5 pt)

2. Vérifier par calcul que les coordonnées de $C$ et $D$ sont respectivement $(-3;6)$ et $(0;-3)$. (0,5 pt)
3. Montrer que le triangle $DAC$ est rectangle en $A$. (0,5 pt)
4. Déterminer le rayon du cercle circonscrit au triangle $DAC$. (0,5 pt)
5. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$. (0,5 pt)

Exercice 2 (02 pts)

Soit $RST$ un triangle rectangle en $T$ tel que : $RT=3$, $RS=6$ et $TS=3\sqrt{3}$.

1. Faire la figure. (0,5 pt)
2. Calculer le cosinus et le sinus de l’angle $\widehat{R}$. (1 pt)
3. En déduire la tangente de l’angle $\widehat{R}$. (0,5 pt)

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (10 pts)

Sur la demande d’une mairie, un technicien doit réaliser un ouvrage d’art entièrement en béton à un carrefour. La mairie doit choisir entre :

• un modèle A ayant la forme d’un cône de révolution de hauteur $6$ mètres et dont le disque de base a un diamètre égal à $4$ mètres ;
• un modèle B ayant la forme d’une pyramide régulière de hauteur égale à $6$ mètres et dont la base est un carré de côté $4$ mètres.

Pour les travaux de peinture, on utilisera une peinture valant $2500$ francs par mètre carré. La mairie voisine a réalisé un ouvrage d’art de forme conique dont la base a un diamètre égal à $6$ mètres et dont une génératrice $(QN)$ est égale à $5$ mètres.

1. Calculer la dépense pour l’achat de la peinture si la mairie choisit de réaliser un ouvrage d’art de forme conique (modèle A). (03 pts)
2. Calculer la dépense pour l’achat de la peinture si la mairie choisit de réaliser un ouvrage d’art de forme pyramidale (modèle B). (03 pts)
3. Calculer la dépense pour l’achat de la peinture si la mairie veut réaliser un ouvrage d’art identique à celui de la mairie voisine. (03 pts)

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (10 points)

I – Activités numériques (05 points)

Exercice 1 (1,5 point)

On donne : $A=\dfrac{1-\dfrac{7}{3}}{5\times\dfrac{4}{3}}+\dfrac{3}{5}$ ; $B(x)=(2x-3)(4x+3)-(12-8x)(2x+1)$ et $C=2(4-2\sqrt{3})+\dfrac{3}{\sqrt{3}}-\sqrt{12}$.

En faisant apparaître les différentes étapes de calculs :

1. Écrire $A$ sous la forme d’une fraction irréductible. [0,5 pt]
2. Écrire $C$ sous la forme $a+b\sqrt{3}$ où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs. [0,5 pt]
3. Factoriser $B(x)$. [0,5 pt]

Exercice 2 (1,5 point)

Après un devoir de mathématiques, l’enseignant de mathématiques d’une classe de 3^e fait relever les notes par un élève et les regroupe en classes. Voici les résultats obtenus dans le tableau suivant :

1. Recopier et compléter le tableau ci-dessus. [1 pt]
2. Déterminer la moyenne de la classe. [0,5 pt]

Exercice 3 (2 points)

1. Résoudre dans $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ le système suivant : $\begin{cases} 3x+2y=27000 \\ 2x+3y=25500 \end{cases}$ [1 pt]
2. Djibrine et Abdrouman se rendent dans une librairie pour acheter des dictionnaires et des livres de même modèle. Djibrine prend 2 dictionnaires et 3 livres et débourse une somme de 25500 F. Abdrouman prend 3 dictionnaires et 2 livres et débourse une somme de 27000 F.
   Aider Djibrine et Abdrouman à déterminer le prix d’un dictionnaire et celui d’un livre. [1 pt]

II – Activités géométriques (05 points)

Exercice 1 (2 points)

Dans le plan rapporté à un repère $(O,I,J)$, on considère les points $A(2;-1)$ ; $B(3;-2)$ et la droite $(D): 2x+y+4=0$.

1. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$. [0,5 pt]
2. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(D')$ passant par le vecteur $\overrightarrow{AB}$ et parallèle à la droite $(D)$. [1,5 pt]

Exercice 2 (1,5 point)

QCM (Question à Choix Multiple)

Parmi les trois propositions suivantes, une seule réponse est juste. Recopie le numéro de la question et la lettre juste correspondante sur ta feuille de composition. [0,5 × 3 = 1,5 pt]

Exercice 3 (1,5 points)

On considère la figure ci-dessous :

1. Donner la nature du triangle $ABC$. [0,25 pt]
2. Recopier et compléter le tableau ci-dessous. [1 pt]

   Angles	$\widehat{ABC}$	$\widehat{ADC}$	$\widehat{BAC}$	$\widehat{AOC}$	$\widehat{ACB}$
   Mesures	$30^\circ$

3. Donner la nature du triangle $AOC$. [0,25 pt]

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (10 points)

Situation :

Un théâtre propose deux prix de places :

• Plein tarif : 12 000 F
• Tarif adhérent : réduction de 25 % du plein tarif.

Un adhérent doit payer en début de saison une carte d’abonnement qui lui donne droit à la réduction de 25 % pour chaque entrée. Pour un nombre d’entrées $x$, on note $f(x)$ la dépense totale d’un spectateur qui n’est pas adhérent et $g(x)$ la dépense totale d’un adhérent. On appelle $d_1$ la représentation graphique de la dépense totale d’un spectateur qui n’est pas adhérent et $d_2$ la représentation graphique de la dépense totale d’un adhérent. Sachant que le prix de la carte d’abonnement est de 18 000 F.

Tâches :

1. Déterminer le nombre d’entrées pour lequel les montants dépensés avec le plein tarif sont plus avantageux que le tarif adhérent. [3 pts]
2. Déterminer le nombre d’entrées pour lequel les montants dépensés avec le plein tarif sont moins avantageux que le tarif adhérent. [3 pts]
3. Déterminer le nombre d’entrées pour lequel les montants dépensés avec le plein tarif et le tarif adhérent sont égaux. [3 pts]

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (12,5 points)

I- TRAVAUX NUMÉRIQUES (6,25 pts)

EXERCICE 1 (3 points)

I-) On donne les expressions suivantes : $A = 7\sqrt{27} - 2\sqrt{75} + 3\sqrt{81}$ et $B = \dfrac{2\sqrt{5} + 3}{\sqrt{5} - 2}$.

