Tle D: 4eme séquence en maths

EXERCICE 1 :  [04,5 pts]

On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$ contenant des boules blanches et rouges indiscernables au toucher. L’épreuve consiste à choisir une urne puis à effectuer le tirage d’une boule dans l’urne choisie. On note $A$ l’événement : « l’urne $U_1$ est choisie », $B$ l’événement : « l’urne $U_2$ est choisie » et $R$ l’événement : « une boule rouge est obtenue au tirage ».

1. Dans cette question, l’urne $U_1$ contient une boule rouge et $4$ boules blanches, l’urne $U_2$ contient $4$ boules rouges et $2$ boules blanches.
   1. Déterminer les probabilités suivantes : $P(A)$, $P_A(R)$ et $P(A\cap R)$. (0,75 pt)
   2. Montrer que $P(R)=\dfrac{13}{30}$. (0,75 pt)
   3. Sachant que la boule obtenue est rouge, quelle est la probabilité que l’urne choisie soit l’urne $U_2$ ? (0,75 pt)
2. Soit $n\in\mathbb{N}$ avec $n\le 5$. On suppose que l’urne $U_1$ contient $4$ boules blanches et $n$ boules rouges, et que l’urne $U_2$ contient $2$ boules blanches et $(5-n)$ boules rouges.
   1. Exprimer $P_A(R)$ et $P_B(R)$ en fonction de $n$. (0,5 pt)
   2. Montrer que $P(R)=\dfrac{n^2+4n+10}{4(7+n)}$. (1 pt)
3. On sait que $n$ prend que $6$ valeurs entières. Déterminer la répartition des $5$ boules rouges entre les urnes $U_1$ et $U_2$ donnant la plus grande valeur possible de $P(R)$. (0,75 pt)

EXERCICE 2 :  [5 pts]

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations et inéquations suivantes :
   1. $6-5\ln x^2 \le 13\ln x$
   2. $\ln(2x+8)-\ln(3x+2)=\ln(x+1)$
   (1,5 pt)
2. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système suivant :

   $ \begin{cases} \ln(x^2y^2)=2\ln6\\ e^x=\dfrac{1}{e^{2y}} \end{cases} $

   (0,75 pt)
3. On considère la suite $(u_n)$ des nombres réels positifs définie par :

   $ \begin{cases} u_0=e^2\\ (u_{n+1})^2=e\,u_n \end{cases} $

   On pose pour tout entier naturel $n$, $v_n=\dfrac{1+\ln(u_n)}{2}$.
   1. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique et en déterminer la raison et le premier terme. (0,75 pt)
   2. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$. (1 pt)
   3. En déduire la limite de $v_n$ puis celle de $u_n$. (0,5 pt)
   4. On pose $S=v_2+v_3+v_4+\cdots+v_{100}$. Déterminer la valeur exacte de $S$. (0,5 pt)

PROBLÈME  :  [6 pts]

Le plan est muni d’un repère $(O;I;J)$. $(C_f)$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie par $f(x)=(x+1)(e^{-2x}+1)$.

1. Soit la fonction numérique $g$ définie par $g(x)=e^{2x}-2x-1$. Étudier les variations de $g(x)$ et en déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. (1 pt)
2. Montrer que pour tout réel $x$, on a $f'(x)=e^{-2x}g(x)$, et en déduire les variations de $f$, puis dresser son tableau de variations. (1 pt)
3. Démontrer que la droite $(D)$ d’équation $y=x+1$ est asymptote à $(C_f)$ et étudier les positions relatives de $(C_f)$ et $(D)$. (0,5 pt)
4. Construire $(C_f)$ et $(D)$. (0,75 pt)
5. On désigne par $h$ la restriction de $f$ à l’intervalle $]-\infty;0[$.
   1. Justifier que $h$ est une bijection de $]-\infty;0[$ vers un intervalle que l’on précisera. (0,5 pt)
   2. Dresser le tableau de variation de la bijection réciproque $h^{-1}$ de $h$, puis tracer sa courbe représentative dans le même repère $(C_f)$. (0,75 pt)
6. On pose pour tout réel $x\ge -1$ : $A_x=\displaystyle\int_{-1}^{x}(t+1)e^{-2t}\,dt$.
   1. Déterminer $A_x$ en fonction de $x$ à l’aide d’une intégration par parties. (1 pt)
   2. Soit $D_x$ le domaine du plan délimité par la courbe $(C_f)$, la droite $(D)$ et les droites d’équations $x=-1$ et $x=x$. En déduire la question 6 l’aire notée $A_x$ du domaine $D_x$. (0,5 pt)
   3. Déterminer la limite de $A_x$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. (0,25 pt)

B.  ÉVALUATION DES RESSOURCES  [4,5 pts]

M. TEDJOU possède trois terrains dont il veut absolument clôturer et il lui est rapporté que des personnes mal intentionnées utilisent ces espaces non occupés à des mauvaises fins. M. TEDJOU décide donc d’acheter du fil barbelé pour clôturer ses trois terrains. Le rouleau de 5 mètre de fil barbelé est à $3500F$.

