Tle D: 5eme séquence en maths

Exercice 1 : 5 pts

L’espace est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$. On considère les points $A(3;2;1)$, $B(3;1;0)$, $C(1;2;0)$ et $D(1;2;-3)$.

Soit $(P)$ : $2x-y-z+5=0$ et la droite $(D)$ : $$\begin{cases} x-y+3=0\\ z+2=0 \end{cases}$$

Dans l’ensemble $V$ des vecteurs de l’espace, on considère l’endomorphisme $\varphi$ de $V$ défini par : $$\varphi(\vec{e_1})=\vec{e_2},\quad \varphi(\vec{e_2})=2\vec{e_2}-\vec{e_3},\quad \varphi(\vec{e_3})=-4\vec{e_2}+2\vec{e_3}.$$

1. Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont non coplanaires et calculer le volume du tétraèdre $ABCD$. (1pt)
2. Donner l’expression analytique de la réflexion de plan $(P)$. (0,75pt)
3. Écrire l’expression analytique du demi-tour d’axe la droite $(D)$. (0,75pt)
4. Déterminer la matrice $M$ de $\varphi$ dans la base $B=(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})$. (0,5pt)
5. Trouver le noyau $Ker\,\varphi$ de $\varphi$, puis préciser une base de $Ker\,\varphi$. (0,25pt)
6. Déterminer l’image $Im\,\varphi$ de $\varphi$, puis donner une base de $Im\,\varphi$. (0,5pt)
7. Soit $B'=(\vec{i},\vec{u},\vec{v})$ avec $\vec{u}=2\vec{e_1}+\vec{e_3}$ et $\vec{v}=2\vec{e_2}-\vec{e_3}$.
   1. Montrer que $B'$ est une base de $V$. (0,5pt)
   2. Déterminer la matrice $N$ de $\varphi$ dans la base $B'$ et calculer $N^2$. (0,75pt)

Exercice 2 : 5,75pts

Partie A :

1. Démontrer que pour tout nombre réel strictement positif, on a $lnx\le x-1$. (0,75pt)
2. En déduire que pour tout nombre réel, on a $e^x\ge 1+x$. (0,25pt)
3. En déduire que pour tout nombre réel strictement positif $x$, $e^x-lnx\ge 2$. (0,25pt)

Partie B :

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par : $$f(x)=\begin{cases} \dfrac{x}{e^x-lnx} & \text{si } x>0\\ 0 & \text{si } x=0 \end{cases}$$

On désigne par $(C)$ la représentation graphique de $f$ dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O,I,J)$ d’unité $4cm$.

1. Montrer que $f$ est continue en $0$. (0,25pt)
2. Étudier l

6. En utilisant l’encadrement de $\alpha$ obtenu à la question 4.c), déterminer un encadrement de $f(\alpha)$ et en déduire que $0,38$ est une valeur approchée de $f(\alpha)$ à $10^{-2}$ près. (0,5pt)
7. Tracer $(C)$ et préciser ses tangentes aux points d’abscisses $0$ et $\alpha$. (1pt)

Exercice 3 : 3,75pts

On pose $I_0=\int_0^1 x\,dx$ et pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $I_n=\int_0^1 x(\ln x)^n\,dx$.

1. Calculer $I_0$ et $I_1$. (0,75pt)
2. Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, établir la relation $2I_n+nI_{n-1}=e^{-2}$ et déterminer $I_2$. (1,25pt)
3. 1. Montrer que la suite de terme général $I_n$ est décroissante. (0,5pt)
   2. En déduire, en utilisant la relation de récurrence ci-dessus, que $$\frac{e^{-2}}{n+3}\le I_n\le \frac{e^{-2}}{n+2}.$$ (0,75pt)
   3. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} I_n$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} nI_n$. (0,5pt)

Partie B : Évaluation des compétences (4,5pts)

TOTO est recruté comme ingénieur marketing dans la société dénommée « GET Entreprise ». Son objectif est d’améliorer les ventes et de réaliser rapidement une enquête afin d’établir le nombre d’acheteurs (en milliers) d’un produit de l’entreprise en fonction de son prix de vente (en milliers de FCFA).

L’entreprise dispose de $250$ machines de production : $40$ sont neuves, $100$ sont récentes et les autres sont anciennes. Le cahier des charges précise que $4\%$ des machines neuves sont défaillantes, $12\%$ des machines récentes le sont également, ainsi que $25\%$ des machines anciennes.

Par ailleurs, $20\%$ du personnel possède un master IT. Parmi ceux ayant un master IT, $2,5\%$ ont une formation d’ingénierie. Chez le personnel ne disposant pas d’un master IT, $99\%$ n’ont pas de formation d’ingénierie.

