Tle D: BAC Blanc en maths

PARTIE A : Évaluation des ressources (15 points)

Exercice 1 : 5 points (uniquement pour la série D)

On considère le polynôme complexe $P$ de degré $3$ défini par : $$P(z)=z^3-(2+2i)z^2+2(1+2i)z-4i.$$

1. Montrer que $P(2i)=0$.
2. 1. Déterminer les nombres complexes $a$ et $b$ tels que $P(z)=(z-2i)(z^2+az+b)$.
   2. Résoudre l’équation $P(z)=0$.
3. Soit $z_A=1+i$ et $z_M=x+iy$ avec $x$ et $y$ des nombres réels. On note $(C)$ l’ensemble des points $M(x,y)$ du plan tels que $|z_M-z_A|=4$.
   1. Justifier que le point $B(-3;1)$ appartient à $(C)$.
   2. Déterminer puis construire l’ensemble $(C)$.
4. Dans le plan complexe, on donne les points $A(2;-5)$, $B(2;3)$ et $C(8;-1)$.
   1. Écrire la forme algébrique de $\dfrac{z_C-z_B}{z_C-z_A}$.
   2. En déduire la nature exacte du triangle $ABC$.
   3. Donner la forme complexe de la rotation $r$ de centre $C$ transformant $B$ en $A$.
5. Soit $(C_2)$ l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $z^2+yz=9$. Déterminer l’image de $(C_2)$ par la rotation $r$.

Exercice 2 : 5 points (uniquement pour la série TI)

$E$ est un plan vectoriel réel de base $B=(\vec i,\vec j)$. Soit $f$ un endomorphisme de $E$ dont la matrice dans la base $B$ est : $$A=\begin{pmatrix} m-4 & \sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & m \end{pmatrix},$$ où $m$ est un paramètre réel.

1. Déterminer les valeurs de $m$ pour que $f$ soit un automorphisme de $E$.
2. On prend $m=1$ pour la suite de l’exercice.
   1. Calculer $f(\vec i)$ et $f(\vec j)$.
   2. Déterminer le noyau de $f$, puis en donner une base.
   3. Déterminer l’image de $f$, puis en donner une base.
3. On pose $\vec u=\vec i+\sqrt{3}\vec j$ et $\vec v=\sqrt{3}\vec i+\vec j$, deux vecteurs de $E$.
   1. Montrer que $B'=(\vec u,\vec v)$ est une base de $E$.
   2. Établir que la matrice de $f$ dans la base $B'$ est $M=\begin{pmatrix}0&0\\0&-2\end{pmatrix}$.
   3. Calculer $M^2$ et $M^3$.
   4. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul $n$ : $$M^n=\begin{pmatrix}0&0\\0&(-2)^n\end{pmatrix}.$$

4. Soient $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ la matrice unité d’ordre $2$ et $O=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ la matrice nulle d’ordre $2$.
   1. Montrer que $2M=M^2+M^3$.
   2. En déduire que $M(M^2+M-2I)=O$.
   3. La matrice $M^2+M-2I$ est-elle inversible ?

Exercice 2 : 4 points

1. On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\ln(1+x)$.
   1. Montrer que $f$ est strictement croissante sur son ensemble de définition.
   2. Calculer $f(0)$.
   3. En déduire que pour tout $x\ge0$, $f(x)\ge0$.
   4. Établir que pour tout $x\ge0$, $\ln(1+x)\le x$.
2. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\ln(1+u_n)$ pour $n\ge0$.
   1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$.
   2. Montrer par récurrence que $(u_n)$ est décroissante.
   3. Conclure, à l’aide des résultats précédents, que la suite $(u_n)$ converge.
   4. On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$. Déterminer $\ell$ sachant que $f(\ell)=\ell$.

Exercice 3 : 3 points

Une urne contient $8$ boules indiscernables au toucher parmi lesquelles $2$ blanches, $3$ bleues et $3$ rouges. On tire successivement et sans remise $2$ boules de cette urne.

1. Calculer la probabilité que les deux boules tirées soient de même couleur.
2. On appelle $X$ la variable aléatoire qui associe le nombre de boules rouges tirées.
   1. Montrer que la loi de probabilité de $X$ est :

      $x_i$	0	1	2
      $P(X=x_i)$	$\frac{10}{28}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{28}$

   2. Calculer l’espérance mathématique de $X$.
   3. Déterminer la variance de $X$.
   4. Calculer l’écart-type de $X$.

Exercice 4 : 3 points

Anne et Solange sont deux amies qui se rendent dans un supermarché pour acheter uniquement des oranges, des ananas et des avocats. Anne achète des oranges à $350$ FCFA, un avocat à $600$ FCFA et la somme de $3250$ FCFA. Solange achète une orange à $300$ FCFA, un ananas à $500$ FCFA, un avocat à $800$ FCFA et paie la somme de $3250$ FCFA. Les deux amies achètent au total $60$ fruits. On désigne par $x$, $y$ et $z$ le nombre d’oranges, d’ananas et d’avocats achetés.

1. Justifier que $x$, $y$ et $z$ vérifient le système $(S)$ ci-dessous :

   $\begin{cases} x+y+z=60\\ 2x+3{,}5y+6z=232{,}5\\ 3x+5y+8z=325 \end{cases}$

2. Résoudre le système $(S)$.
3. En déduire le nombre d’oranges, le nombre d’ananas et le nombre d’avocats achetés par les deux amies.

PARTIE B : Évaluation des compétences (5 points)

Situation

Les experts chinois en énergie solaire qui ont installé les lampadaires solaires dans le chef-lieu du département d’une des régions du Cameroun ont révélé au Maire de ce chef-lieu que la quantité d’énergie solaire en kWh absorbée par ces lampadaires pendant la journée en fonction du temps $t$ (en heures) est donnée par la fonction définie par :

$$ f(t)= \begin{cases} 0 & \text{si } 0 \le t \le 6,\\ -54+12t-\dfrac{1}{2}t^2 & \text{si } 6 \le t \le 18,\\ 0 & \text{si } 18 \le t \le 24. \end{cases} $$

Le Maire se pose un certain nombre de questions légitimes concernant la capacité de ces plaques solaires à stocker effectivement l’énergie solaire. En répondant aux questions ci-dessous, donner des éléments de réponse à certaines interrogations que le Maire se pose.

Tâches

1. Déterminer l’heure où l’absorption d’énergie solaire par ces lampadaires est maximale et donner cette quantité.
2. Déterminer l’intervalle de temps pendant lequel l’absorption d’énergie solaire par ces lampadaires augmente.
3. Se demander s’il existe deux temps distincts dans la journée où la quantité d’énergie solaire absorbée est de $6$ kWh.

Présentation : 0,5 pt

Exercice 1 (03,5 points)

On considère le polynôme $P(z)$ de la variable complexe $z$ défini par : $$P(z)=z^3-(1-2\sin\alpha)z^2+(1-2\sin\alpha)z-1,$$ où $\alpha\in[0;\pi]$.