1. Écrire $A$ sous la forme $a + b\sqrt{3}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres entiers naturels que l’on déterminera. (1 pt)
2. Rendre rationnel le dénominateur de $B$. (0,5 pt)

II-) On donne la fraction rationnelle $C = \dfrac{4x^2 - 20x + 25}{2x - 5}$ où $x$ est un nombre réel.

1. Factoriser l’expression $4x^2 - 20x + 25$. (0,5 pt)
2. Donner la condition d’existence d’une valeur numérique de $C$. (0,5 pt)
3. Simplifier alors $C$. (0,5 pt)

EXERCICE 2 (3,5 points)

1. Résoudre dans $IR^2$ le système d’équations : $\begin{cases} 4x + 5y = 14 \\ x - 5y = -9 \end{cases}$ (1 pt)

On donne le tableau statistique ci-contre qui représente les notes sur 20 obtenues en Mathématiques par 60 élèves de la classe de 3ème d’un établissement scolaire à l’issue d’une évaluation.

1. Recopier et compléter le tableau ci-contre. (1 pt)
2. Calculer la moyenne $m$ des notes des élèves en Mathématiques à l’issue de l’évaluation dans cette classe de 3ème. (0,75 pt)
3. Déterminer le pourcentage des élèves de cette classe qui ont eu au plus $12$ sur $20$ en Mathématiques à cette évaluation. (0,5 pt)

II- TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES (6,25 pts)

EXERCICE 1 (3,5 points)

La figure ci-contre est formée d’un triangle $EDC$ rectangle en $D$ tel que $DC = 5\text{ cm}$ et du triangle $DAC$ où $[DB]$ est la hauteur issue de $D$. On donne $AB = 3\text{ cm}$, $BC = 4\text{ cm}$ et $\text{mes}\widehat{DCE} = 60^\circ$.

1. a) Calculer $\cos \widehat{DCB}$. (0,5 pt)
   b) En déduire une mesure de l’angle $\widehat{DCB}$. (0,5 pt)
2. Calculer $BD$. (0,75 pt)
3. a) Montrer que $EC = 10\text{ cm}$ et $ED = 5\sqrt{3}\text{ cm}$. (1 pt)
   b) En déduire que l’aire du triangle $EDC$ est égale à $12,5\sqrt{3}\text{ cm}^2$. (0,75 pt)

EXERCICE 2 (2,75 points)

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O ; I ; J)$. On donne les points $A(1 ; -2)$, $B(2 ; 1)$ et $C(3 ; 2)$ ; puis la droite $(D)$ d’équation $2x - y - 4 = 0$.

1. Justifier que $A \in (D)$, $B \notin (D)$ et $C \in (D)$. (0,75 pt)
2. a) Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le repère orthonormé $(O ; I ; J)$. (0,75 pt)
   b) Tracer la droite $(D)$ dans le repère orthonormé $(O ; I ; J)$. (0,5 pt)
3. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(D')$ passant par $B$ et perpendiculaire à $(D)$. (0,75 pt)

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (7,5 points)

Situation

Pour organiser la fête d’excellence dans un établissement scolaire de la région de l’Adamaoua, un cocktail de remerciement est offert par le chef d’établissement aux lauréats. Il compte réaliser l’apéritif sans alcool dont la recette est la suivante : au fond d’un verre cylindrique (voir figure 3) de hauteur $25\text{ cm}$ et de rayon $4\text{ cm}$, mettre un demi-citron coupé en morceaux, quelques feuilles de menthe, une cuillerée à café de sucre roux et remplir de glace pilée « à ras bord ».

On négligera le volume du sucre et de la menthe ainsi que les espaces vides entre les différents ingrédients qui composent cet apéritif.

Madame Haoua est vendeuse de jus dans cet établissement. Elle veut profiter de cette journée pour réaliser des bénéfices. Pour cela, elle dépense $3000$ frs pour la préparation de $15{,}75$ litres de jus de foléré et $2500$ frs pour $10{,}08$ litres de jus de goyave.

Ces jus sont vendus dans des verres dont les formes sont représentées ci-dessous :

• Les verres de jus de goyave ont la forme d’un tronc de pyramide obtenu par section à mi-hauteur de la pyramide régulière $SABCD$ (voir figure 1) de hauteur $10\text{ cm}$ dont la base $ABCD$ est un carré de côté $6\text{ cm}$.
• Les verres de jus de foléré ont la forme d’un cône de révolution (voir figure 2) de hauteur $5\text{ cm}$ et de rayon $4\text{ cm}$.

Elle vend le jus de foléré à raison de $50$ frs le verre rempli tandis qu’un verre rempli de jus de goyave coûte $100$ frs.

Un citron est assimilable à une sphère de rayon $3\text{ cm}$. On rappelle que le volume $V$ de la sphère de rayon $R$ est donné par $V = \dfrac{4\pi R^3}{3}$. Prendre $\pi = 3{,}15$.

Tâches

1. Calculer le volume de glace pilée à mettre dans l’apéritif une fois le citron placé au fond du verre. (2,25 pts)
2. Calculer le bénéfice réalisé par Madame Haoua après la vente de tout le jus de foléré. (2,25 pts)
3. Calculer le bénéfice réalisé par Madame Haoua après la vente de tout le jus de goyave. (2,25 pts)

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (10 points)

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (5 points)

Exercice 1 (2,5 points)

1. Effectue la chaîne d’opérations suivante et donne le résultat sous la forme d’une fraction irréductible : $\dfrac{3}{15} \div \dfrac{7}{14} + \dfrac{3}{14} - \dfrac{4}{35}$. (0,75 pt)
2. On donne le réel $A = 5 - 3\sqrt{3}$.
   1. Développe et réduis $A^2$ sous la forme $a + b\sqrt{3}$ où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs. (0,5 pt)
   2. Écris $\sqrt{(5 - 3\sqrt{3})^2}$ sous la forme $a + b\sqrt{3}$ où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs. (0,5 pt)
   3. Sachant que $1{,}73 \le \sqrt{3} \le 1{,}74$, donne un encadrement de $A$ par deux nombres décimaux relatifs ayant deux chiffres après la virgule. (0,75 pt)