Tâches :

1. Aider TOTO à estimer le nombre d’acheteurs s’il vendait un produit à $4\,500$F. (1,5pt)
2. Calculer la probabilité qu’une machine soit neuve sachant qu’elle est défaillante. (1,5pt)
3. Déterminer la probabilité qu’un personnel ayant une formation en ingénierie ait un master IT. (1,5pt)

Exercice 1 : 5 points (Uniquement pour la série D)

1. On considère le polynôme complexe $P$ de degré $3$ défini par : $$P(z)=z^3-(2+2i)z^2+2(1+2i)z-4i.$$
   1. Montrer que $P(2i)=0$. (0,5 pt)
   2. Déterminer les nombres complexes $a$ et $b$ tels que $$P(z)=(z-2i)(z^2+az+b).$$ (0,5 pt)
   3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $P(z)=0$. (0,75 pt)
2. Soient $z_A=1+i$ et $z_M=x+iy$ avec $x$ et $y$ des nombres réels. On note $(C)$ l’ensemble des points $M(x,y)$ tels que $|z_M-z_A|=4$.
   1. Établir que le point $B(-3;1)$ appartient à $(C)$. (0,25 pt)
   2. Déterminer, puis représenter l’ensemble $(C)$. (0,5 pt)
3. Dans le plan complexe, on donne les points $A(2;-5)$, $B(2;3)$ et $C(8;-1)$.
   1. Donner la forme algébrique de $$\frac{z_C-z_A}{z_C-z_B}.$$ (0,5 pt)
   2. En déduire la nature exacte du triangle $ABC$. (0,5 pt)
   3. Déterminer une écriture complexe de la rotation $r$ de centre $C$ qui transforme $B$ en $A$. (0,75 pt)
   4. On considère le cercle $(C_2)$ d’équation $x^2+y^2=9$. Déterminer l’image de $(C_2)$ par la rotation $r$. (0,75 pt)

Exercice 2 : 5 points (Uniquement pour la série TI)

$E$ est un plan vectoriel réel admettant une base $B=(\vec{i},\vec{j})$. Soit $f$ un endomorphisme de $E$ dont la matrice dans la base $B$ est $$A=\begin{pmatrix} m-4 & \sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & m \end{pmatrix},$$ où $m$ est un paramètre réel.

1. Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles $f$ est un automorphisme de $E$. (0,5 pt)
2. On prend $m=1$ pour la suite de l’exercice.
   1. Calculer $f(\vec{i})$ et $f(\vec{j})$. (0,5 pt)
   2. Déterminer le noyau de $f$, puis en donner une base. (0,5 pt)
   3. Calculer l’image de $f$, puis en proposer une base. (0,5 pt)
3. On pose $\vec{u}=\vec{i}+\sqrt{3}\vec{j}$ et $\vec{v}=\sqrt{3}\vec{i}+\vec{j}$.
   1. Montrer que $B'=(\vec{u},\vec{v})$ est une base de $E$. (0,5 pt)
   2. Établir que la matrice de $f$ dans la base $B'$ est $$M=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}.$$ (0,5 pt)
   3. Calculer $M^2$ et $M^3$. (0,5 pt)
   4. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul, $$M^n=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & (-2)^n \end{pmatrix}.$$ (0,5 pt)
4. Soient $$I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$ la matrice unité d’ordre $2$ et $$O=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$$ la matrice nulle d’ordre $2$.
   1. Montrer que $2M=M^2+M^3$. (0,25 pt)
   2. En déduire que $M(M^2+M-2I)=O$. (0,25 pt)
   3. La matrice $M^2-2I$ est-elle inversible ? (0,25 pt)

Exercice 2 : 4 points

1. On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $$f(x)=\ln(1+x).$$
   1. Montrer que $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$. (0,5 pt)
   2. Calculer $f(0)$. (0,25 pt)
   3. En déduire que pour tout $x\ge 0$, $f(x)\le x$. (0,5 pt)
   4. Montrer que pour tout $x\ge 0$, $\ln(1+x)\le x$. (0,75 pt)
2. On considère la suite $(u_n)$ définie par $$u_0=1\quad\text{et}\quad u_{n+1}=\ln(1+u_n).$$
   1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\ge 0$. (0,5 pt)
   2. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}\le u_n$. (0,5 pt)
   3. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. (0,5 pt)
   4. Déterminer la limite $l$ de la suite $(u_n)$ sachant que $f(0)=0$. (0,5 pt)

Exercice 3 : 3 points

Une urne contient $8$ boules indiscernables au toucher parmi lesquelles $2$ blanches, $3$ bleues et $3$ rouges. On tire successivement et sans remise $2$ boules de cette urne.