1. Calculer $P(1)$.
2. Déduire trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que $P(z)=(z-1)(az^2+bz+c)$.
3. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation $P(z)=0$.
4. On considère les trois nombres complexes $z_1=1$, $z_2=-\sin\alpha+i\cos\alpha$ et $z_3=-\sin\alpha-i\cos\alpha$. Déterminer le module et un argument de chacun de ces nombres complexes.

Exercice 2 (07 points)

Le professeur de mathématiques d’une classe de $Tle\;D$ a représenté les notes d’un contrôle par le tableau suivant :

1. Sachant qu’il n’y a pas d’élèves absents lors de ce contrôle, déterminer l’effectif total de la classe.
2. Déterminer le nombre de bureaux possible pour désigner un comité de $6$ personnes.
3. Calculer la probabilité de constituer un comité comprenant :
   1. Des élèves ayant obtenu une note strictement inférieure à la moyenne.
   2. Des élèves ayant obtenu une note comprise entre $8$ et $16$.
   3. Des élèves ayant obtenu au moins une note de $07/20$.
4. Le professeur exclut de son cours les élèves ayant une note inférieure ou égale à $6$. Quelle est la probabilité de constituer un comité comprenant uniquement les élèves exclus ?
5. Le tableau précédent devient une statistique portant sur les pourcentages de femmes $x_i$ et d’hommes $y_i$ atteints par le sida pendant les dix dernières années dans un pays :

   $x_i$	3	5	6	8	9	11	12	14	17	20
   $y_i$	2	3	4	6	5	8	10	11	14	16

   1. Représenter le nuage de points $(x_i,y_i)$ dans un repère orthonormé.
   2. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage.
   3. Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode de Mayer, puis tracer cette droite.
   4. Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique. Que peut-on en déduire ?
6. Si le pourcentage des femmes atteintes par le sida est de $30\%$, à quel pourcentage d’hommes atteints peut-on s’attendre ?

Problème

Les parties A, B et C sont dépendantes

Partie A : 3 points

Dans cette première partie, on considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=x-x\ln x+1$. On appelle $(C_g)$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec i;\vec j)$ d’unité $2cm$ sur l’axe des abscisses et $4cm$ sur l’axe des ordonnées.

1. Étudier les limites de $g$ en $0$ à droite et en $+\infty$.
2. Calculer $g(1)$ puis dresser le tableau de variation de $g$.
3. Déduire le signe de $g$ sur $]0;+\infty[$.
4. Calculer l’aire en $cm^2$ du domaine $A=\{M(x,y)\mid x\le g(x)\le y\le \ln x\}$.

Partie B : 7,5 points

L’objet de cette deuxième partie est l’étude de la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1-\ln x}{x}$. On appelle $(C_f)$ sa courbe représentative dans le même plan rapporté au repère $(O;\vec i;\vec j)$.

1. Étudier les limites de $f$ en $0$ à droite et en $+\infty$.
2. Montrer que, pour tout $x$ dans $]0;+\infty[$, $f'(x)=\dfrac{-g(x)}{x^2}$.
3. En déduire les variations de $f$, puis dresser son tableau de variations.
4. Construire $(C_f)$.
5. Montrer que l’équation $f(x)=\dfrac12$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]3{,}5;3{,}6[$.
6. On pose $h(x)=\ln x+\dfrac12 x$.
   1. Montrer que l’équation $h(x)=x$ admet aussi comme solution $\alpha$.
   2. Montrer que $g(\alpha)=\dfrac12\alpha^2-\dfrac32\alpha+1$.
   3. Montrer que pour tout $x$ dans $[3;4]$, on a $|h'(x)|\le\dfrac56$.
7. On pose pour tout entier naturel $n$ : $$ \begin{cases} u_0=3\\ u_{n+1}=h(u_n) \end{cases} $$
   1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $|u_{n+1}-\alpha|\le\dfrac56|u_n-\alpha|$.
   2. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $|u_n-\alpha|\le\left(\dfrac56\right)^n$.
   3. Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers $\alpha$.
   4. Déterminer l’entier naturel $p$ tel que $u_p$ soit une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.

Partie C : 2 points

1. Considérer l’équation différentielle $(E)$ : $y'+2y=(2x+1)\ln x-2x+2$. Vérifier que la fonction $g$ est solution de $(E)$.
2. Montrer qu’une fonction $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f-g$ est solution de l’équation différentielle $(E') : y'+2y=0$.
3. Résoudre $(E')$ et en déduire les solutions de $(E)$.

Exercice 1 (06,75 points)

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;\vec i;\vec j)$. Unité graphique : $2cm$ sur les axes. On considère les intégrales ci-dessous :

$$ A=\int_0^1 \frac{e^x}{(1+e^x)^2}\,dx,\qquad B=\int_0^1 \frac{1}{(1+e^x)^2}\,dx,\qquad I=\int_0^1 \frac{x e^x}{(1+e^x)^2}\,dx. $$

1. Calculer $A$ et $B$.
2. Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout réel $t$, on ait : $$ \frac{1}{(1+t)^2}=\frac{a}{1+t}+\frac{b t}{1+t}+\frac{c t}{(1+t)^2}. $$
3. En posant $t=e^x$, calculer $I$.
4. À l’aide d’une intégration par parties, exprimer $I$ en fonction de $A$.
5. En utilisant la décomposition en éléments simples, calculer les intégrales suivantes :
   1. $\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{x-1}{x^2-4}\,dx$ et $\displaystyle\int_{-2}^{2} \frac{2x+1}{3x^2-x-3}\,dx$.
   2. $\displaystyle K=\int_{-2}^{2} \frac{x^4+x+1}{x^3-3x^2+2x}\,dx$.
6. Calculer $$ T=\int_{-2}^{2} \frac{x^2+4x+5}{x}\,dx \quad\text{et}\quad R=\int_{-2}^{2} \frac{5}{x^2+4x+8}\,dx. $$

Exercice 2 (04,25 points)

1. On considère la transformation $s$ du plan associant à tout point $M(x;y)$ le point $M'(x';y')$ tel que : $$ \begin{cases} x'=x-y\sqrt3+\dfrac32,\\ y'=x\sqrt3+y+\dfrac32. \end{cases} $$ On note $z$ et $z'$ les affixes respectives des points $M$ et $M'$.
   1. Écrire $z'$ en fonction de $z$.
   2. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de $s$.
2. Soit $n\in\mathbb N$. On définit la suite $(z_n)$ par : $$ z_0=\frac12+i\frac{\sqrt3}{2},\qquad z_{n+1}=(1-i\sqrt3)z_n. $$ On note $M_n$ le point d’affixe $z_n$, $r_n=|z_n|$ et $\theta_n=\arg(z_n)$.
   1. Écrire $z_2$ et $z_3$ sous forme trigonométrique.
   2. Montrer que la suite $(\theta_n)$ est arithmétique (on pourra utiliser la forme exponentielle de $z_{n+1}$).
   3. Exprimer les sommes $S_n=r_0+r_1+\cdots+r_n$ et $Q_n=\theta_0+\theta_1+\cdots+\theta_n$ en fonction de $n$.