Exercice 2 (1,5 point)

On considère deux nombres $x$ et $y$ vérifiant le système : $\begin{cases} x^2 - y^2 = 192 \\ x + y = 32 \end{cases}$

1. Factorise $x^2 - y^2$ et en déduire la valeur de $x - y$. (0,75 pt)
2. Justifie que les nombres $x$ et $y$ vérifient le système : $\begin{cases} x - y = 6 \\ x + y = 32 \end{cases}$. (0,25 pt)
3. En déduis les nombres $x$ et $y$. (0,5 pt)

Exercice 3 (1 point)

Pour le premier trimestre de l’année scolaire et en mathématiques, FALI a obtenu :

• Aux devoirs de maison : $15$, $14$ et $16$
• Aux deux premiers devoirs surveillés en classe : $8$ et $7$

Les devoirs de maison sont affectés chacun du coefficient $1$ et les devoirs surveillés en classe du coefficient $3$ chacun.

Quelle note doit obtenir FALI au troisième devoir surveillé de classe, pour avoir $10$ de moyenne en mathématiques au premier trimestre ? (1 pt)

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (5 points)

Exercice 1 (1,5 point)

On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que la mesure de l’angle en $B$ soit $60^\circ$.

1. Détermine la mesure de l’angle en $C$. (0,5 pt)
2. $D$ est un point du plan tel que $ABDC$ est un rectangle. Construis le demi-cercle $(C)$ de diamètre $[CD]$ à l’intérieur du rectangle $ABDC$. (0,5 pt)
3. Construis l’image $(C')$ de $(C)$ par la symétrie orthogonale d’axe $(CD)$. (0,5 pt)

Exercice 2 (3,5 points)

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O, I, J)$.

1. Place dans le plan les points $A(3;2)$, $B(3;4)$, $C(-1;2)$ et $D(-1;4)$. (1,25 pt)
2. Détermine la distance $AD$. (0,5 pt)
3. Montre que les vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BD}$ sont orthogonaux. (0,75 pt)
4. Détermine une équation de la droite $(BC)$. (1 pt)

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (10 points)

Situation

Monsieur Ousman possède un terrain qui a la forme d’un triangle $ABC$ rectangle en $A$ comme l’indique la figure ci-contre. Il a un garçon et deux filles. Étant malade, il écrit son testament dans lequel ses filles n’ont pas le droit de vendre une parcelle de terrain. La parcelle $HBG$ revient au garçon, la parcelle $AFC$ à la fille aînée et la parcelle $ADEF$ à la fille cadette.

Dans la zone où se trouve ce terrain, on vend 1 hectare à $50\,000\,000$ FCFA. Le rendement du sol est de $2$ kg de maïs au mètre carré et de $5$ kg de tomates au mètre carré. Un sac de maïs de $50$ kg coûte $8\,000$ FCFA. Un cageot de $25$ kg de tomate coûte $9\,000$ FCFA.

À la mort de Monsieur Ousman, le garçon décide de vendre sa parcelle pour acheter des actions dans un projet d’entreprise ; la fille aînée décide de cultiver du maïs sur sa parcelle, tandis que sa cadette opte pour la culture de tomates sur la sienne.

Tâches

1. Déterminer combien la fille aînée pourra encaisser après une session de culture. (3 pts)
2. Déterminer combien la fille cadette pourra encaisser après une session de culture. (3 pts)
3. Déterminer combien le garçon pourra déposer dans le projet d’entreprise dont il rêve. (3 pts)

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (10 points)

I – ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (5 points)

Exercice 1 (3 points)

1. On considère l’expression : $F = 5x^2 - 20 - (x - 2)(3x + 1)$.
   1. Montrer que $F = 2x^2 + 5x - 18$. (0,25 pt)
   2. Factoriser $F$. (0,5 pt)
   3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(9 + 2x)(x - 2) = 0$. (0,5 pt)
   4. Justifier que la valeur numérique de $F$ pour $x = \sqrt{3}$ est $5\sqrt{3} - 12$. (0,25 pt)
2. POTLIMAL dispose d’un terrain de forme rectangulaire qui a pour périmètre $144$ m et dont la longueur dépasse la largeur de $2$ mètres. Déterminer les dimensions de ce terrain. (1,5 pt)

Exercice 2 (2 points)

On considère ci-dessous la série statistique des salaires mensuels (en millier de francs CFA) des employés d’une petite entreprise :

1. Cette entreprise emploie combien de personnes ? (0,25 pt)
2. Calculer le salaire moyen de ces employés. (1 pt)
3. Déterminer la classe modale. (0,25 pt)
4. Déterminer la fréquence des employés gagnant mensuellement au moins $40$ mille francs CFA. (0,5 pt)

II – ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (5 points)

Exercice 1 (3,5 points)

Le plan est rapporté au repère orthonormé d’unité $1$ cm. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés tels que : $AB = 8$, $BC = 6$ et $AC = 10$.

1. Construire le triangle $ABC$. (0,5 pt)
2. Justifier que $ABC$ est rectangle en $B$. (0,5 pt)
3. Soit $I$ le milieu du segment $[AB]$ et $(d)$ la droite passant par $I$ et parallèle au segment $[BC]$. La droite $(d)$ coupe le segment $[AC]$ en $J$.
   1. Calculer $AJ$. (0,5 pt)
   2. En déduire $IJ$. (0,25 pt)
   3. En déduire que l’aire du triangle $ABC$ est $4$ fois celle du triangle $AIJ$. (0,25 pt)
   4. Calculer la tangente de l’angle $\widehat{BCA}$. (0,25 pt)
   5. En déduire une valeur approchée de $\widehat{BCA}$ en degré. (0,25 pt)
4. Soit $(C)$ le cercle circonscrit au triangle $ABC$.
   1. Tracer le cercle $(C)$ et le segment $[BJ]$. (0,5 pt)
   2. Recopier et compléter le tableau ci-dessous : (0,5 pt)

Exercice 2 (1,5 point)

On considère un cône de révolution de hauteur $4$ m et de rayon de base $1,5$ m.