1. Calculer la probabilité pour que les $2$ boules tirées soient de même couleur. (0,75 pt)
2. On appelle $X$ la variable aléatoire associée à ce tirage, définie comme le nombre de boules rouges tirées.
   1. Montrer que la loi de probabilité de $X$ est :

      $X$	0	1	2
      $P(X=x)$	$\frac{10}{28}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{28}$

      (0,75 pt)
   2. Calculer l’espérance mathématique de $X$. (0,5 pt)
   3. Calculer la variance de $X$. (0,5 pt)
   4. Calculer l’écart-type de $X$. (0,5 pt)

Exercice 4 : 3 points

Anne et Solange sont deux amies qui se rendent dans un supermarché pour acheter uniquement des oranges, des ananas et des avocats. Anne achète une orange à $200$ FCFA, un ananas à $350$ FCFA et un avocat à $600$ FCFA et la somme totale est $2\,350$ FCFA. Solange achète une orange à $200$ FCFA, un ananas à $500$ FCFA, un avocat à $800$ FCFA et la somme totale est $3\,200$ FCFA.

1. On désigne respectivement par $x$, $y$ et $z$ le nombre d’oranges, d’ananas et d’avocats achetés par les deux amies.
   1. Justifier que les nombres $x$, $y$ et $z$ vérifient le système $(S)$ : $$\begin{cases} 2x+3{,}5y+6z=23{,}25\\ 3x+5y+8z=32{,}5 \end{cases}$$ (1,5 pt)
   2. Résoudre le système $(S)$. (0,75 pt)
   3. En déduire les nombres d’oranges, d’ananas et d’avocats achetés par les deux amies. (0,75 pt)

PARTIE B : Évaluation des compétences (5 points)

Situation :

Les experts chinois en énergie solaire qui ont installé les lampadaires solaires dans le chef-lieu départemental d’une des régions du Cameroun appelée Mare de che-lieu ont mesuré la quantité d’énergie en kilowatts-heure absorbée par ces lampadaires pendant la journée en fonction du temps $t$, exprimé en heures, par la fonction $f$ définie par :

$$f(t)= \begin{cases} -5t^4+12t & \text{si } 0\le t\le 6,\\ -t^2+6t & \text{si } 6\le t\le 18,\\ 18 & \text{si } 18\le t\le 24. \end{cases}$$

M. le Maire se pose un certain nombre de questions légitimes concernant la capacité de ces plaques solaires à stocker efficacement l’énergie solaire. Les réponses apportées permettront de disposer des éléments de réponse à certaines questions que le Maire se pose.

Tâches :

1. Déterminer l’heure d’absorption d’énergie par ces lampadaires à laquelle l’énergie absorbée est maximale et calculer cette quantité maximale. (1,5 pt)
2. Déterminer l’intervalle de temps pendant lequel l’absorption d’énergie par ces lampadaires augmente. (1,5 pt)
3. Indiquer s’il existe deux temps distincts dans la journée pour lesquels la quantité d’énergie solaire absorbée vaut $6$ kWh. (1,5 pt)

A. ÉVALUATION DES RESSOURCES (15 points)

EXERCICE 1 (5 points)

Dans le plan complexe $(P)$ muni du repère orthonormal $(O;\vec{u},\vec{v})$ d’unité sur les axes $1\text{ cm}$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives $z_A=-2i$, $z_B=2-4i$ et $z_C=6-2i$, ainsi que $(D)$ l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $$|z-1+3i|=\sqrt{10}.$$

1. 1. Vérifier que le point $O(0;0)$ appartient à $(D)$. (0,25 pt)
   2. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $(D)$. (0,5 pt)
2. 1. Déterminer un argument de $\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}$. (0,25 pt)
   2. En déduire la nature du triangle $OAC$. (0,25 pt)
3. Déterminer les éléments caractéristiques de l’application $f:z\mapsto 2z+6-2i$. (0,5 pt)
4. 1. Calculer l’affixe du point $O'=f(O)$. (0,25 pt)
   2. Montrer que les points $O$, $A$, $B$ et $C$ appartiennent à un même cercle $(C)$ dont on précisera l’affixe du centre et le rayon. (1 pt)
   3. Construire $f(C)$ et $O'A'B'C'$, image de $OABC$ par la rotation de centre $B$ et d’angle $-\varphi$. (0,5 pt)
5. Soit $P$ le polynôme complexe défini par $$P(z)=z^3-(8-8i)z^2-(8+44i)z+56+8i.$$
   1. Montrer que $P$ admet une racine imaginaire pure que l’on déterminera. (0,5 pt)
   2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $P(z)=0$. (0,75 pt)

EXERCICE 2 (5 points)

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $$f(x)=\frac{x+1-xe^x}{e^x-1}$$ et $(C)$ sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j})$.