Problème (09 points)

Partie A (06,5 points)

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=(x+1)^2e^{-x}$. $C_g$ est la représentation graphique de $g$ dans un repère orthonormal $(O;\vec i;\vec j)$. Unité graphique : $2cm$ sur les axes.

1. 1. Calculer la dérivée $g'$ de $g$ et montrer que $g'(x)$ est du signe de $1-x^2$.
   2. Dresser le tableau de variation de $g$.
   3. Tracer la courbe $C_g$. On placera en particulier les points d’abscisses respectives $x_1=-2$, $x_2=-1$, $x_3=0$, $x_4=1$ et $x_5=2$.
2. Par lecture graphique, indiquer, suivant les valeurs du nombre réel $k\ge0$, le nombre de solutions de l’équation $g(x)=k$.
3. Prouver rigoureusement que l’équation $g(x)=2$ admet une solution unique $\alpha$ et que $\alpha\in]-2;-1]$.
4. Montrer que l’on a : $\alpha=-1-\sqrt{2}\,e^{\frac{\alpha}{2}}$.
5. Soit $I$ la fonction définie sur $[-2;-1]$ par $I(x)=-1-\sqrt{2}\,e^{\frac{x}{2}}$.
   1. Étudier les variations de $I$, puis montrer que pour tout élément $x$ de $I$, $I(x)$ appartient à $I$.
   2. Montrer que pour tout $x$ de $I$, $|I'(x)|\le\dfrac{\sqrt2}{2e^{1/2}}$.
   3. Montrer que pour tout $x$ de $I$, $|I(x)-\alpha|\le\dfrac{\sqrt2}{2e^{1/2}}|x-\alpha|$.
6. Soit $(U_n)$ la suite d’éléments de $I$ définie par $U_0=-\dfrac32$ et $U_{n+1}=I(U_n)$.
   1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $|U_{n+1}-\alpha|\le\dfrac{\sqrt2}{2e^{1/2}}|U_n-\alpha|$.
   2. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $|U_n-\alpha|\le\left(\dfrac{\sqrt2}{2e^{1/2}}\right)^n|U_0-\alpha|$.
   3. Montrer que la suite $(U_n)$ converge et préciser sa limite.

Partie B (02,5 points)

On considère les équations différentielles : $(E):y''+y'+y=(x^2+1)e^{-x}$ et $(E_0):4y''+12y'+9y=0$.

1. Vérifier que la fonction $f$ est solution de $(E)$.
2. Montrer qu’une fonction $\varphi$ est solution de $(E)$ si et seulement si $\varphi-f$ est solution de l’équation différentielle $(E_0)$.
3. Résoudre $(E_0)$ et en déduire les solutions de $(E)$.

EXERCICE 1 : 5 points

1. Soit $P$ un polynôme à variable complexe $z$ défini par : $$P(z)=z^3+3z^2-5+5i.$$
   1. Vérifier que le nombre complexe $-1-i$ est une racine de $P$.
   2. Déterminer les complexes $a$ et $b$ tels que $$P(z)=(z+1+i)(z^2+az+b).$$
   3. Résoudre dans $\mathbb C$ l’équation $P(z)=0$.
2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec i;\vec j)$. On donne les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives $z_A=-1-i$, $z_B=-2-i$ et $z_C=-1+2i$.
   1. Déterminer l’ensemble $\mathcal S$ des points $M$ d’affixe $z$ tels que $|z+2+i|=|z+1-2i|$, puis vérifier que le point $A$ appartient à $\mathcal S$.
   2. Déterminer l’argument du nombre complexe $$\frac{z_A-z_C}{z_B-z_C},$$ puis en déduire la mesure principale de l’angle orienté $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$.
   3. En déduire la nature exacte du triangle $ABC$.
3. On considère la similitude directe $S$ de centre $B$ qui transforme $A$ en $C$.
   1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude $S$.
   2. Donner l’écriture complexe de $S$.
   3. $(\mathcal C)$ est le cercle circonscrit au triangle $ABC$. Déterminer les caractéristiques de l’image $\mathcal C'$ de $\mathcal C$ par $S$.

EXERCICE 2 : 5 points

1. Une urne contient dix boules indiscernables au toucher : cinq vertes, trois rouges et deux jaunes. On tire au hasard et simultanément trois boules de l’urne. On considère les événements : $A$ : « les boules tirées sont vertes » ; $B$ : « les boules tirées sont de même couleur » ; $C$ : « les boules tirées sont chacune de couleur différente ».
   1. Calculer les probabilités $P(A)$, $P(B)$ et $P(C)$.
2. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de couleurs obtenues après le tirage.
   1. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
   2. Calculer l’espérance mathématique de $X$.
3. Une entreprise achète et utilise des machines après un certain nombre $x$ d’années. Après six années, l’évolution du prix de vente $y$ d’une machine en fonction du nombre d’années d’utilisation se présente comme suit :

   Nombre d’années $x$	1	2	3	4	5	6
   Prix $y$ (en milliers de FCFA)	150	125	90	75	50	45

1. Déterminer une équation cartésienne de la droite de régression de $y$ en $x$.
2. En déduire une estimation du prix de vente d’une machine après $7$ ans d’utilisation.

PROBLÈME : 10 points

PARTIE A : 3 points

Soit l’équation différentielle $(E)$ : $$ y'-2y=xe^{x}. $$

1. Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la fonction $f$ définie par $f(x)=(ax+b)e^{x}$ soit solution de $(E)$.
2. Montrer qu’une fonction $h$ est solution de $(E)$ si et seulement si la fonction $h-f$ est solution de l’équation différentielle $(E') : y'-2y=0$.
3. 1. Résoudre l’équation différentielle $(E')$.
   2. En déduire l’ensemble solution de l’équation $(E)$.
   3. Déterminer la solution de l’équation $(E)$ qui s’annule en $0$.

PARTIE B : 2,75 points

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ g(x)=2e^{x}-x-2. $$

1. Calculer les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
2. Étudier les variations de $g$, puis dresser son tableau de variations.
3. Montrer que l’équation $g(x)=0$ admet exactement deux solutions réelles, dont l’une est $0$ et l’autre, notée $\alpha$, vérifie $-1{,}6<\alpha<-1{,}5$.
4. En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.

PARTIE C : 4,25 points

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ f(x)=e^{2x}-(x+1)e^{x}, $$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal $(O;\vec i;\vec j)$ d’unité graphique $2cm$.

1. Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
2. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations (on pourra utiliser la partie B).
3. Montrer que $$ f(\alpha)=\frac{\alpha^{2}+2\alpha}{4}, $$ puis en déduire un encadrement de $f(\alpha)$ en utilisant l’encadrement de $\alpha$ obtenu en partie B.
4. Représenter $\mathcal{C}_f$.
5. Calculer en $cm^2$ l’aire du domaine délimité par $\mathcal{C}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=0$ et $x=1$.