Le premier terrain est formé de l’ensemble des points $M(x,y)$ du plan complexe vérifiant $|2z-1-3i|=8$. Le deuxième terrain, qui lui est de forme rectangulaire, a pour dimensions sur la partie réelle et la partie imaginaire de l’équation $(1+4i)z+(3-4i)\bar z=8$ où $z$ est le conjugué de $z$. Le troisième terrain est formé de l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ du plan complexe tel que $\Re(z)=0$ avec $z\ne 2+4i$.

NB : les distances dans ces terrains sont exprimées en décamètre.

TÂCHES

1. Quel est le montant à dépenser par M. TEDJOU pour l’achat du fil barbelé permettant de clôturer entièrement le premier terrain ? (1,5 pt)
2. Quel est le montant à dépenser par M. TEDJOU pour l’achat du fil barbelé permettant de clôturer entièrement le deuxième terrain ? (1,5 pt)
3. Quel est le montant à dépenser par M. TEDJOU pour l’achat du fil barbelé permettant de clôturer entièrement le troisième terrain ? (1,5 pt)

Exercice 1 : 3 pts

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x\cos^2x$ et $g(x)=x\sin^2x$.

1. Déterminer une primitive de $f+g$ sur $\mathbb{R}$. (0,5 pt)
2. En utilisant les formules d’Euler, linéariser $\cos^2x-\sin^2x$. (0,5 pt)
3. Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que la fonction $h(x)=a\sin(2x)+b\cos(2x)$ soit une primitive de $f-g$ sur $\mathbb{R}$. (1 pt)
4. En déduire une primitive de $f$ et de $g$ sur $\mathbb{R}$. (1 pt)

Exercice 2 : 5 pts

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec u;\vec v)$. Unité graphique : $2cm$. On donne les points $A$, $B$ et $C$ tels que $z_A=-1+i\sqrt3$, $z_B=-1-i\sqrt3$ et $z_C=2$.

1. Placer ces points dans le plan complexe. (0,5 pt)
2. 1. Calculer le rapport $\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}$ et écrire le résultat sous forme exponentielle. (0,75 pt)
   2. En déduire la nature du triangle $ABC$. (0,25 pt)
   3. Déterminer une équation cartésienne de $(T)$, cercle circonscrit au triangle $ABC$, puis construire $(T)$. (0,5 pt)
3. Soit $(\Gamma_2)$ l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ du plan tels que $2(z+\bar z)+z\bar z=0$.
   1. Déterminer une équation cartésienne de $(\Gamma_2)$ et en déduire que $(\Gamma_2)$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. (0,75 pt)
   2. Construire $(\Gamma_2)$. (0,25 pt)
   3. Vérifier que les points $A$ et $B$ appartiennent à $(\Gamma_2)$. (0,5 pt)
4. On désigne par $r$ la rotation de centre $A$ et d’angle $\dfrac{\pi}{3}$.
   1. Quelles sont les images des points $A$ et $B$ par la rotation $r$ ? (0,25 pt)
   2. Déterminer l’écriture complexe de $r$ puis calculer l’affixe de $C'$. (0,5 pt)
   3. Déterminer l’image du cercle $(\Gamma_2)$ par la rotation $r$. (0,5 pt)

Exercice 3 : 7 pts

Soit la fonction $f$ définie sur $D=]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x+\ln x}{x^2}$ et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec i;\vec j)$. Unité graphique : $2cm$.

Partie A

Soit la fonction $g$ définie sur $D$ par $g(x)=1-x-\ln x$.

1. Étudier les variations de $g$ et dresser son tableau de variation. (1,5 pt)
2. Calculer $g(1)$. (0,25 pt)
3. En déduire le signe de $g$ suivant les valeurs de $x$. (0,5 pt)

Partie B

1. Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D$. (0,5 pt)
2. En déduire que les axes du repère sont des asymptotes à $(C)$. (0,25 pt)

2. 1. Montrer que $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^3}$. (0,5 pt)
   2. Dresser le tableau de variation de $f$. (0,5 pt)
3. 1. Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0{,}5;0{,}6[$. (1 pt)
   2. Montrer que $f$ réalise une bijection de $[1;+\infty[$ vers un intervalle que l’on précisera. (0,5 pt)
4. Tracer $(C)$. (0,75 pt)
5. Soit $m$ un réel. Discuter suivant les valeurs de $m$, le nombre et le signe des solutions de l’équation $mx^2-x-\ln x=0$. (1 pt)

