Tle D: 2eme Séquence en maths

EXERCICE 1 (4,25 pts)

1) Système linéaire et problème concret

1. 1. Résoudre par la méthode du pivot de Gauss, le système : $$\begin{cases} x+y+z=75\\ x+y+z=105\\ 30x+15y+20z=1700 \end{cases}$$ 1 pt
   2. Deux personnes organisent une partie de chasse aux antilopes, aux autruches et aux oies. À leur retour, on compte $75$ têtes et $210$ pattes d’animaux tués. Le transporteur exige $7000$F à raison de $3000$F par antilope, $1500$F par autruche et $2000$F par oie. Combien d’animaux ont-ils ramené de cette partie de chasse ? 1 pt

2) Étude d’une fonction

2. Étudier les branches infinies en $-\infty$ de la représentation graphique de la fonction $f$ définie par $$f(x)=x-\sqrt{x^2+2}.$$ 1 pt

3) Fonction rationnelle et continuité

3. On considère la fonction $g$ définie par : $$g(x)=\frac{x\sqrt{x}-1-2}{x-1}.$$
   1. Déterminer le domaine de définition de $g$. 0,25 pt
   2. $g$ est-elle prolongeable par continuité en $1$ ? Si oui, définir son prolongement $G$. 1 pt

EXERCICE 2 (3 pts)

1) Récurrences

1. Démontrer par récurrence les propositions suivantes :
   1. Pour tout entier naturel $n\ge 1$, $1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$. 1 pt
   2. Pour tout entier naturel $n\ge 1$, $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$. 1 pt

2) Sommes

2. Calculer de manière performante les sommes suivantes : $$A=1^3+2^3+3^3+\cdots+17^3 \qquad ; \qquad B=1+3+5+\cdots+305.$$ 1 pt

PROBLÈME (12,75 pts)

Le problème comporte six questions indépendantes.

1) Nombre complexe et condition sur le paramètre

1. On considère le nombre complexe $z=x^2+x-2+(x+2)i$ ; $x\in\mathbb{R}$.
   Déterminer $x$ pour que $z$ soit imaginaire pur. 0,5 pt
2. Soit le nombre complexe $z=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
   1. Mettre $z$ sous la forme exponentielle. 0,5 pt
   2. En déduire les valeurs algébriques de $z^{2012}$ et de $z^{2013}$. 1,5 pt

2) Formes algébrique et trigonométrique

3. On donne $z=(1-i\sqrt{3})(-1+i)$.
   1. Écrire $z$ sous la forme algébrique. 0,5 pt
   2. Écrire $( -1+i)$ et $(1-i\sqrt{3})$ sous leurs formes trigonométriques. 1 pt
   3. En déduire la forme trigonométrique de $z$ et les valeurs exactes de $\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$ et $\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$. 2 pts

3) Puissance et relations trigonométriques

4. En utilisant la formule de Moivre, exprimer $\cos 4x$ en fonction de $\sin x$ et de $\cos x$. 1 pt
5. En utilisant les formules d’Euler :
   1. linéariser $\sin^3 x$. 1 pt
   2. linéariser $\sin^2(3x)\cos(2x)$. 1 pt

4) Équation complexe

6. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation : $$z^2=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}.$$ 1 pt

5) Racines carrées et dernier calcul

7. 1. En déduire les racines carrées dans $\mathbb{C}$ de $a=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. 1 pt
   2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $z^4+z^2+1=0$. 0,75 pt

EXERCICE 1 : 5 points

On considère les systèmes d’équations $(S_1)$, $(S_2)$ et $(S_3)$ suivants :

$(S_1)\;:\; $$\begin{cases} x+2y^2+3z^3=7\\ 2x+3y^2+4z^3=11\\ x-y^2-z^3=0 \end{cases}$$

$(S_2)\;:\; $$\begin{cases} 3x+7y+8z=100\\ x+y+z=20 \end{cases}$$

$(S_3)\;:\; $$\begin{cases} x+2y+z=600\\ x+y+2z=625\\ x+2y+2z=775 \end{cases}$$

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système $(S_1)$. 1 pt
2. 1. En posant $x=t$, résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système $(S_2)$. 1,25 pt
   2. Madame Nana va au marché et achète des fruits pour toute sa famille : des pamplemousses à 300 FCFA l’un, des pastèques à 700 FCFA l’une et des ananas à 800 FCFA l’un. Elle dépense en tout 10 000 FCFA. Sa corbeille lourde contient 20 fruits au moins, avec au moins un fruit par espèce. Déterminer le nombre de fruits de chaque espèce. 1 pt
3. 1. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système $(S_3)$. 1 pt
   2. Trois élèves de Terminale D : Ali, Oumar et Abdou se rendent dans une cafétéria. Ali commande un pain, deux œufs et une sardine et il paie 600 FCFA. Oumar commande un pain, un œuf et deux sardines et il paie 625 FCFA. Abdou commande un pain, deux œufs et deux sardines et il paie 775 FCFA. Combien payerait un élève qui commande trois pains, trois œufs et deux sardines ? 0,75 pt

EXERCICE 2 : 4 points

A)

Soient $(x_n)$ et $(y_n)$ les suites définies par : $x_0=3$, $y_0=1$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $$x_{n+1}=\frac{6}{5}x_n+\frac{2}{5}y_n+1 \quad \text{et} \quad y_{n+1}=x_n+y_n+2.$$

1. Calculer $x_1$ et $y_1$. 0,5 pt
2. Montrer par récurrence que $\forall n\in\mathbb{N}$, $2x_n-y_n-5=0$. 1 pt
3. En déduire $x_{n+1}$ en fonction de $x_n$. 0,75 pt
4. Montrer par récurrence que $\forall n\in\mathbb{N}$, $x_n=2^{n+1}+1$. 0,75 pt

B)

Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}^\*$ : $$\sum_{k=1}^{n} k\,2^k = (n-1)2^{n+1}+2.$$ 1,25 pt

EXERCICE 3 : 7 points

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ par $$f(x)=\frac{2x+1}{x+2}.$$ On note $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$.