EXERCICE 1 : (05,00 points)

1. On considère, dans le plan rapporté au repère orthonormé $(O;\vec i;\vec j)$, le polynôme $P$ défini dans $\mathbb{C}$ par : $$P(z)=z^3+(2+i)z^2+4(2-i)z-6i.$$
   1. Vérifier que $P(2i)=0$.
   2. Déterminer les racines carrées du nombre complexe $z_1=12+16i$.
   3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $P(z)=0$.
2. On donne les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives $z_A=-2i$, $z_B=1+i$ et $z_C=-3-i$. Calculer la nature du triangle $ABC$.
3. Soit $S$ la similitude directe de centre $B$ qui transforme $A$ en $C$.
   1. Déterminer le repère $(\alpha;\vec u;\vec v)$ et l’écriture complexe de $S$.
   2. Déterminer les éléments caractéristiques de $S$.
4. Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par : $$u_n=\frac{e^{n}}{1+e^{n}},$$ et $(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$w_n=\ln(u_n)-2.$$
   1. Montrer que la suite $(w_n)$ est géométrique de raison $e^{-1}$.
   2. En déduire l’expression de $w_n$ et de $u_n$ en fonction de $n$.
   3. Justifier que la suite $(u_n)$ converge vers $2$.

EXERCICE 2 : (04,50 points)

On considère la série statistique représentée dans le tableau suivant. Elle présente le chiffre d’affaires des ventes de téléviseurs $(X)$ et le chiffre d’affaires des ventes de magnétoscopes $(Y)$ bimensuel d’un magasin d’équipements électroménagers en une année. Les montants sont exprimés en millions de francs.

1. Déterminer les coordonnées du point moyen $G$.
2. Vérifier que la droite de régression de $Y$ en $X$ est : $y=6{,}93x+15{,}11$.
3. Préciser si cette corrélation linéaire est bonne et justifier votre réponse.
4. On s’intéresse au comportement d’un acheteur potentiel de téléviseur et de magnétoscope. La probabilité qu’il achète un téléviseur est de $\dfrac{3}{5}$. La probabilité pour qu’il achète un magnétoscope sachant qu’il a acheté un téléviseur est de $\dfrac{1}{5}$.
   1. Quelle est la probabilité pour qu’il achète un magnétoscope ?
   2. Quelle est la probabilité pour qu’il n’achète ni téléviseur ni magnétoscope ?
   3. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de clients ne pouvant acheter de téléviseur. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
   4. Calculer l’espérance mathématique de $X$.

PROBLÈME : (10,50 points)

PARTIE A

1. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $$f(x)=x-e^{2x-2}.$$ On note $(C_f)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O;\vec i;\vec j)$, en prenant $5cm$ comme unité.
   1. Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
   2. Démontrer que la droite $(D):y=x$ est asymptote à la courbe $(C_f)$ en $-\infty$, puis étudier la position relative de $(C_f)$ et $(D)$.
   3. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.
   4. On note $A$ le point de la courbe $(C_f)$ d’abscisse $1$. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ en $A$ à la courbe $(C_f)$.
   5. On note $I$ l’intervalle $[0;1]$.
      1. Démontrer que l’équation $f(x)=0$ admet dans l’intervalle $I$ une unique solution $\alpha$.
      2. Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.
   6. Construire la courbe $(C_f)$, l’asymptote $(D)$ et la tangente $(T)$.
2. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $$g(x)=e^{2x-2}.$$ Et soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb N$ par : $$\begin{cases} u_0=0\\ u_{n+1}=g(u_n) \end{cases}$$
   1. Montrer que $g(\alpha)=\alpha$.
   2. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $I$, on a $|g'(x)|\le e^{-2}$.
   3. Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $I$, $|g(x)-\alpha|\le e^{-2}|x-\alpha|$.
   4. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $|u_{n+1}-\alpha|\le e^{-2}|u_n-\alpha|$.
   5. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $|u_n-\alpha|\le e^{-2n}$.
   6. En déduire que la suite $(u_n)$ converge et donner sa limite.

PARTIE B

La courbe ci-contre est celle de la dérivée $h'(x)$ d’une fonction $h(x)$ dans le repère $(O;\vec i;\vec j)$ d’unité graphique $2cm$. On suppose que $h(x)=(ax+b)e^x$ et que $h(1)=-e$.

1. Étudier les variations de $h$.
2. On suppose que $\lim_{x\to -\infty} h(x)=0$.
   1. Déterminer $\lim_{x\to +\infty} h(x)$.
   2. Dresser le tableau de variation de $h$.
3. Montrer que $a=1$ et $b=-2$.
4. Montrer que $h$ est solution de l’équation différentielle $$(E): 3y''-2y'+4y=(5x+6)e^x.$$
5. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégrale suivante : $$I=\int_0^1 (x-2)e^x\,dx.$$
6. Déterminer l’aire de la partie du plan délimitée par la courbe $(C_h)$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=-2$ et $x=0$.

Exercice 1 : 5 points

Dans le plan complexe rapporté au repère orthogonal $(O;\vec u;\vec v)$, on considère :

1. L’ensemble $(E)$ des points $M(x;y)$ d’affixe $z=re^{i\theta}$, vérifiant la relation : $$r^2-\cos(2\theta)+1=9,$$ où $r$ et $\theta$ sont respectivement le module et l’argument de $z$. Soient $z_A$ et $z_B$ les affixes respectives des points $A$ et $B$ du plan. Déterminer le module et l’argument de $z_A$ et $z_B$ sachant que $$z_B=3e^{i\alpha}\ \text{avec}\ \alpha\le\frac{\pi}{2}.$$
2. Les points $F$, $E$, $D$ d’affixes respectives $$z_F=-\frac12,\quad z_E=-1+\frac{\sqrt3}{2}i,\quad z_C=1+\sqrt3\,i,\quad z_D=3.$$
   1. Montrer que le triangle $FED$ est rectangle en $E$.
   2. Déterminer l’écriture complexe de la similitude directe $S$ qui transforme $E$ en $F$ et $F$ en $C$.
   3. Donner les éléments caractéristiques de la similitude $S$.

Exercice 2 : 3 points

Un fournisseur d’une compagnie en appareils ménagers est approvisionné par trois marques notées respectivement $M_1$, $M_2$ et $M_3$. La moitié des appareils de son stock provient de $M_1$, un huitième de $M_2$ et trois huitièmes de $M_3$.

Ce fournisseur sait que dans son stock : 12% des appareils de la marque $M_1$ sont rouges, 4% des appareils de la marque $M_2$ sont rouges et 10% des appareils de la marque $M_3$ sont rouges.

On choisit au hasard un appareil emblématique dans le stock du fournisseur (on donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles).

1. Quelle est la probabilité qu’il vienne de $M_2$ ?
2. Quelle est la probabilité qu’il soit rouge sachant qu’il vienne de $M_2$ ?
3. Quelle est la probabilité que l’appareil choisi ne soit pas de couleur rouge ?

Exercice 3 : 5 points

Le plan est muni du repère orthonormé $(O;I;J)$ (unité graphique : $1\,cm$).