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES   (4,5 pts)

Un laboratoire s’intéresse à analyser l’expansion du coronavirus au sein d’une population dans une ville. Les agents ont ciblé un quartier pilote qu’ils ont cartographié et repéré en modèle complexe par les points $G(-1+i)$, $F(4+i)$, $G(2+4i)$ et $H(-1+4i)$ d’unité $1km$. La densité de la population est de $50$ habitants par km$^2$. $70\%$ de la population est jeune et $30\%$ moins jeune. Le laboratoire modélise par $f(t)=t^2+1000t$ le nombre estimé d’individus infectés en fonction du temps $t$ (en jours) par le virus. Par ailleurs une prise en charge adéquate des infectés nécessite un médecin pour $10$ jeunes infectés contre $1$ pour $5$ moins jeunes infectés. On dispose de $52$ médecins pour ce quartier.

Tâches

1. Déterminer les nombres d’habitants jeunes et moins jeunes ciblés pour cette analyse. (1,5 pt)
2. Déterminer après combien de jours la population cible subit le pic de l’infection (le maximum d’individus infectés est observé), puis les nombres de jeunes et de moins jeunes infectés ce jour-là. (1,5 pt)
3. Déterminer la période pendant laquelle l’inadéquation entre le nombre de médecins disponibles et le nombre d’infectés est observée. (1,5 pt)

Exercice 1 : 3 pts

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x\cos^2x$ et $g(x)=x\sin^2x$.

1. Déterminer une primitive de $f+g$ sur $\mathbb{R}$. (0,5 pt)
2. En utilisant les formules d’Euler, linéariser $\cos^2x-\sin^2x$. (0,5 pt)
3. Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que la fonction $h(x)=a\sin(2x)+b\cos(2x)$ soit une primitive de $f-g$ sur $\mathbb{R}$. (1 pt)
4. En déduire une primitive de $f$ et de $g$ sur $\mathbb{R}$. (1 pt)

Exercice 2 : 5 pts

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec u;\vec v)$. Unité graphique : $2cm$. On donne les points $A$, $B$ et $C$ tels que $z_A=-1+i\sqrt3$, $z_B=-1-i\sqrt3$ et $z_C=2$.

1. Placer ces points dans le plan complexe. (0,5 pt)
2. 1. Calculer le rapport $\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}$ et écrire le résultat sous forme exponentielle. (0,75 pt)
   2. En déduire la nature du triangle $ABC$. (0,25 pt)
   3. Déterminer une équation cartésienne de $(T)$, cercle circonscrit au triangle $ABC$, puis construire $(T)$. (0,5 pt)
3. Soit $(\Gamma_2)$ l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $2(z+\bar z)+z\bar z=0$.
   1. Déterminer une équation cartésienne de $(\Gamma_2)$ et en déduire que c’est un cercle. (0,75 pt)
   2. Construire $(\Gamma_2)$. (0,25 pt)
   3. Vérifier que $A$ et $B$ appartiennent à $(\Gamma_2)$. (0,5 pt)
4. Soit $r$ la rotation de centre $A$ et d’angle $\dfrac{\pi}{3}$.
   1. Images de $A$ et $B$ par $r$. (0,25 pt)
   2. Écriture complexe de $r$ et affixe de $C'$. (0,5 pt)
   3. Image du cercle $(\Gamma_2)$ par $r$. (0,5 pt)

Exercice 3 : 7 pts

Soit $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x+\ln x}{x^2}$ et $(C)$ sa courbe représentative.

Partie A

On définit $g(x)=1-x-\ln x$.

1. Étudier les variations de $g$. (1,5 pt)
2. Calculer $g(1)$. (0,25 pt)
3. En déduire le signe de $g$. (0,5 pt)

Partie B

1. Calculer les limites de $f$. (0,5 pt)
2. Montrer que les axes sont des asymptotes. (0,25 pt)
3. Montrer que $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^3}$ et dresser les variations. (1 pt)
4. Montrer que $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha\in]0{,}5;0{,}6[$. (1 pt)
5. Discuter le nombre et le signe des solutions de $mx^2-x-\ln x=0$. (1 pt)

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (4,5 pts)

Un laboratoire analyse l’expansion du coronavirus dans un quartier modélisé par $G(-1+i)$, $F(4+i)$, $G(2+4i)$ et $H(-1+4i)$. Densité : $50$ habitants/km$^2$.

$70\%$ de jeunes, $30\%$ de moins jeunes. $f(t)=t^2+1000t$ modélise les infectés. Un médecin pour $10$ jeunes, un pour $5$ moins jeunes. $52$ médecins disponibles.