1. Calculer le volume de ce cône de révolution. (0,5 pt)
2. Calculer la longueur de sa génératrice. (0,5 pt)
3. On fait une section à mi-hauteur de ce cône de révolution parallèlement à sa base. Calculer le volume du tronc de cône obtenu. (0,5 pt)

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (10 points)

Situation

M. YOMKIL ne bénéficiant pas du réseau d’adduction d’eau de la CAMWATER, décide de faire aménager son propre puits. Pour cela, il contacte M. Souley spécialiste dans ce domaine.

M. Souley dit à M. Yomkil que pour disposer de l’eau en toute saison, il faut que son puits ait une profondeur de $18$ m et un diamètre de $102$ cm. En outre, il ajoute qu’il faut des buses de forme cylindrique ayant un diamètre utile de $90$ cm et une hauteur de $50$ cm.

Le vendeur de buses dispose d’une voiture pick-up qui livre à domicile les buses vendues à $12\,000$ FCFA l’une. Les buses achetées par M. Yomkil sont acheminées chez lui en trois tours. Un tour de transport de buses du lieu d’achat au domicile de M. Yomkil cause une dépense de $2\,500$ FCFA. Pour décharger une buse du pick-up, on verse $250$ FCFA au chauffeur.

M. Yomkil a versé la somme de $375\,000$ FCFA au vendeur de buses pour que les buses achetées soient totalement livrées à son domicile. M. Souley a plongé exactement $28$ buses dans le puits. Une buse plongée dans le puits fait débourser $250$ FCFA. Pour finir, M. Souley déclare qu’en moyenne les trois-septièmes des buses se trouvant dans le puits contiendront toujours entièrement de l’eau. Prendre $\pi = 3,14$.

Tâches

1. Déterminer la somme d’argent totale que recevra M. Souley une fois le puits totalement achevé. (3 pts)
2. Déterminer le nombre total de buses livrées au domicile de M. Yomkil. (3 pts)
3. Calculer, en litre, le volume d’eau en moyenne que contiendra ce puits. (3 pts)

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES : 5 points.

Calculs, racines et écriture scientifique

EXERCICE 1 : ( 1 points).

1. Donner la notation scientifique de $A=\dfrac{0,031\times 10^{5}}{(10^{-2})^{4}}$. (0,5pt)
2. 1. Comparer $2\sqrt{2}$ et $3$. (0,25pt)
   2. Déduire en justifiant votre réponse une écriture simple de $\sqrt{(2\sqrt{2}-3)^{2}}$. (0,25pt)

Développement, factorisation et système

EXERCICE 2 : ( 2,5 points).

On donne $P=x(x-2)+3(2-x)$.

1. Développer et réduire $P$. (0,5pt)
2. Factoriser $P$. (0,5pt)
3. Montrer que $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$. (0,5pt)
4. Utiliser la méthode par substitution pour montrer que $(2;1)$ est solution du système $\left\{\begin{array}{l}2x+3y=7\\4x-5y=3\end{array}\right.$. (1pt)

Statistiques

EXERCICE 3 : ( 1,5 points).

La bibliothèque de DJIONE contient dans ses rayons les livres de mathématiques, d’anglais et de PCT.
Pour un total de 120 livres repartis suivant le tableau ci-dessous :

1. Quelle est la nature du caractère étudié ? (0,25pt)
2. Recopier et compléter le tableau ci-dessus. (1pt)
3. Quel est le mode cette série statistique. (0,25pt)

ACTIVITÉS GEOMÉTRIQUES : 5 points.

Cercle, triangle et angles

EXERCICE 1 : ( 2 points).

Sur la figure ci-contre, $(C)$ est un cercle de centre $O$, $ABC$ un triangle inscrit dans le cercle $(C)$ tel que $AB=6cm$; $BC=10cm$ et mes $\widehat{BCA}=37^\circ$. $M$ un point $[AB]$ tel que $AM=4,5cm$ et $N$ un point de $[AC]$ tel que $AN=\dfrac{3}{4}AC$. Observer attentivement cette figure puis répondre aux questions ci-dessous.

1. Donner en justifiant votre réponse la nature du triangle $ABC$. (0,5pt)
2. Calculer $\cos\widehat{ABC}$ puis déduire sa mesure au degré près. (0,5pt)
3. Démontrer que les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles. (0,5pt)
4. Déterminer en justifiant votre réponse la mesure de l’angle $\widehat{BOA}$. (0,5pt)

Repère orthonormé

EXERCICE 2 : ( 3 points).

On muni le plan d’un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$ d’unité $1cm$. On donne les points $A(1;2)$; $B(0;-2)$; et $C(4;-3)$. La figure sera complétée progressivement.

Suite de l’EXERCICE 2 (Activités géométriques)

1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le repère. (0,75pt)
2. 1. Calculer les distances $AB$; $BC$ et $AC$. (0,75pt)
   2. Répondre par vrai ou faux : « Le triangle $ABC$ est isocèle rectangle en $B$ » (0,5pt)
3. Calculer les coordonnées du point $D$ tel que $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$. (0,5pt)
4. Vérifier que le point $I\left(\dfrac{5}{2};-\dfrac{1}{2}\right)$ est le milieu du segment $[AC]$. (0,25pt)
5. Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? (0,25pt)

Partie B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (10 points)

Situation problème

Pendant les vacances, Paul et André ont l’habitude d’aider leur maman à chercher leurs scolarités. Paul l’ainé a l’habitude de travailler avec son oncle charpentier. André lui fait dans la vente de kossam.

Pour son premier jour de vente, il est sorti avec 15 litres de kossam qu’il a vendu dans des emploi jeté de forme tronconique(Figure 1).

L’année dernière, Paul et son oncle avaient construit la charpente(Figure 2) d’un agriculteur et cette année, l’agriculteur contacte plutôt Paul pour séparer l’intérieur pyramidal de la charpente par une plaque métallique parallèle au plafond( dalle de forme carré). Ceci pour en faire un grenier entre le plafond et la plaque métallique en vue de conserver les sacs de 30 litres de maïs lors des saisons de pluies. Pour réaliser cette séparation, Paul a fait son plan comme le montre la figure 2 ci-dessous.