1. On considère la fonction numérique $f$ définie par : $$f(x)=(ax^2+bx+c)e^x\quad \text{où } a,b,c\in\mathbb R.$$ La courbe représentative $(C)$ de $f$ passe par les points $$B(-2;-6e^{-2}),\quad C(2;-2e^2),$$ et admet au point d’abscisse $x_0=1$ une tangente $(T)$ perpendiculaire à la droite $(D)$ d’équation : $$y=\frac13(e^{-x}+2).$$
   1. Montrer que pour tout réel $x$, $$f'(x)=(ax^2+(2a+b)x+b+c)e^x,$$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
   2. Déterminer en fonction de $a$, $b$ et $c$ les expressions de $f(-2)$, $f(2)$ et $f'(1)$.
   3. En déduire de tout ce qui précède que : $$a=1,\quad b=-2,\quad c=-2.$$
2. On considère désormais la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $$g(x)=\frac{1}{2}f(x).$$
   1. Étudier les variations de $g$ sur $\mathbb{R}$ puis dresser son tableau de variation.
   2. Tracer dans le repère $(O;I;J)$ la courbe représentative $(C')$ de la fonction $g$.
3. On pose $F(x)=(x^2-4x+2)e^x$.
   1. Vérifier que $F'(x)=f(x)$ puis conclure.
   2. Déterminer l’aire du domaine $D$ délimité par la courbe $(C)$ et la droite d’équation $x=2$, ainsi que les axes des coordonnées.

Partie B : Évaluation des compétences (7 points)

Monsieur Koul est un fermier qui fait dans l’élevage des poules. Il a relevé dans le tableau suivant le nombre de poules élevées annuellement par son entreprise :

Les valeurs du nombre de poules élevées en 2019 et en 2022 ont été effacées par mégarde.

Ces valeurs manquantes seront estimées par la méthode des moindres carrés. On donne l’équation de la droite de régression de $y$ en $x$ permettant d’estimer le nombre de poules élevées : $$T(y)=22x+243.$$

Monsieur Koul doit se rendre à partir de son domicile, représenté par le sommet $A$, au ministère de l’élevage (sommet $G$) afin de déposer ses statistiques. Il peut passer par les différents villages représentés par les sommets $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ en minimisant le coût du trajet.

Le réseau routier reliant ces quartiers est matérialisé sur la figure ci-dessous où les nombres désignent les distances en kilomètres. Un architecte lui indique que le graphe de cette région est connexe.

Le fermier souhaite également clôturer son champ rectangulaire dont les dimensions sont $200\,m$ sur $120\,m$. Le prix d’un mètre de fil barbelé est de $245\,FCFA$. Son architecte lui indique que le périmètre défini de ce champ est : $$P(x)=3x^3-2x^2+3x-2.$$ Sachant que les conditions initiales sont $P(0)=0$ et $P'(0)=3$, il dispose d’un montant total de $19\,400\,FCFA$ pour l’achat du fil.

Tâches

1. Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ manquantes dans le tableau.
2. Calculer le plus court chemin que Monsieur Koul devra parcourir pour se rendre au ministère.
3. Déterminer si Monsieur Koul pourra clôturer sa ferme.

Présentation :

EXERCICE 1 (05,5 points)

1. Soit dans $\mathbb{C}$ l’équation $(E)$ : $$z^3-2(3+i)z^2+(8+9i)z+3-9i=0.$$ Montrer que l’équation $(E)$ admet une racine réelle $\alpha$ que l’on déterminera.
2. Déterminer les nombres complexes $a$ et $b$ tels que, pour tout complexe $z$, $$z^3-2(3+i)z^2+(8+9i)z+3-9i=(z-3)(z^2+az+b),$$ puis résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $(E)$.
3. On désigne par $A$, $B$ et $C$ les points d’affixes respectives $3$, $3+i$ et $i$ dans le plan muni du repère orthonormé $(O;\vec u;\vec v)$.
   1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan et montrer que le quadrilatère $OABC$ est un rectangle.
   2. Déterminer les coordonnées de l’isobarycentre $G$ des points $O$, $A$, $B$ et $C$.
   3. Déterminer l’ensemble des points $M$ du plan tels que $$|MO+MA+MB+MC|=8,$$ et représenter la figure précédente.
4. Donner l’écriture complexe de la similitude directe de centre $A$ qui transforme $O$ en $B$, puis préciser ses éléments caractéristiques.

EXERCICE 2 (05 points)

A – Le tableau suivant donne la masse $y_i$ (en kg) du nourrisson $x_i$ jours après sa naissance :

1. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage des points.
2. Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés.
3. Trente-cinq jours après la naissance, le nourrisson a une masse de $4{,}5$ kg. Cela vous paraît-il normal ?

B – Lors d’une enquête sur le devenir des élèves d’une classe de Tle D après le Baccalauréat, on observe que 80% souhaitent continuer leurs études. Parmi eux, 45% sont des filles. Parmi ceux qui ne souhaitent pas continuer les études après le baccalauréat, 30% sont des garçons.

Un journaliste rencontre un élève de cette classe dans la rue et l’interroge sur sa volonté de continuer ses études après le baccalauréat.

1. Quelle est la probabilité que la personne interrogée soit un garçon ?
2. Quelle est la probabilité que la personne interrogée souhaite continuer ses études sachant que c’est un garçon ?
3. Soit $X$ la variable aléatoire associée au nombre d’élèves souhaitant continuer leurs études après le baccalauréat. Déterminer la loi de probabilité de $X$ et calculer son espérance mathématique.

PROBLÈME (09,5 points)

Partie A : Résolution d’une équation différentielle

1. Soit l’équation différentielle $(E_1)$ : $$y'-2y=xe^x.$$ Résoudre sur $\mathbb{R}$ l’équation différentielle $(E_1)$.
2. Soient $a$ et $b$ deux réels et $U$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$U(x)=(ax+b)e^x.$$
   1. Déterminer $a$ et $b$ pour que $u$ soit solution de l’équation $(E_1)$.
   2. Montrer que $v$ est solution de $(E_1)$ si et seulement si $u-v$ est solution de $(E_2)$.
   3. En déduire l’ensemble solution de $(E_1)$.
3. Déterminer la solution de $(E_1)$ dont la courbe passe par l’origine du repère.

Partie B : Étude d’une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$g(x)=2e^x-x-2.$$ On pose $h(x)=2\big(e^x-1\big)$ et on définit la suite $(u_n)$ par $u_0=-2$ et $u_{n+1}=h(u_n)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

1. Déterminer la limite de $g$ en $-\infty$ et la limite de $g$ en $+\infty$.
2. Étudier le sens de variation de $g$, puis dresser son tableau des variations.
3. 1. Justifier que l’équation $g(x)=0$ admet exactement deux solutions réelles dont l’une est $0$ et l’autre est notée $\alpha$.
   2. Montrer que $g(x)=0$ équivaut à $h(x)=x$.
   3. Montrer que $-1{,}60<\alpha<-1{,}59$.
   4. Montrer que $h([-2;-1])\subset[-2;-1]$, et déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\in[-2;-1]$.
   5. Montrer que pour tout $x\in[-2;-1]$, $|h'(x)|\le 0{,}8$.
   6. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $$|u_{n+1}-\alpha|\le 0{,}8\,|u_n-\alpha|.$$
   7. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $$|u_n-\alpha|\le 0{,}8^n.$$
   8. En déduire que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.
4. Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.