Tâches

1. Nombre de jeunes et moins jeunes. (1,5 pt)
2. Jour du pic et effectifs infectés. (1,5 pt)
3. Période d’insuffisance médicale. (1,5 pt)

EXERCICE 1   (04,5 points)

Cet exercice regroupe deux blocs de questions pouvant être traités de façon indépendante.

1. On considère le plan rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec i;\vec j)$. On note $(C)$ l’ensemble des points $M$ du plan dont l’affixe $z$ vérifie la relation : $5z^2+(z+z̄+1)^2-1=0$ où $z̄$ est le conjugué de $z$.

   Soit $\rho$ la similitude directe d’angle $\dfrac{\pi}{2}$, de rapport $2$ et de centre $O$. $\varphi$ est l’application de $C$ dans $C_1$ qui à tout nombre complexe $z$ associe le point $M'$ d’affixe $z'=2z$.

   1. Démontrer que $(C)$ est un cercle et préciser ses éléments caractéristiques. (0,75 pt)
   2. Donner l’expression de $\varphi(z)$ en fonction de $z$. (0,75 pt)
   3. Démontrer en justifiant la nature exacte de $(C_1)$. (0,75 pt)
2. On considère dans l’espace le cube $ABCDEFGH$ ci-contre représenté. On note $r_1$ la réflexion de plan $(ABCD)$, $r_2$ la réflexion de plan $(ADHE)$, $r_3$ la réflexion de plan $(DCGH)$. On pose $r=r_1\circ r_2\circ r_3$ et $r_4=r_3\circ r_2\circ r_1$.
   1. Déterminer que $r$ est une rotation dont on précisera l’axe. (0,5 pt)
   2. Montrer que $r_4$ est une translation et en préciser le vecteur. (0,5 pt)
   3. Reconnaître et caractériser $r$. (0,5 pt)

EXERCICE 2   (03,75 points)

NB : Les exercices 2, 3 et 4 sont liés. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec i;\vec k)$. Soit $A$ le point d’affixe $3+i$ et $B$ le point d’affixe $6$. Pour tout réel $t$, on considère les points $M_t$ et $N_t$ d’affixes respectives : $z_{M_t}=3i(\sin t+\cos t)$ et $z_{N_t}=3i(\sin t)$.

1. a) Peut-on avoir $M_t=N_t$ ? b) En déduire que pour tout $t$, il existe une unique similitude directe $S_t$ transformant $A$ en $M_t$ et $B$ en $N_t$. (1 pt)
2. a) Montrer que l’écriture complexe de $S_t$ est $z' = e^{it}z + 3(1-e^{it})$. b) En déduire que pour tout $t$, $S_t$ est une rotation de centre et d’angle $0,5t$. (1,25 pt)
3. Soit $E$ l’ensemble des points invariants par $S_t$ pour un $t\in\mathbb{R}$. On considère la suite $(B_n)$ définie par $B_0=B$ et $B_{n+1}=S_{\pi/2}(B_n)$.
   1. Montrer que $B_{n+1}=T_{z_A}(B_n)$ pour tout entier naturel $n$. (0,75 pt)
   2. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $z_{B_n}=3+3\cos\!\left(\dfrac{2^n-1}{2^n}\pi\right)+3i\sin\!\left(\dfrac{2^n-1}{2^n}\pi\right)$ puis en déduire la position limite des points $(B_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$. (0,75 pt)

EXERCICE 3   (03 points)

Soit $(C)$ l’ensemble des points $M(x,y)$ tels que $(y^2-8y+15)e^{y-3}+3-x=0$. On note par $(C_1)$ l’image de $(C)$ par $T_{z_1}$.

1. Montrer que $(C)$ a pour équation $y=(x^2+2x)e^{-x}$. (1 pt)
2. Calculer l’intégrale $\displaystyle\int_0^1 (x^2+2)e^{-x}\,dx$. (2 pts)

2. Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=(x^2+2x)e^{-x}$, de courbe $(C_f)$.
   1. Préciser l’ensemble de définition de $f$, calculer les limites aux bornes puis en déduire l’existence d’un asymptote. (1 pt)
   2. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations. (1 pt)
   3. Déterminer la branche infinie de $f$ en $-\infty$. (0,25 pt)
   4. Tracer soigneusement $(C_f)$ dans le repère. (0,75 pt)
   5. Calculer l’aire du domaine limité par $(C_f)$, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation $x=3$. (0,5 pt)
   6. En déduire l’aire du domaine limité par $(C_f)$, l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=3$. (0,5 pt)

EXERCICE 4   (5 pts)