De retour très fatigué à la maison, Paul demande à sa petite sœur Jeanne de l’aide à remplir le fût cylindrique(Figure 3) de sa douche à l’aide d’un bidon de 20 litres qu’elle pourra facilement porter.

NB : Donner tous vos résultats arrondis à l’unité près.

Prendre : $\pi=3,14$; $\sin 30^\circ = 0,5$; $\cos 30^\circ = 0,86$; $\tan 30^\circ = 0,57$.

Figures (références)

Tâches

1. Combien de boites de kossam André a-t-il vendu son premier jour du marché ? (3 pts)
2. Combien de sacs de maïs peuvent entrer dans le grenier conçu par Paul ? (3 pts)
3. Combien de tour Jeanne doit-elle effectuer pour remplir le fût de son frère ? (3 pts)

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (10 points)

A1) ACTIVITÉS NUMÉRIQUES : (5 points)

EXERCICE 1 : (1,5 points)

On considère l’expression $E=(9x+2)^2-(2018-7x)^2$.

1. Développer, réduire et ordonner suivant les puissances décroissantes de $x$. 0,75pt
2. Factoriser $E$. 0,75pt

EXERCICE 2 : (2 points)

Moussa part de son garage situé dans les environs de Bafia. Ensuite, il va acheter une pièce d’un véhicule dans un magasin à Yaoundé. Au total, il a mis un temps de $3h\ 12min$ pour le voyage aller et retour.

À l’aller, sa vitesse moyenne était de $90km/h$ et, au retour, elle est de $70km/h$. On rappelle que le temps total mis en heures pour parcourir la distance aller-retour est de $3+\dfrac{12}{60}$.

1. Écrire le nombre $A=3+\dfrac{12}{60}$ sous la forme d’une fraction irréductible. 0,5pt
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $\dfrac{x}{90}+\dfrac{x}{70}=\dfrac{16}{5}$. 0,75pt
3. En déduire en kilomètres, la distance $d$ du garage de Moussa au magasin de Yaoundé. 0,75pt

EXERCICE 3 : (1,5 points)

1. Résoudre dans $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ le système : 0,75pt
   $\begin{cases}x+y=45\\x+2y=70\end{cases}$
2. Dans le parking d’un Lycée, il y a des motos et des voitures. On compte au total $45$ engins et $140$ roues. Déterminer le nombre de motos et de voitures dans ce parking. 0,75pt

A2) ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES : (5 points)

EXERCICE 1 : (3 points)

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,I,J)$. On donne les points $A(-2;1)$, $B(1;-1)$, la droite $(D)$ d’équation cartésienne $-2x+y+3=0$ et le vecteur $\vec{u}(-2;-3)$.

1. Construire la droite $(D)$ et placer les points $A$ et $B$ dans le repère. 1pt
2. Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\vec{u}$ sont orthogonaux. 0,5pt
3. Écrire l’équation cartésienne de $(D)$ sous la forme $y=ax+b$ et en déduire son coefficient directeur. 0,5pt
4. Soit $(L)$ la droite d’équation cartésienne $y=mx+p$ où $m$ et $p$ sont des nombres réels. Déterminer les réels $m$ et $p$ pour que $A\in(L)$ et que $(D)$ et $(L)$ soient parallèles. 1pt

EXERCICE 2 : (2 points)

Des élèves participent à une course à pied. Avant l’épreuve, un plan leur a été remis. Il est représenté par la figure ci-contre.

Les droites $(AE)$ et $(BD)$ sont sécantes en $C$ ; les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont parallèles ; $ABC$ est un triangle rectangle en $A$.

Calculer la longueur réelle du parcours $ABCDE$. 2pts

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES

Situation :

Repérage de la ville et position de la station-service

M. Tsafack habite une grande ville repérée par deux axes perpendiculaires $(D_1)$ et $(D_2)$ en $O$. Il souhaite aménager sa station-service située au point $M$ à $1km$ de $(D_1)$ et à $5km$ de $(D_2)$ (figure 4, segments en gras).

Nature des camions et des chargements

Pour la réalisation du projet, il commande du béton, du gasoil et de la pouzzolane. La livraison est assurée par trois camions pleins : le premier possède une bétonnière de forme sphérique (Figure 1), le deuxième est équipé d’une citerne de forme cylindrique droit (Figure 2) et le troisième transporte une benne ayant la forme d’un pavé droit (Figure 3).

Lieux de chargement et déplacements

Le premier camion est chargé à l’usine « Béton ZL » au point $E$ situé à $1km$ de $(D_1)$ et à $2km$ de $(D_2)$. Le $2^{ème}$ camion se ravitaille à l’entreprise « Xing-oil » au point $F$ situé à $5km$ de $(D_1)$ et à $2km$ de $(D_2)$. Enfin, le $3^{ème}$ camion est chargé à la carrière « Zoula » au point $G$ situé à $5km$ de $(D_1)$ et à $5km$ de $(D_2)$.

Les déplacements des camions, depuis les lieux de chargement jusqu’au lieu de livraison, sont supposés rectilignes (figure 4). Chaque camion effectue un seul trajet.

Coûts d’achat et de transport

M. Tsafack achète le béton à $30.000\ F$ le $m^3$, le gasoil à $400.000\ F$ le $m^3$ et la pouzzolane à $40.000\ F$ le $m^3$. Le déplacement de chaque camion, chauffeur compris, est évalué à $3.500\ F$.