Partie C : Étude de la fonction principale

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=e^{2x}-(x+1)e^x,$$ et $(C)$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec i;\vec j)$ d’unité graphique $2cm$.

1. Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ et la limite de $f$ en $+\infty$.
2. Calculer $f'(x)$ et montrer que $f(x)$ et $g(x)$ ont le même signe. Étudier le sens de variation de $f$.
3. Montrer que $$f(\alpha)=\frac{\alpha^2-2\alpha}{4},$$ où $\alpha$ est défini dans la partie B.
4. En déduire un encadrement de $f(\alpha)$.
5. Dresser le tableau de variation de $f$.
6. Étudier les branches infinies de la courbe de $f$.
7. Tracer la courbe $(C)$.

SUJET DE MATHÉMATIQUES

Exercice 1

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation : $$E:\;4z^2-12z+153=0.$$
2. Dans le plan rapporté au repère orthonormé $(O;\vec u;\vec v)$ d’unité graphique $1\,cm$, on considère les points $A$, $B$, $C$, $D$ d’affixes respectives : $$z_A=\frac32+i,\quad z_B=2-6i,\quad z_C=3-\frac14i,\quad z_D=\frac12+i.$$ On note $\vec w=\overrightarrow{AB}$.
   1. Déterminer l’affixe $z_Q$ du point $R$, image du point $B$ par la translation de vecteur $\vec w$.
   2. Déterminer l’affixe $z_R$ du point $R$, image du point $P$ par l’homothétie de centre $C$ et de rapport $-\dfrac13$.
   3. Déterminer l’affixe $z_S$ du point $S$, image du point $P$ par la rotation de centre $A$ et d’angle $-\dfrac{\pi}{2}$.
   4. Placer les points $P$, $Q$, $R$ et $S$.
   5. Montrer que le quadrilatère $PQRS$ est un parallélogramme.
   6. Calculer $z_R-z_Q$ et en déduire la nature précise du parallélogramme $PQRS$.
   7. Justifier que les points $P$, $Q$, $R$ et $S$ appartiennent à un même cercle, noté $(C)$. On calculera l’affixe de son centre $Q$ et son rayon $r$.
3. La droite $(AP)$ est-elle tangente au cercle $(C)$ ?

Exercice 2

Craignant une propagation de grippe infectieuse, un service de santé d’une ville de $50\,000$ habitants a relevé le nombre de consultations hebdomadaires concernant cette grippe dans cette ville pendant $7$ semaines. Ces semaines ont été numérotées de $1$ à $7$.

On note $x_i$ les rangs successifs des semaines et $y_i$ le nombre de consultations correspondant.

1. Tracer le nuage de points, en prenant $2\,cm$ pour une unité en $x$ et $1\,cm$ pour $300$ en $y$.
2. Un modèle d’ajustement affine a été rejeté par le service de santé. Expliquer pourquoi.
3. Pour effectuer un ajustement exponentiel, on décide de poser $$y_i=e^{z_i},$$ avec $z_i$ arrondi à $0{,}01$ près. Il n’est pas demandé de tracer le nuage de points correspondant.
   1. Compléter le tableau suivant :

      Rang de la semaine $x_i$	1	2	3	4	5	6	7
      $z_i=\ln(y_i)$

   2. Trouver l’équation de la droite d’ajustement affine par la méthode des moindres carrés reliant $z$ à $x$ (les coefficients seront donnés à $0{,}1$ près).
   3. En déduire $y$ en fonction de $x$ sous la forme $$y=e^{ax+b},$$ où $a$ et $b$ sont des réels.
4. À l’aide du modèle trouvé :
   1. Donner une estimation du nombre de consultations à la $10^\text{e}$ semaine (arrondir à l’unité).
   2. Déterminer la semaine à partir de laquelle le nombre de consultations dépassera le quart de la population.

PROBLÈME : 10 points

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]-1;+\infty[$ par : $$f(x)=x-\ln(1+x).$$ On note $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé du plan d’unité graphique $1\,cm$.

Partie A : Étude de certaines propriétés de la courbe (C)

1. On note $g$ la fonction définie par : $$g(x)=x-(x+1)\ln(1+x).$$
   1. Calculer $f'(x)$ et montrer que pour tout $x$ de l’intervalle $]-1;+\infty[$, on a : $$f'(x)=\frac{g(x)}{1+x}.$$
   2. Vérifier que l’on définit ainsi une fonction strictement croissante sur $]-1;+\infty[$.
   3. Étudier le signe de $g$ sur $]-1;+\infty[$.
   4. En déduire les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.
2. Soit $(D)$ la droite d’équation $y=x$.
   1. Montrer que $(D)$ est une asymptote à $(C)$ en $+\infty$.
   2. Calculer les coordonnées du point d’intersection de la courbe $(C)$ et de la droite $(D)$.
3. Construire la courbe $(C)$.
4. Déterminer l’aire du domaine plan délimité par la courbe $(C)$, la droite $(D)$ et les droites d’équations $x=0$ et $x=1$.

Partie B : Étude d’une suite récurrente définie à partir de la fonction $f$

1. Démontrer que si $x\in[0;4]$, alors $f(x)\in[0;4]$.
2. On considère la suite $(u_n)$ définie par : $$u_0=4 \quad \text{et} \quad u_{n+1}=f(u_n)\ \text{pour tout } n\in\mathbb{N}.$$
   1. Sur le graphique, en utilisant la courbe $(C)$ et la droite $(D)$, placer les points de $(C)$ d’abscisses $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
   2. Démontrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, on a : $$u_n\in[0;4].$$
   3. Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$.
   4. En déduire que la suite $(u_n)$ converge et on désignera par $\ell$ sa limite.
   5. Utiliser la partie A pour donner la valeur de $\ell$.

Exercice 1

1. On considère l’équation $(E)$ d’inconnue $z$ suivante : $$z^3-4z^2+6z-4=0.$$
   1. Montrer que $1+i$ est solution de $(E)$.
   2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $(E)$.
2. On considère le plan muni d’un repère orthonormé $(O;\vec u;\vec v)$ d’unité $2\,cm$. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives $z_A=1-i$, $z_B=2$ et $z_C=2i$ (conjugué de $z_A$).
   1. Calculer $\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}$ puis donner la nature exacte du triangle $ABC$.
   2. Démontrer que les points $O$, $A$, $B$ et $C$ appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
3. Soit $s$ la similitude directe de centre $O$ qui transforme $B$ en $C$.
   1. Montrer qu’une écriture complexe de $s$ est : $$z'=\frac12(1+i)z.$$
   2. En déduire le rapport et l’angle de la similitude $s$.
   3. Déterminer l’affixe du point $A'$, image de $A$ par $s$.
4. Soit $G$ le barycentre du système $\{(A,2),(B,-1),(C,1)\}$.
   1. Montrer que $z_G=\dfrac12-\dfrac{i}{2}$.
   2. Déterminer et construire $\Gamma$, l’ensemble des points $M$ du plan tels que $$2MA^2-MB^2+MC^2=5.$$

Exercice 2

A – On considère le tableau suivant qui donne le chiffre d’affaires (en millions de francs) d’une entreprise en fonction du nombre d’années :

1. Tracer le nuage de points associé à cette série statistique (prendre $1\,cm$ pour une année et $1\,cm$ pour $5$ millions en ordonnées).
2. 1. Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés.
   2. Déterminer à partir de quelle année le chiffre d’affaires dépassera les $50$ millions.