1. Résoudre l’équation différentielle $(E)$ : $y''+4y'+4y=0$. (0,5 pt)
2. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ pour que $g(x)=(ax+b)e^{-x}$ soit solution de $(E)$. (0,75 pt)
3. Soit $h$ une solution de $(E)$ et $x_0$ un réel donné. Démontrer que toute solution de $(E)$ s’annule en $x_0$ et dont la tangente est horizontale. (0,75 pt)

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES   (4,5 pts)

Afin de crypter ou coder et décoder des messages dans une langue, on utilise un alphabet chiffré. La banque dispose d’un code numérique composé des caractères de l’alphabet et associé à un nombre entier. Chaque lettre correspond à un nombre selon le tableau suivant :

(Tableau : à conserver tel quel dans ton éditeur si tu veux des bordures. Avec ce style imposé, je ne peux pas ajouter de CSS de tableau.)

On note par $x$ le code associé à une lettre, la conversion étant définie par la relation : $y=3x+5$. Lors du décodage, on utilise la relation inverse $x=\dfrac{y-5}{3}$.

Un gestionnaire d’une banque souhaite chez lui un objet d’art de forme circulaire, modélisé par $x^2+y^2=4$. Il décide d’installer un laser placé au point d’affixe $z_0=2$. L’ingénieur constate que le laser passe en deux points sur la surface.

Enfin, pour des raisons de sécurité, la banque limite à $5$ places l’accès aux messages simultanés. Lorsqu’un utilisateur utilise le premier bus à $5$ places, une personne reste. Si l’on augmente le nombre de bus de $2$ places, les personnes restent. La machine utilise le troisième bus qui aura accès à deux fois plus de personnes.

Tâches

1. Établir le gestionnaire de la banque à faire un tableau codage–décodage de toutes les lettres alphabétiques qui permettent facilement de coder et décoder des messages. (1,5 pt)
2. Calculer le volume $V$ du bouton que peut prendre le solide $S$. (1,5 pt)
3. Quel est le nombre minimal que l’ingénieur peut transporter ? (1,5 pt)

Exercice 1   (08 points)

1. Simplifier les expressions suivantes :
   1. $A=\ln(6+\sqrt3)+\ln(3+\sqrt3+\sqrt3)+\ln(3-\sqrt3+\sqrt3)$ (0,5 pt)
   2. $B=2\ln(2-\sqrt3)+\ln(2+\sqrt3)$ (0,5 pt)
   3. $C=e^{2-\ln2}-e^{(1+\ln5)}+e^{(4+3\ln2)}$ (0,5 pt)
   4. $D=3z\sqrt{12+\sqrt3\sqrt3}$ (0,5 pt)
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
   1. $2^{2x-1}+3^x+4^{x+\frac12}-9^{\frac{x}{2}}=0$ (1 pt)
   2. $e^{2x-1}-\sqrt{e^{2x+2}}-2e^{3x}=0$ (0,75 pt)
   3. $27^x-\sqrt[3]{27}=0$ (0,5 pt)
   4. $\log_2(4x^2)+\log_{10}(x)=\log_{10}(64)-\log_{10}(x)$ (0,5 pt)
   5. $\log_2(x)=\log_3(2)$ (0,5 pt)
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
   1. $\ln(x^2-4e^x)<1+\ln(3x)$ (0,5 pt)
   2. $\ln(1-\ln x)>0$ (0,75 pt)
4. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système d’équations suivant :
   1. $ \begin{cases} -(\ln2)x+\sqrt7\,y=(\sqrt2)^3\\ e^x+\sqrt7\,y=\ln7 \end{cases} $ (0,75 pt)
   2. $ \begin{cases} \ln(x^2)+\ln\left(\dfrac1y\right)=13\\ \ln\left(\dfrac{\sqrt x}{y^2}\right)=7 \end{cases} $ (0,75 pt)
5. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ les systèmes d’équations suivants :
   1. $ \begin{cases} 3\ln x-2e^y-2\log_2(z)=3\\ \ln x-2e^y+3\log_2(z)=2\\ 2\ln x-3e^y-3\log_2(z)=2 \end{cases} $ (0,75 pt)
   2. $ \begin{cases} \ln\left(\dfrac{x^6}{(yz)^2}\right)=6\\ \ln\left(\dfrac{(xz)^4}{y^4}\right)=4\\ \ln\left(\dfrac{x^4}{(yz)^6}\right)=4 \end{cases} $ (0,75 pt)

Exercice 2   (04,5 points)

$(u_n)$ et $(v_n)$ désignent les suites numériques définies sur $\mathbb{N}$ par :

$ \begin{cases} u_0=\dfrac13\\ u_{n+1}=\dfrac13(u_n)^2 \end{cases} \qquad v_{n+1}=\ln\!\left(\dfrac32\,u_n\right) $

1. Calculer $v_0$. (0,25 pt)
2. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique et préciser la raison et le premier terme. (0,75 pt)
3. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$. (1,25 pt)
4. Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n$. (0,75 pt)
5. On pose $S_n=v_0+v_1+v_2+\cdots+v_{n-1}$ et $T_n=u_0\times u_1\times u_2\times\cdots\times u_{n-1}$. Calculer $S_n$ puis $T_n$ en fonction de $n$. (1,5 pt)

Exercice 3   (03,5 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec u;\vec v)$. On considère dans $(C)$ l’équation : $2z+(3-\bar z)z+1-\sqrt3=0$.

