Devoir surveillé de maths 5e séquence Troisième

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (10 points)

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES : (5 points)

Exercice 1 : (1,5 point)

1. Montrer que le nombre $A=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\times\dfrac{2}{9}-\dfrac{5}{2}$ est un entier relatif. 0,75pt
2. Écrire le nombre $B=4\sqrt{75}-2\sqrt{48}+2\sqrt{3}$ sous la forme $a\sqrt{3}$ où $a$ est un entier. 0,75pt

Exercice 2 : (1,5 point)

On considère l’expression $C=(2x-3)^2-36$.

1. Factoriser $C$. 0,75pt
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(2x+3)(2x-9)=0$. 0,75pt

Exercice 3 : (2 points)

Le tableau statistique ci-dessous présente les âges des élèves d’une classe de troisième. Les variables $x$ et $y$ désignent des entiers naturels.

1. Sachant que l’effectif total de cette classe est égal à $50$, montrer que $x+y=15$. 0,5pt
2. En utilisant la moyenne d’âge égale à $14,3$, établir que $14x+16y=220$. 0,75pt
3. Choisir la solution du système $\begin{cases}x+y=15\\14x+16y=220\end{cases}$ parmi les propositions suivantes :
   a) (5 ;10)    b) (6 ;9)    c) (10 ;5)    d) (9 ;6)
   0,75pt

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES : (5 points)

Exercice 1 : (3,5 points)

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;I;J)$ d’unité $1cm$. Les points $A(-2;1)$, $B(2;3)$ et $C(4;-1)$ sont donnés.

1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le repère. 0,75pt
2. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$. 0,5pt
3. Vérifier que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont orthogonaux, puis en déduire la mesure de l’angle $\widehat{ABC}$. 0,5pt
4. En supposant le triangle $ABC$ rectangle en $B$, avec $AB=2\sqrt5$ et $AC=2\sqrt{10}$, calculer la valeur exacte de $\cos\widehat{BAC}$ puis déterminer la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$. 0,75pt
5. Répondre par vrai ou faux :
   5.1. Le cercle de diamètre $[AC]$ passe par $B$.
   5.2. Une équation cartésienne de la droite $(AC)$ est $x-2y+4=0$.
   0,5pt

Exercice 2 : (1,5 point)

Un cornet de glace a la forme d’un cône de révolution de hauteur $9cm$ et de diamètre de base $6cm$, comme l’indique la figure ci-contre.

1. Montrer que le volume de ce cornet est égal à $84,78\ \text{cm}^3$. 0,75pt
2. On remplit le cornet avec de la glace au chocolat sur une hauteur de $4,5\ \text{cm}$. Calculer le volume de la glace au chocolat.
   Prendre $\pi=3,14$. 0,75pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (10 points)

Situation :

Présentation des constructions

Pour améliorer son cadre de vie, le propriétaire d’un domaine décide de bâtir un garage pour ses voitures, un espace de détente et deux abris pour ses chiens, comme l’indiquent les images ci-dessus. Les plans de la charpente de chaque construction sont représentés respectivement par les figures 1, 2 et 3.

Hypothèses de construction

Chaque ferme du garage et de l’espace de détente est symétrique. Pour chaque toiture, toutes les fermes sont identiques. Les deux abris pour chiens possèdent la même configuration.

Travaux prévus et matériaux utilisés

Dans la phase actuelle des travaux, il souhaite couvrir les deux pentes identiques du toit du garage avec des tuiles vendues à $7\,000\ \text{FCFA}$ le $m^2$. Il prévoit également d’installer, dans l’espace de détente, un plafond en lambris vendus à $4\,000\ \text{FCFA}$ le $m^2$, couvrant tout l’espace inférieur horizontal des fermes.

Par ailleurs, il désire couvrir toute la face arrière des deux abris pour chiens avec des panneaux vendus à $5\,000\ \text{FCFA}$ le $m^2$, depuis le point le plus haut de la charpente jusqu’au sol.

Données dimensionnelles

Les longueurs totales de la toiture, mesurées d’un point de la première ferme au point correspondant de la dernière ferme, sont respectivement de $10\ \text{m}$ pour le garage, $10\ \text{m}$ pour l’espace de détente et $4\ \text{m}$ pour l’abri pour chiens.

Tâches :

1. Quel est le montant représentant la dépense pour l’achat des tuiles destinées à la couverture de la toiture du garage ? 3 pts
2. Quel est le montant représentant la dépense pour l’achat des lambris destinés au plafond de l’espace de détente ? 3 pts
3. Quel est le montant représentant la dépense pour l’achat des panneaux destinés à la couverture des faces arrière des deux abris pour chiens ? 3 pts