B – Dans une urne contenant $4$ boules noires et $2$ boules blanches indiscernables au toucher, on tire $2$ boules successivement et sans remise.

1. On considère les événements :
   • $A$ : « tirer deux boules de même couleur » ;
   • $B$ : « tirer deux boules de couleurs différentes ».
   Déterminer les probabilités des événements $A$ et $B$.
2. Sachant que la première boule tirée est blanche, déterminer la probabilité que la seconde boule tirée soit blanche.
3. On gagne $500\,F$ à chaque tirage d’une boule blanche et on perd $500\,F$ à chaque tirage d’une boule noire. On note $X$ la variable aléatoire qui associe le gain d’un joueur lors de ces tirages.
4. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
5. Calculer l’espérance mathématique de $X$.

Problème

Partie A

1. On considère l’équation différentielle $(E)$ : $$y''-y'-2y=-6x+2.$$
   1. Déterminer les réels $\lambda$ et $\mu$ pour que $$u(x)=\lambda x+\mu$$ soit une solution de $(E)$.
   2. Résoudre l’équation homogène associée : $$ (E_0):\; y''-y'-2y=0.$$
   3. Montrer qu’une fonction $v$ est solution de $(E)$ si et seulement si $u-v$ est solution de $(E_0)$.
   4. Montrer que la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x)=(x^2+1)e^{-x}$$ est solution de $(E)$.

Partie B

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par : $$f(x)=(x^2+1)e^{-x}.$$ On note $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec i;\vec j)$, d’unité graphique $1\,cm$ sur l’axe des abscisses et $4\,cm$ sur l’axe des ordonnées.

1. 1. Calculer la limite de $f$ en $+\infty$ et donner une interprétation géométrique de ce résultat.
   2. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.
   3. Construire la courbe $(C)$ de $f$.
2. 1. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ pour que, pour tout $x>0$, la fonction $$F(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x}$$ soit une primitive de $f$.
   2. Soit $\alpha$ un réel strictement positif. Donner une interprétation géométrique du réel $$A(\alpha)=4\int_0^\alpha f(x)\,dx.$$
   3. Calculer $A(\alpha)$ en fonction de $\alpha$ et déterminer la limite de $A(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $+\infty$.

Exercice 1

Partie A : Équations

On considère l’équation : $$(E):\; z^3-(4+i)z^2+(13+4i)z-13i=0$$ où $z$ est un nombre complexe.

1. Démontrer que le nombre complexe $i$ est solution de cette équation.
2. Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, on ait : $$z^3-(4+i)z^2+(13+4i)z-13i=(z-i)(z^2+az+b).$$
3. En déduire les solutions de l’équation $(E)$.

Partie B

Dans le plan complexe, rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec u;\vec v)$, on désigne par $A$, $B$ et $C$ les points d’affixes respectives $i$, $2+3i$ et $2-3i$.

1. Soit $r$ la rotation de centre $B$ et d’angle $\dfrac{\pi}{2}$. Déterminer l’affixe du point $A'$, image du point $A$ par la rotation $r$.
2. Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés et déterminer l’écriture complexe de l’homothétie de centre $B$ qui transforme $C$ en $A'$.

Exercice 2

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $$u_0=0\quad \text{et, pour tout entier naturel } n,\quad u_{n+1}=3u_n-2n+3.$$

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\ge n$.
3. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
4. Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
5. Soit la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$v_n=u_n-n+1.$$
   1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique.
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=3^n+n-1$.
6. Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier $n_0$ tel que : $$u_{n_0}\ge 10^7\ ?$$ On s’intéresse maintenant au plus petit entier $n_0$.
   1. Justifier que $n_0\le 3p$.
   2. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, cet entier $n_0$ pour la valeur $p=3$.

Problème

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par : $$f(x)=(2+x)e^{-x}.$$ On appelle $(C)$ sa représentation graphique dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O;\vec i;\vec j)$ d’unité $2\,cm$.

1. Calculer la fonction dérivée $f'$ et étudier son signe.
2. Préciser les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
3. En déduire que $(C)$ possède une asymptote lorsque $x$ tend vers $-\infty$.
4. Déterminer la valeur de $f(0)$ puis la valeur de $f'(0)$.
5. On appelle $(D)$ la tangente à $(C)$ au point d’abscisse $0$. Donner une équation cartésienne de $(D)$.
6. Tracer, sur un même repère $(O;\vec i;\vec j)$, les courbes $(C)$ et $(D)$.
7. On se propose d’étudier les positions relatives de $(C)$ et de $(D)$. Pour cela, on considère la fonction : $$g(x)=f(x)-(2-x).$$
   1. Calculer $g'(x)$ et $g''(x)$.
   2. Étudier les variations de $g''(x)$ puis en déduire le signe de $g'(x)$, ensuite donner le sens de variation et le signe de $g(x)$.
   3. Interpréter géométriquement ce dernier résultat.
8. 1. Calculer l’intégrale : $$A=\int_{-1}^{1} f(x)\,dx.$$
   2. En déduire, en $cm^2$, l’aire du domaine plan ensemble des points $M(x;y)$ tels que : $$\begin{cases} -1 \le x \le 1,\\ 0 \le y \le f(x). \end{cases}$$
9. Tracer la droite $(\Delta)$ d’équation $y=x$ dans le même repère que $(C)$.
   1. Vérifier graphiquement que l’équation $f(x)=x$ admet deux solutions.
   2. On note $\alpha$ la solution comprise entre $-3$ et $-2$. Donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.

Exercice 1

Un dé cubique a $4$ faces blanches et $2$ faces noires. Quand on lance ce dé, toutes les faces ont la même probabilité d’apparition.

1. On lance ce dé une fois. Quelle est la probabilité d’avoir :
   1. Une face supérieure blanche.
   2. Une face supérieure noire.
2. On répète cette expérience cinq fois de suite, les lancers étant indépendants.
   1. Quelle est la probabilité pour qu’une face noire apparaisse exactement une fois ?
   2. Quelle est la probabilité pour qu’une face noire apparaisse au moins une fois ?
3. Soit $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de faces noires sorties. Quelle est la loi de probabilité de $X$ et son espérance mathématique ?