1. Calculer $(\sqrt3-i)^2$. (0,5 pt)
2. Résoudre l’équation $(C)$ et mettre ses solutions sous forme algébrique et exponentielle. (1 pt)
3. Soient $A$ et $B$ les points d’affixes respectives $z_A=i$ et $z_B=e^{i\frac{\pi}{3}}$. Soit $r$ la rotation de centre $O$ et d’angle $\dfrac{\pi}{3}$. On désigne par $C$ l’image de $B$ par $r$.
   1. Déterminer l’écriture complexe de $r$. (0,5 pt)
   2. Déterminer l’affixe du point $C$. (0,5 pt)
4. Soit $D$ le point d’affixe $z_D=\dfrac{z_A+z_C}{2}$.
   1. Calculer le rapport $\dfrac{z_A-z_D}{z_B-z_D}$. (0,5 pt)
   2. En déduire la nature du triangle $ABD$. (0,5 pt)

Problème   (09 points)

Les parties A et B sont dépendantes.

Partie A   (07 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x+1)e^{-x}$. On appelle $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère $(O;\vec i;\vec j)$ d’unité $1cm$ sur les axes.

1. Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation sur $]0;+\infty[$. (1 pt)
2. Étudier le signe de la fonction $f$. (0,5 pt)
3. Montrer que pour tout $x$ dans $]0;+\infty[$ on a $|f'(x)|\le \dfrac1e$. (0,5 pt)
4. Tracer la courbe $(C_f)$ dans un repère orthonormé. (0,75 pt)
5. Soit $D$ le domaine délimité par $x=8$, $x=0$, l’axe des abscisses et $(C_f)$. Calculer l’aire du domaine $D$. (0,75 pt)
6. Soit $g(x)=\sqrt{f(x)}$.
   1. Dresser le tableau de variation de la dérivée $g'$ sur $\mathbb{R}$. (0,75 pt)
   2. Montrer que $g'(x)=0$ admet dans $]-0,6;-0,5[$ une unique solution $\alpha$. (0,75 pt)
   3. Montrer que $g'(x)=0$ admet une solution positive $\beta$ dans $[1;2]$. (0,5 pt)
7. Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=f(u_n)$.
   1. Montrer par récurrence que pour tout $n$, $u_n\ge0$. (0,5 pt)
   2. Montrer que $|u_{n+1}-\alpha|\le\dfrac1e|u_n-\alpha|$. (0,75 pt)
   3. En déduire que $|u_n-\alpha|\le\left(\dfrac1e\right)^n$. (1 pt)
   4. En déduire que la suite $(u_n)$ converge et donner sa limite. (0,5 pt)

Partie B   (02 points)

1. On considère $(E):y''+4y'+12y=0$ et $(E_1):y''+4y'+9y=(4x+12)e^{-x}$. (0,25 pt)
2. Vérifier que la fonction $g$ est solution de $(E)$. (0,25 pt)
3. Montrer que $y$ solution de $(E_1)$ si et seulement si $y-g$ est solution de $(E)$. (0,75 pt)
4. Résoudre $(E)$ et en déduire les solutions de $(E_1)$. (0,75 pt)

EXERCICE 1 : 5 points

1. Soit $P$ le polynôme de $\mathbb{C}$ tel que $P(z)=z^3-6z^2+9z-54$.
   1. Montrer que $5i$ est racine de $P$. (0,5 point)
   2. Déduire que $P$ admet au moins une racine réelle. (0,5 point)
   3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $P(z)=0$. (0,75 point)
2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec i;\vec j)$. Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour affixes respectives $3i$, $-3i$ et $6$.
   1. Déterminer la transformation $f$ du plan qui envoie $A$ sur $O$ et $O$ sur $C$. (0,75 point)
   2. Donner l’écriture complexe de $f$. (0,75 point)
   3. Préciser la nature et les éléments géométriques de $f$. (0,75 point)
   4. Déterminer l’image par $f$ de la droite d’équation $y=x$. (0,75 point)
3. On note $G$ le point du plan d’affixe $2$.
   1. Calculer $GA$, $GB$ et $GC$. (0,5 point)
   2. Représenter le point $G$ pour les points $A$, $B$ et $C$, puis calculer $f(G)$. (0,5 point)
4. Soit $(E)$ l’ensemble des points $M$ du plan tels que $MA^2+MB^2+MC^2=51$.
   1. Montrer que les points $B$ et $C$ appartiennent à $(E)$. (0,5 point)
   2. Déterminer et construire l’ensemble $(E)$. (0,75 point)
   3. Déterminer et construire l’ensemble $(E')$, image de $(E)$ par $f$. (0,75 point)

EXERCICE 2 : 4 points

On considère l’équation différentielle $(E)$ : $y''-2y'+y=2e^x$.

1. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $\varphi(x)=(x^2+ax+b)e^x$ soit une solution de $(E)$. (0,75 point)
2. En supposant que $\varphi$ est solution de $(E)$ si et seulement si la fonction $h-\varphi$ est solution de $(E')$. (0,75 point)
3. Résoudre $(E')$, puis en déduire toutes les solutions de $(E)$. (0,75 point)
4. On pose $g(x)=(1-3x+2x^2)e^x$.
   1. Montrer que $g$ est solution de $(E)$. (0,75 point)
   2. Déterminer $G$ telle que $G(x)=2e^x+2g(x)-g'(x)$ soit une primitive de $g$. (0,75 point)
   3. En déduire $f(x)=\displaystyle\int_2^x g(t)\,dt$. (0,75 point)
   4. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$. (0,25 point)

PROBLÈME : 11 points

Équations différentielles et intégrale

PARTIE A : 3 points

Résolution de l’équation différentielle $(1)\;:\; y' - 2y = x e^{x}$.

1. Soient $a$ et $b$ deux réels et $U$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $U(x)=(ax+b)e^{x}$.
   1. Déterminer $a$ et $b$ pour que $U$ soit solution de l’équation $(1)$. (0,5 pt)
   2. Déterminer que $V$ est solution de l’équation $(2)$ si et seulement si $U+V$ est solution de l’équation $(1)$. (0,75 pt)
   3. En déduire l’ensemble solution de l’équation $(1)$. (0,75 pt)
   4. Déterminer la solution de l’équation $(1)$ qui s’annule en $0$. (0,25 pt)

PARTIE B : 2,5 points

Étude d’une fonction auxiliaire.

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=2e^{x}-x-2$.

1. Déterminer la limite de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$. (0,5 pt)
2. Étudier les variations de $g$, puis dresser son tableau de variation. (1 pt)
3. On admet que l’équation $g(x)=0$ admet exactement deux solutions réelles.
   1. Vérifier que $0$ est l’une de ces solutions. (0,25 pt)
   2. L’autre solution est notée $\alpha$. Montrer que $-1,6 \le \alpha \le -1,5$. (0,75 pt)
4. Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. (0,25 pt)

PARTIE C : 3,5 points

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{2x}-(x+1)e^{x}$.

1. Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. (0,5 pt)
2. Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ est de même signe. Étudier le sens de variation de $f$. (0,75 pt)
3. Montrer que $f(x)=\dfrac{e^{2x}}{4}g(x)$ où $g$ est définie dans la partie B. En déduire un encadrement de $f(x)$. (0,75 pt)
4. Étudier le tableau de variation de $f$. (0,25 pt)
5. Tracer la courbe $(C_f)$ représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé (unité graphique : $2cm$). (1 pt)

PARTIE D : 2,5 points

Calcul d’aire

1. Soit $m$ un réel négatif. Interpréter graphiquement l’intégrale $I(m)=\displaystyle\int_m^0 f(x)\,dx$ (en justifiant la réponse). (0,75 pt)
2. Calculer $\displaystyle\int x e^{x}\,dx$ à l’aide d’une intégration par parties. (0,75 pt)
3. En déduire $\displaystyle\int_0^m f(x)\,dx$. (0,25 pt)
4. Calculer la limite de $\displaystyle\int_m^0 f(x)\,dx$ lorsque $m$ tend vers $-\infty$. (0,25 pt)

Exercice 1 (3 pts)

1. Considérons l’équation $E : f''-2f'+5f=0$.
   1. Résoudre $E$ puis déterminer la solution vérifiant $f(0)=0$ et $f'(0)=1$. (1 pt)
   2. On pose pour tout réel $x$, $F(x)=\dfrac15 f'(x)-2f(x)$. Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. (0,5 pt)
2. Soient à présent les équations $E_2 : y''-4y'+3y=6x^2+5x$ et $E_3 : y''-4y'+3y=0$.
   1. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $g(x)=ax^2+bx+c$ soit solution particulière de $E_2$. (0,5 pt)
   2. Démontrer que $h$ est solution de $E_2$ si et seulement si $h-g$ est solution de $E_3$. (0,5 pt)
   3. Résoudre $E_3$ et déduire les solutions de $E_2$. (0,5 pt)

Exercice 2 (3,5 pts)

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé $(O;\vec u;\vec v)$. On considère le point $A_1$ d’affixe $z_1=\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i$. Unité graphique $4cm$.