Tâches :

1. Combien dépense M. Tsafack pour l’achat et le transport du béton ? 3pts
2. Combien dépense M. Tsafack pour l’achat et le transport du gasoil ? 3pts
3. Combien dépense M. Tsafack pour l’achat et le transport de la pouzzolane ? 3pts

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES : 5 points

EXERCICE 1 : (1,5 points)

1. Calculer $PGCD(324;654)$ par l’algorithme de votre choix. 0,5pt
2. Rendre irréductible la fraction $A=\dfrac{2}{5}-\dfrac{12}{5}\div4$. 0,5pt
3. (a) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $B=-3\sqrt{12}+\sqrt{16}+4\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$. 0,5pt
   (b) Sachant que $1,73<\sqrt{3}<1,74$, donner un encadrement à $10^{-2}$ près de $4-2\sqrt{3}$. 0,5pt

EXERCICE 2 : (1,75 points)

1. On considère l’expression $P=(2x-3)^2-4x^2$. Montrer que $P=-3(4x-3)$. 0,5pt
2. Choisir la bonne réponse pour l’affirmation suivante :
   « La condition d’existence de $F=\dfrac{(x-3)(4x-3)}{(x+1)(x-2)}$ est : »
   (a) $x\neq3$ et $x\neq\dfrac34$
   (b) $x\neq3$ ou $x\neq\dfrac34$
   (c) $x\neq-1$ et $x\neq2$
   (d) $x\neq-1$ ou $x\neq2$
   0,5pt
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation suivante : $2x-3\leq3x+1$. 0,75pt

EXERCICE 3 : (1,75 points)

Le tableau ci-dessous représente les notes sur 20 en mathématiques d’une classe de $3^{ème}$. Ces résultats sont regroupés dans des classes d’amplitude 4.

1. Combien d’élèves compte cette classe ? 0,25pt
2. Donner la ou les classe(s) modale(s) de cette série statistique. 0,5pt
3. Reprendre ce tableau en faisant ressortir les centres des classes, puis calculer la moyenne générale obtenue en mathématiques par cette salle de classe. 1pt

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES : 5 points

EXERCICE 1 : (1,25 points)

La figure ci-contre représente la charpente du toit d’un notable. Elle a la forme d’une pyramide régulière de base carrée de côté $3m$ et son volume est de $6000$ litres.

1. Montrer que la hauteur de cette pyramide est de $2m$. 0,5pt
2. Pour créer un grenier à l’intérieur de cette charpente pyramidale, on sépare cette pyramide à mi-hauteur par une plaque métallique parallèle à la base. La partie $MNPQIJKL$ constitue un tronc de pyramide représentant le grenier.
   (a) Calculer le coefficient de réduction $K$ de cette séparation. 0,25pt
   (b) En déduire la contenance de ce grenier. 0,5pt

EXERCICE 2 : (3,25 points)

On munit le plan d’un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ d’unité $1cm$. Les points $A(-4;1)$, $B(2;3)$ et la droite $(D):y=-3x+5$ sont donnés. La figure sera complétée progressivement.

1. Placer les points $A$ et $B$ dans le repère, puis construire la droite $(D)$. 1pt
2. (a) Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ et déterminer un vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite $(D)$. 0,5pt
   (b) Déduire que les vecteurs $\vec{u}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont orthogonaux. 0,25pt

3. Montrer que la droite $(AB)$ a pour équation $(AB):x-3y+7=0$. 0,5pt
4. (a) Vérifier que $I(-1;2)$ est le milieu du segment $[AB]$ et que $I\in(D)$. 0,75pt
   (b) Que représente $(D)$ pour le segment $[AB]$ ? 0,25pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (10 points)

Situation :

Contexte et motivation du projet

Pour ses besoins de santé, Mr André décide d’aller en Inde afin de bénéficier de soins appropriés pour une bonne guérison. Le coût du voyage étant élevé, il se voit contraint de vendre son terrain situé à Japoma.

Conditions financières de la vente

Il contacte un démarcheur et tous deux s’accordent sur une somme de $16.000\ \text{fcfa par } m^2$, à laquelle s’ajoute une caution de $150.000\ \text{fcfa}$ pour les frais de signature des documents, quel que soit le prix proposé par le client du démarcheur.

Subdivision du terrain et offres reçues

Dans l’optique d’obtenir le bénéfice maximal, le démarcheur décide de subdiviser le terrain en trois lots, comme l’indique la figure ci-dessous. En raison de sa position, le lot 1 intéresse une station-service qui propose une somme de $2.800.000\ \text{fcfa}$.

Pour le lot 2, un commerçant fait une offre de $3.500.000\ \text{fcfa}$. Quant au lot 3, un enseignant propose un montant de $3.000.000\ \text{fcfa}$.

Données géométriques utiles

NB : On rappelle que l’aire d’un triangle est donnée par $\mathcal{A}=\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}$. On prendra : $\sin53^\circ=0,8$, $\cos53^\circ=0,6$ et $\tan53^\circ=1,3$.

Tâches :

1. L’offre de la station-service est-elle avantageuse pour le démarcheur ? 3 pts
2. L’offre du commerçant est-elle avantageuse pour le démarcheur ? 3 pts
3. L’offre de l’enseignant est-elle avantageuse pour le démarcheur ? 3 pts

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (10 points)

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES : (5 points)

Exercice 1 : (1,5 point)

1. Montrer que le nombre $A=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\times\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{2}$ est un entier relatif. 0,75pt
2. Écrire le nombre $B=4\sqrt{75}-2\sqrt{48}+2\sqrt{3}$ sous la forme $a\sqrt{3}$ où $a$ est un entier. 0,75pt

Exercice 2 : (1,5 point)

On considère l’expression $C=(2x-3)^2-36$.

1. Factoriser $C$. 0,75pt
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(2x+3)(2x-9)=0$. 0,75pt

Exercice 3 : (2 points)

Le tableau statistique ci-dessous présente les âges des élèves d’une classe de troisième. Les variables $x$ et $y$ désignent des entiers naturels.

1. Sachant que l’effectif total de cette classe est égal à $50$, montrer que $x+y=15$. 0,5pt
2. En utilisant la moyenne d’âge égale à $14,3$, établir que $14x+16y=220$. 0,75pt
3. Choisir la solution du système $\begin{cases}x+y=15\\14x+16y=220\end{cases}$ parmi les propositions suivantes :
   a) (5 ;10)    b) (6 ;9)    c) (10 ;5)    d) (9 ;6)
   0,75pt

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES : (5 points)

Exercice 1 : (3,5 points)

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;I;J)$ d’unité $1cm$. Les points $A(-2;1)$, $B(2;3)$ et $C(4;-1)$ sont donnés.