Exercice 2

On considère dans le plan complexe la suite de points $A_n$ d’affixes $z_n$ définis par : $$z_{n+1}=\frac{1+i\sqrt3}{3}\,z_n \quad \text{et} \quad z_0=4.$$

1. 1. Déterminer la forme trigonométrique de $z_1$ et $z_2$.
   2. Placer les points $A_0$, $A_1$ et $A_2$ dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O;\vec u;\vec v)$.
2. On se propose d’étudier la longueur $L_n$ de la ligne brisée $A_0A_1A_2\ldots A_n$. Pour cela, on pose : $$d_n=\lvert z_{n+1}-z_n\rvert.$$
   1. Calculer $d_1$.
   2. Démontrer que la suite $(d_n)$ est une suite géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
   3. Montrer que : $$L_n=A_0A_1+A_1A_2+\cdots+A_{n-1}A_n =4\sqrt7\left(1-\left(\frac23\right)^n\right).$$
   4. Déterminer la limite de la suite $(L_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

Problème

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=(2x+1)e^{-x}.$$ On désigne par $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec i;\vec j)$ d’unité graphique $4\,cm$.

1. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.
2. Étudier la position relative de $(C)$ par rapport à son asymptote en $+\infty$.
3. Construire la courbe $(C)$.
4. Déterminer l’aire du domaine plan délimité par les droites $x=0$, $x=\ln 2$, la courbe $(C)$ et l’axe des abscisses.

Partie B

1. Montrer que l’équation $f(x)=x$ admet deux solutions dont l’une, notée $\alpha$, appartient à l’intervalle $$I=\left[\frac{1}{4};\frac{5}{4}\right].$$
2. 1. Montrer que pour tout $x\in I$, $f'(x)\le 1$.
   2. Montrer que pour tout $x\in I$, $|f'(x)|\le \dfrac12$ (on utilisera la dérivée seconde $f''$).
3. On définit la suite $(u_n)$ pour tout entier naturel $n$ par : $$u_{n+1}=f(u_n)\quad \text{et}\quad u_0=1.$$
   1. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\in I$.
   2. Montrer que pour tout entier naturel $n$ : $$|u_{n+1}-\alpha|\le \frac12\,|u_n-\alpha|,$$ puis que : $$|u_n-\alpha|\le \frac{1}{2^{n+2}}.$$
   3. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.
   4. En utilisant l’inégalité précédente, déterminer un entier $p$ tel que $$|u_p-\alpha|\le 10^{-4},$$ puis donner la valeur approchée de $u_p$.

Partie C

1. On considère l’équation différentielle : $$y''-3y'+2y=0.$$ Résoudre cette équation.
2. Déterminer la solution particulière de cette équation dont la courbe passe par le point $(0;-1)$ et admet en ce point une tangente parallèle à l’axe des abscisses.

EXERCICE 1 : 02.5 points

1. Soit $f$ une fonction numérique de la variable réelle $x$ définie et dérivable sur un intervalle $I$. On note $f^{(n)}(x)=1$ $\forall x\in I$. Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, la fonction $f^n$ est dérivable sur $I$ et $$(f^n)'(x)=n\,f^{\,n-1}(x)\,f'(x)\quad \forall x\in I.$$
2. Le plan est muni d’un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$. $A(-2;1)$, $B(1;2)$, $C(0;5)$ sont des points du plan. On rappelle : l’équation cartésienne d’un cercle est de la forme $$x^2+y^2+ax+by+c=0$$ où $a,b,c$ sont des nombres réels.
   1. Déterminer une équation cartésienne du cercle $(C)$ circonscrit au triangle $ABC$.
   2. En déduire les éléments caractéristiques du cercle $(C)$.

EXERCICE 2 : 06.5 points

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives $$Z_1=\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2},\quad Z_2=1-i\quad \text{et}\quad Z_3=\frac{Z_1}{Z_2}.$$
   1. Écrire $Z_3$ sous la forme algébrique.
   2. Déterminer le module et un argument de $Z_1$ et de $Z_2$, puis écrire $Z_3$ sous la forme trigonométrique.
   3. En déduire les valeurs exactes de $\cos\frac{\pi}{12}$ et $\sin\frac{\pi}{12}$.
   4. Soit $I$ le point d’affixe $Z_1=1$. Montrer que $OIB$ est un triangle rectangle isocèle en $I$.
2. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation $(E)$ : $$Z^3=4\sqrt{2}\,(-1+i).$$
3. Pour chaque question, une des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondante. Une réponse exacte vaut $0.5pt$ ; une réponse inexacte vaut $-0.25pt$ et l’absence de réponse vaut $0pt$.
   1. Soit $Z$ un nombre complexe, $|Z+i|$ est égal à :
      1. $|Z+1|$
      2. $|Z-1|$
      3. $|iZ+i|$
   2. Soient $I$ et $J$ les points d’affixes respectives $1$ et $i$. Soit $H$ un point tel que $H\in[IJ]$ et $H\neq I,J$. $H+\bar{J}$ a :
      1. $|Z_H-J|=|Z_H-i|+|i-1|$
      2. $\arg(1-Z_H)=\pi+\arg(i-Z_H)+2k\pi;\ k\in\mathbb{Z}$
      3. $\arg(1-Z_H)=\arg(i-Z_H)+2k\pi;\ k\in\mathbb{Z}$
   3. Soit $z$ un nombre réel appartenant à l’intervalle $]0;\pi[$ et $z$ un nombre complexe défini par : $$z=\sin\alpha+i(1-\cos\alpha).$$ Un argument de $z$ est :
      1. $\alpha$
      2. $-\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha}{2}$

PROBLÈME : 11 points

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. Soit $g$ la fonction définie par : $g(x)=x+\sqrt{1+x^2}$ et $(C)$ sa courbe représentative.

1. Déterminer l’ensemble de définition de $g$.
2. Calculer la limite de $g$ au voisinage de $-\infty$ et interpréter graphiquement le résultat.
3. Montrer que :
   1. $g$ est strictement positive sur $[0;+\infty[$.
   2. Pour tout réel $x$, $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}-x}$ et en déduire que $g$ est strictement positive sur $]-\infty;0]$.
4. Soit la droite $(\Delta)$ d’équation $y=2x$.
   1. Établir que pour tout réel $x$, $g(x)-y=\dfrac{1}{g(x)}$.
   2. Calculer la limite en $+\infty$ de $g(x)-y$ et en déduire une interprétation graphique de ce résultat.
   3. Étudier la position relative de $(C)$ et $(\Delta)$.
5. Prouver que : $\forall x\in\mathbb{R},\ g'(x)=\dfrac{g(x)}{\sqrt{1+x^2}}$ où $g'$ désigne la dérivée de $g$.
6. En déduire les variations de $g$ sur $\mathbb{R}$.
7. 1. Justifier que la courbe $(C)$ coupe l’axe des ordonnées en un point dont on donnera les coordonnées.
   2. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ au point d’abscisse $0$.
8. Montrer que :
   1. Pour tout réel $k$ strictement positif, l’équation $g(x)=k$ admet une solution unique dans $\mathbb{R}$.
   2. La fonction $g$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ vers un intervalle à préciser.
9. On désigne par $(C')$ la courbe représentative de la fonction $g^{-1}$, bijection réciproque de $g$. Construire dans le même repère la tangente $(T)$, les courbes $(C)$ et $(C')$.