1. Calculer le module de $z_1$ et déduire que $A_1$ appartient au cercle $(C)$ de centre $O$ et de rayon $1$. (0,5 pt)
2. On considère $A_0$ d’affixe $z_0=1$ et $A_n$ d’affixe $z_n=(z_1)^n$.
   1. Calculer $z_2$. Représenter $A_0$, $A_1$ et $A_2$. (1 pt)
   2. Calculer le module de $z_n$ et en déduire que $A_n$ est sur $(C)$. (0,5 pt)
3. Calculer le module de $z_{n+1}-z_n$ et déduire la nature du triangle $A_0A_nA_{n+1}$. (0,5 pt)
4. Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $A_n=A_0$. (0,5 pt)
5. Déterminer l’écriture complexe et l’expression analytique de la rotation de centre $O$ et d’angle $\dfrac{\pi}{3}$. (0,5 pt)

Exercice 3 (3,5 pts)

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par :

$ \begin{cases} u_1=1\\ u_n=u_{n-1}+\dfrac1n \quad \text{pour } n\ge2 \end{cases} \qquad v_n=u_n-\ln n \quad \text{pour } n\ge1 $

1. Calculer $u_2$ et $u_3$. (0,75 pt)
2. Montrer que :
   1. Pour tout $n\ge1$, $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac1k$. (0,5 pt)
   2. Pour tout $k\ge1$ : $\dfrac1{k+1}\le \displaystyle\int_k^{k+1}\dfrac1x\,dx\le\dfrac1k$. (0,25 pt)
   3. En déduire que $u_n-1\le \ln n \le u_n-\dfrac1n$ et $0\le v_n\le1$. (1 pt)
3. Montrer que $v_{n+1}-v_n=\dfrac1{n+1}-\displaystyle\int_n^{n+1}\dfrac1x\,dx$, puis déduire les variations de $(v_n)$. (0,75 pt)
4. Montrer que $(v_n)$ converge, de limite $\ell$. Quelle est la limite de $(u_n)$ ? (0,5 pt)

Problème (10 pts)

La partie D est indépendante des parties A, B et C qui sont liées.

Considérons la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x-(x^2+4x+3)e^{-x}$, de courbe représentative $(C)$.

Partie A. Étude d’une fonction auxiliaire (3 pts)

Soit $g(x)=(x^2+2x-1)e^{-x}+1$.

1. Étudier les limites de $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$. (1 pt)
2. Calculer $g'(x)$ puis dresser le tableau de variation de $g$. (0,75 pt)
3. Montrer que $g(x)=0$ admet une solution nulle et une autre solution $\alpha$ (encadrement à $10^{-1}$ près). (0,75 pt)
4. En déduire le signe de $g(x)$. (0,5 pt)

Partie B. Étude de la fonction $f$ (3,5 pts)

1. Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. (0,5 pt)
2. Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$ (utiliser A.4). (0,75 pt)
3. Montrer que la droite $(D)$ : $y=x$ est asymptote à $(C)$. (0,25 pt)
4. Montrer que $(D)$ et $(C)$ se coupent en deux points $A$ et $B$ (coordonnées), puis position relative. (1 pt)
5. Construire $(D)$ et $(C)$. (1 pt)

Partie C. Calcul d’aire (2 pts)

1. Soit $H(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x}$. Déterminer $a$, $b$, $c$ pour que $H$ soit une primitive de $h(x)=(x^2+4x+3)e^{-x}$. (0,5 pt)
2. Déterminer l’aire de la partie fermée limitée par $(C)$ et $(D)$. (1 pt)
3. Soit $m>-1$. Domaine $(D_m)$ délimité par $(C)$, $(D)$, $x=-1$ et $x=m$.
   1. Calculer l’aire $(A_m)$ de $(D_m)$. (0,5 pt)
   2. Limite de $(A_m)$ quand $m\to+\infty$. (0,5 pt)

Partie D (1,5 pt)

Soit $n\in\mathbb{N}$, $I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2} e^{-x}\sin nx\,dx$.

1. Calculer $I_n$ par deux intégrations par parties et montrer :

   $I_n=(-e^{-\pi/2})\dfrac{n(1+e^{-2})}{1+n^2}$.

   (0,5 pt)
2. Montrer que $(I_n)$ est géométrique (raison et premier terme), puis calculer $S_n=I_0+I_1+\cdots+I_{n-1}$. (1 pt)