1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le repère. 0,75pt
2. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$. 0,5pt
3. Vérifier que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont orthogonaux, puis en déduire la mesure de l’angle $\widehat{ABC}$. 0,5pt
4. En supposant le triangle $ABC$ rectangle en $B$, avec $AB=2\sqrt5$ et $AC=2\sqrt{10}$, calculer la valeur exacte de $\cos\widehat{BAC}$ puis déterminer la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$. 0,75pt
5. Répondre par vrai ou faux :
   5.1. Le cercle de diamètre $[AC]$ passe par $B$.
   5.2. Une équation cartésienne de la droite $(AC)$ est $x-2y+4=0$.
   0,5pt

Exercice 2 : (1,5 point)

Un cornet de glace a la forme d’un cône de révolution de hauteur $9cm$ et de diamètre de base $6cm$, comme l’indique la figure ci-contre.

1. Montrer que le volume de ce cornet est égal à $84,78\ \text{cm}^3$. 0,75pt
2. On remplit le cornet avec de la glace au chocolat sur une hauteur de $4,5\ \text{cm}$. Calculer le volume de la glace au chocolat.
   Prendre $\pi=3,14$. 0,75pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (10 points)

Situation :

Présentation des constructions

Pour améliorer son cadre de vie, le propriétaire d’un domaine décide de bâtir un garage pour ses voitures, un espace de détente et deux abris pour ses chiens, comme l’indiquent les images ci-dessus. Les plans de la charpente de chaque construction sont représentés respectivement par les figures 1, 2 et 3.

Hypothèses de construction

Chaque ferme du garage et de l’espace de détente est symétrique. Pour chaque toiture, toutes les fermes sont identiques. Les deux abris pour chiens possèdent la même configuration.

Travaux prévus et matériaux utilisés

Dans la phase actuelle des travaux, il souhaite couvrir les deux pentes identiques du toit du garage avec des tuiles vendues à $7\,000\ \text{FCFA}$ le $m^2$. Il prévoit également d’installer, dans l’espace de détente, un plafond en lambris vendus à $4\,000\ \text{FCFA}$ le $m^2$, couvrant tout l’espace inférieur horizontal des fermes.

Par ailleurs, il désire couvrir toute la face arrière des deux abris pour chiens avec des panneaux vendus à $5\,000\ \text{FCFA}$ le $m^2$, depuis le point le plus haut de la charpente jusqu’au sol.

Données dimensionnelles

Les longueurs totales de la toiture, mesurées d’un point de la première ferme au point correspondant de la dernière ferme, sont respectivement de $10\ \text{m}$ pour le garage, $10\ \text{m}$ pour l’espace de détente et $4\ \text{m}$ pour l’abri pour chiens.

Tâches :

1. Quel est le montant représentant la dépense pour l’achat des tuiles destinées à la couverture de la toiture du garage ? 3 pts
2. Quel est le montant représentant la dépense pour l’achat des lambris destinés au plafond de l’espace de détente ? 3 pts
3. Quel est le montant représentant la dépense pour l’achat des panneaux destinés à la couverture des faces arrière des deux abris pour chiens ? 3 pts

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (10 points)

A – ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (05 points)

Exercice 1 : (1,75 points)

On considère le polynôme $P$ du second degré défini par $P(x)=9x^2-42x+33$.

1. Calculer et écrire $P(\sqrt3)$ sous la forme $a-b\sqrt3$, $a$ et $b$ étant des entiers. 0,5pt
2. Montrer que $P(x)=(3x-7)^2-16$. 0,75pt
3. Factoriser $P(x)$. 0,5pt

Exercice 2 : (3 points)

On considère le tableau statistique ci-dessous donnant les masses en kilogrammes des $150$ élèves des classes de $3^{ème}A$ et $3^{ème}B$ d’un collège de la ville.

1. Sachant que la moyenne de cette série statistique est $M=50,16\ \text{kg}$, montrer que $a$ et $b$ vérifient le système $\begin{cases}a+b=56\\25a+29b=1448\end{cases}$. 1pt
2. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système $(S)$. 1,5pt
3. En prenant $a=44$ et $b=12$, construire l’histogramme associé à cette série statistique. 0,75pt

B – ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (05 points)

Exercice 1 : (2 points)

On considère dans le plan la droite $(D): -x+3y+1=0$ et les points $A(-1;1)$, $B(2;-3)$ et $C(1;m)$.

1. Déterminer le coefficient directeur de chacune des droites $(D)$ et $(AB)$. 1pt
2. Déterminer le réel $m$ pour que le point $C$ appartienne à la droite $(D)$. 1pt

Exercice 2 : (3 points)

1. Placer dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ les points $A(-2;2)$ et $B(1;8)$. 0,5pt
2. Que calcule-t-on lorsqu’on écrit :
   a) $\left(\dfrac{-2+1}{2}\;;\dfrac{2+8}{2}\right)$ ;
   b) $\sqrt{(1+2)^2+(8-2)^2}$ ;
   c) $(1+2\;;8-2)$ ?
   0,75pt

3. Montrer qu’une équation de la droite $(AB)$ est $y=2x+6$. 0,75pt
4. Tracer dans le repère la droite $(AB)$ et la droite $(D):x+2y+4=0$. 0,75pt
5. Les droites $(D)$ et $(AB)$ se coupent en un point $E$. Déterminer les coordonnées de $E$. 0,25pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (10 points)

Situation :

Achat de viande au marché

Madame Petou envoie sa fille Marie avec $10\,000$ francs au marché pour acheter $2$ kg de viande sans os et $3$ kg de viande avec os, le tout pour $9\,600$ francs. Les $400$ francs restants peuvent servir pour le transport aller-retour.

Marie étant allée à pied et ayant passé du temps à s’amuser, elle inverse les quantités chez le boucher Bouba. Celui-ci lui rembourse alors seulement $100$ francs sur les $10\,000$ francs.

Observation d’un tas de sable

Sur le chemin, Marie observe une bande transporteuse déposant du sable sec, formant un cône de révolution dont le diamètre de base est $2,50\ \text{m}$ (figure 1).

Ce sable est ensuite placé dans un grand fût ayant la forme d’un tronc de pyramide, obtenu en coupant une pyramide de hauteur $4\ \text{m}$ par un plan parallèle à sa base, qui est un carré de côté $2\ \text{m}$. Le coefficient de réduction est $\dfrac{2}{3}$ (figure 2).