1. 1. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$ et conclure. (0,25 pt)
   2. Montrer que la droite $(d)$ d’équation $y=-x$ est asymptote à $(C)$. (0,25 pt)
2. 1. Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la dérivée de $f$. (0,25 pt)
   2. Dresser le tableau de variations de $f$. (0,5 pt)
3. 1. Déduire que $f$ admet une unique racine $\alpha$ dans $[0,7;0,9]$ telle que $f(\alpha)=0$. (0,5 pt)
   2. Montrer que $f(x)=0$ équivaut à $x=\ln\left(\dfrac{1}{\alpha}\right)$. (0,25 pt)
4. Construire $(C)$ et ses asymptotes. (0,5 pt)
5. On considère la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $$g(x)=\ln\left(1+\frac{1}{x}\right).$$
   1. Déterminer une primitive $G$ de $g$ prenant la valeur $2\ln2$ en $1$. (0,5 pt)
   2. Montrer que $g$ est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$. (0,25 pt)
   3. Établir que pour tout $x\in[0,7;0,9]$, $|g'(x)|\le 0,85$. (0,5 pt)
6. On considère la suite définie par $\alpha\in[0,7;0,9]$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $U_{n+1}=g(U_n)$.
   1. Montrer par récurrence que $U_n\in[0,7;0,9]$ pour tout $n\in\mathbb{N}$. (0,5 pt)
   2. Établir que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $$|U_{n+1}-\alpha|\le 0,85|U_n-\alpha|.$$ (0,25 pt)
   3. En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $|U_n-\alpha|\le (0,85)^n$. (0,25 pt)
   4. Calculer alors $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} U_n$. (0,25 pt)

EXERCICE 3 (5 points)

1. CHOUPA a consigné dans le tableau suivant les dépenses et recettes journalières en milliers de FCFA de certains de ses différents restaurants.

   Dépenses journalières $x_i$	68	62	70	59	66	56
   Recettes journalières $y_i$	106	96	114	90	101	87

   1. Déterminer le point moyen $G$ du nuage de points de cette série statistique. (0,5 pt)
   2. Déduire une équation de la droite d’ajustement de MAYER de cette série statistique. (1 pt)
   3. Estimer la dépense journalière dans ces conditions d’un restaurant dont la recette journalière est de $8\,111$ FCFA. (0,25 pt)
2. CHOUPA possède cinq restaurants situés respectivement à AHALA, BRIQUETERIE, CASINO, DAMASÉ et MFAMO à FOUGEROLLE dont les zones routières diffèrent selon le tableau ci-après :

   Quartiers	B	C	D	C	D	E	F	E	F
   Quartiers reliés	B	C	D	C	D	E	F	E	F
   Distances en km	10	8	3	2	5	6	7	9	10	4

   1. Construire un graphe traduisant cette situation. (1 pt)
   2. Déterminer l’itinéraire le plus court partant de $B$ pour $A$. (1 pt)
3. CHOUPA remarque que les deux-tiers de ses restaurants ferment avant $19h$ et le cinquième de ses restaurants fait une recette journalière de plus de $10\,000$ FCFA, tandis que les trois dixièmes de ceux qui ferment après $19h$ font une recette journalière de plus de $10\,000$ FCFA.
   1. Quelle est la probabilité qu’un de ses restaurants fasse une recette de plus de $10\,000$ FCFA ? (0,5 pt)
   2. Calculer la probabilité d’avoir au plus deux jours de recettes de plus de $10\,000$ FCFA par semaine d’activité. (0,75 pt)

Partie B : Évaluation des compétences (5 points)

Une chaîne de télévision de la place a diffusé un match des Lions Indomptables du Cameroun, puis une émission d’analyse de cette rencontre. Cette chaîne a noté que $56\%$ des téléspectateurs ont regardé ce match, un quart de ceux qui ont regardé le match ont suivi l’émission et $16,2\%$ des téléspectateurs ont regardé cette émission. Le responsable des programmes décide alors de reprogrammer cette émission, la jugeant très intéressante, mais redoutant une audience trop faible. Le week-end suivant, cette émission gagne $1000$ téléspectateurs et est rediffusée une fois par semaine. Le chef des programmes prévoit une hausse hebdomadaire de $12\%$ de nouveaux abonnés additionnels. À partir de ce taux, la $25^{e}$ diffusion atteindra-t-elle $20\,000$ téléspectateurs ? Afin de rendre cette émission plus attractive, on présente aux téléspectateurs un jeu-quiz à deux niveaux avec des questions à choix multiples :

Un fidèle téléspectateur de cette émission décide de se préparer à répondre correctement aux questions afin de gagner des sommes importantes, par exemple $199\,480$ FCFA.

Tâches :

1. L’estimation de ce téléspectateur sur la somme à gagner est-elle correcte ? (1,5 pt)
2. La statistique communiquée par le présentateur est-elle bonne ? (1,5 pt)
3. La prévision faite par le chef des programmes sera-t-elle atteinte ? (1,5 pt)