Le fût et le tas de sable ont le même volume et le sable est destiné à un chantier.

Repérage dans le village

Deux axes perpendiculaires $(L)$ et $(D)$ traversent le village. Le domicile des Petou $(P)$, l’église $(E)$ et la boucherie $(B)$ sont situés sur une même droite (figure 3).

L’église est située à $7$ km de $(D)$ et à $2$ km de $(L)$. Le marché est à $1$ km de $(D)$ et à $4$ km de $(L)$. Le domicile de Madame Petou est situé à $1$ km de $(L)$.

Tâches :

1. À combien Bouba vend-t-il le kilogramme de viande sans os et le kilogramme de viande avec os ? 3pts
2. Pendant que Marie observe le tas de sable, elle cherche à estimer l’angle formé par l’horizontale et un bord du tas de sable $\widehat{SAB}$. Un manœuvre affirme que cet angle est compris entre $60^\circ$ et $62^\circ$, tandis que Marie affirme qu’il vaut $65^\circ$. Selon vous, lequel des deux a raison ? 3pts
3. Marie doit prendre un taxi pour le retour mais ne dispose que de $100$ francs. Bouba, compatissant, lui donne une pièce supplémentaire de $50$ francs. Sachant que le transport coûte $15$ francs par kilomètre, Marie a-t-elle assez d’argent pour rentrer ? 3pts

A – ACTIVITÉS NUMÉRIQUES : 6,5 POINTS

Exercice 1 : (1,5 point)

On donne $X=\dfrac{2^7\times3^6\times5^3}{81\times2^8\times125}$.

1. Écrire $X$ sous forme de fraction irréductible. 1pt
2. Trouver deux entiers consécutifs $\alpha$ et $\beta$ tels que $\alpha<X<\beta$. 0,5pt

Exercice 2 : (2 points)

1. Le système $\begin{cases}7u+3v=4850\\4u+6v=4700\end{cases}$ admet une solution unique. Un seul des quatre ensembles ci-dessous représente son ensemble solution ; le reproduire sur votre feuille de composition.
   $S_1=\{500;450\}$,  $S_2=\{(450;500)\}$,  $S_3=\{(500;450)\}$,  $S_4=\{450;500\}$
   0,5pt
2. MATO achète $7$ cahiers et $3$ bloc-notes à $4\,850$ FCFA. MOKO achète $2$ cahiers et $3$ bloc-notes identiques à ceux de MATO à $2\,350$ FCFA. Calculer le prix d’un cahier et celui d’un bloc-notes. 1,5pt

Exercice 3 : (3 points)

On considère les nombres réels $a=3+\sqrt7$ et $b=-3+\sqrt7$.

1. Calculer $a^2$, $b^2$ et $ab$. 1,5pt
2. Montrer que $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$ est un entier relatif négatif. 0,5pt
3. Soit $Y=\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a}$. Sachant que $2,6457<\sqrt7<2,6458$, donner un encadrement de $Y$. 0,5pt
4. Une seule des quatre réponses ci-après désigne la valeur exacte de $|-3+\sqrt7|$. Dire laquelle.
   a) $-3+\sqrt7$   b) $3+\sqrt7$   c) $3-\sqrt7$   d) $-3-\sqrt7$
   0,5pt

B – ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES : 0,5 POINT

Exercice 1 : (1 point)

1. Répondre par vrai ou faux aux propositions suivantes :
   1. Si $\widehat{A}$ et $\widehat{C}$ sont deux angles complémentaires, alors $\cos\widehat{A}=\sin\widehat{C}$.
   2. Dans le plan rapporté à un repère $(O,I,J)$, les vecteurs $\vec{u}\left(\dfrac12;\dfrac13\right)$ et $\vec{v}(3;2)$ sont colinéaires.
   0,5pt

Exercice 2 : (2,5 points)

L’unité de longueur est le centimètre. On donne : $AB=30$ et $BC=50$.

1. Déterminer $AC$ pour que le triangle $ABC$ soit rectangle en $A$. 1pt
2. Calculer $\cos B$ et $\sin B$. 1pt
3. Déterminer à $1^\circ$ près par excès la mesure de l’angle $B$. 0,5pt

Exercice 3 : (3 points)

$SMNPQ$ est une pyramide régulière de sommet $S$, sa base est le carré $MNPQ$ de côté $8\ \text{cm}$, et sa hauteur $OS$ est telle que $OS=7\ \text{cm}$.

1. (a) Montrer que la mesure d’une arête latérale de cette pyramide est égale à $9\ \text{cm}$. 1pt
   (b) Représenter un patron de cette pyramide à l’échelle $\frac12$. 1pt
2. Calculer la mesure de la hauteur issue de $S$ de la face latérale $SNP$. 1pt

C – PROBLÈME : 7 POINTS

L’unité de longueur est le centimètre. Dans un repère orthonormé $(O,I,J)$, on donne les points : $R(1;5)$ et $T(-1;-1)$.

Étude de la droite (RT)

1. (a) Placer les points $R$ et $T$ dans le repère orthonormé $(O,I,J)$. 0,5pt
   (b) Déterminer une équation cartésienne de la droite $(RT)$. 1pt

Étude graphique des droites

2. Tracer dans un même repère les droites $(D)$ et $(D')$ d’équations cartésiennes respectives : $y=-\dfrac13x+2$ et $y=3x+2$. 1pt

Intersections et propriétés géométriques

3. (a) Déterminer les coordonnées du point d’intersection de $(RT)$ avec l’axe des abscisses, puis celles du point d’intersection de $(D)$ avec le même axe. 1pt
   (b) Montrer que $K(0;2)$ est le point d’intersection des droites $(RT)$ et $(D)$. 0,5pt
4. (c) On considère les points $M\left(-\dfrac23;0\right)$ et $N(6;0)$. Démontrer que le triangle $KMN$ est rectangle en $K$. 1pt

Symétrie et losange

4. Le symétrique de $M$ par rapport à $K$ est noté $M'$ et celui de $N$ est noté $N'$.
   (a) Montrer que le quadrilatère $MNM'N'$ est un losange. 1pt
   (b) Calculer l’aire du losange $MNM'N'$. 1pt