1. Étudier les variations de $f$. 0,75 pt
2. Tracer la courbe $(C)$. 1 pt
3. Soit $(U_n)$ la suite définie par : $$\begin{cases} U_0=0,\\ U_{n+1}=\dfrac{2U_n+1}{U_n+2}. \end{cases}$$
   1. Représenter sur l’axe des abscisses du repère précédent les termes $U_1$, $U_2$ et $U_3$ (on laissera visibles les traits de construction). 0,75 pt
   2. Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}$, $0\le U_n<2$. 0,5 pt
   3. Montrer que la suite $(U_n)$ est croissante. 0,5 pt
   4. En déduire que la suite $(U_n)$ est convergente. 0,5 pt
4. Soit $(V_n)$ la suite définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par : $$V_n=\frac{1+U_n}{2-U_n}.$$
   1. Montrer que $(V_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 0,75 pt
   2. Exprimer $V_n$, puis $U_n$ en fonction de $n$. 1 pt
   3. En déduire $\displaystyle\lim U_n$. 0,5 pt
5. On pose $S_n=V_0+V_1+V_2+\cdots+V_n$. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$ et déterminer sa limite quand $n$ tend vers $+\infty$. 0,75 pt

EXERCICE 4 : 3 points

1. Soit $(a_n)$ une suite arithmétique de premier terme $a_0$ et de raison $r$, $k\in\mathbb{N}$.
   1. Soit un entier naturel $n\ge k$. Exprimer $a_n$ en fonction de $n$, $a_k$ et $r$. 0,75 pt
   2. Exprimer $T_n=a_k+a_{k+1}+\cdots+a_n$, $n\ge k$, en fonction de $n$, $a_k$ et $r$. 0,75 pt
2. 1. Le $5^e$ terme d’une suite arithmétique est $3$ et le $10^e$ terme est $13$. Quelle est la raison de cette suite ? 0,75 pt
   2. La somme des cinq premiers termes d’une suite arithmétique est $30$. Quelle est la raison de cette suite si le premier terme est $2$ ? 0,75 pt

Exercice 1 : 5 points

1) Limites

1. Calculer les limites suivantes : $$\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2-2x}+x\right)\qquad \lim_{x\to 0}\frac{\cos(2x)-1}{x}\qquad \lim_{x\to +\infty}\frac{\cos x+\sin x}{x^2}.$$ 1,5 pts

2) Branches infinies

2. Étudier les branches infinies de la représentation graphique de la fonction $f$ définie par : $$f(x)=x-\sqrt{x^2+2}.$$ 1 pt

3) Fonction $g$ : domaine et prolongement

3. On considère la fonction $g$ définie par : $$g(x)=\frac{\sqrt{3x^2+1}-2}{x-1}.$$
   1. Déterminer le domaine de définition de $g$. 0,25 pt
   2. $g$ est-elle prolongeable par continuité en $1$ ? Si oui, définir son prolongement $G$. 1 pt

4) Équation $h(x)=0$ et encadrement

4. On considère la fonction $h$ définie par : $$h(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-2.$$
   1. Montrer que l’équation $h(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]1;2]$. 0,75 pt
   2. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$. 0,5 pt

Exercice 2 : 2 points

1) Système (pivot de Gauss)

1. Résoudre par la méthode du pivot de Gauss, le système $(S)$ : $$\begin{cases} x+y+z=75\\ 2x+y+z=105\\ 30x+15y+20z=1700 \end{cases}$$ 1 pt

2) Problème de chasse

2. Deux personnes organisent une partie de chasse aux antilopes, aux autruches et aux oies. À leur retour, on compte $75$ têtes et $210$ pattes d’animaux tués. Le transporteur perçoit $170000$F à raison de $3000$F par antilope, $1500$F par autruche et $2000$F par oie. Combien d’animaux de chaque famille ont été ramenés de cette partie de chasse ? 1 pt

Exercice 3 : 3 points

Récurrence

1. Démontrer par récurrence les propositions suivantes :
   1. Pour tout entier naturel $n\ge 1$, $$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}.$$ 1 pt

EXERCICE 3 : 3 points

2. Pour tout entier naturel $n\ge1$, $$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2.$$ 1 pt
3. Calculer de manière performante les sommes suivantes : $$A=1^2+2^2+3^2+\cdots+17^2 \qquad ; \qquad B=1+3+5+\cdots+305.$$ 1 pt

PROBLÈME : 10 points

Le problème comporte trois parties indépendantes A, B et C.

PARTIE A

On considère dans l’ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l’équation :

1. Montrer que $(E)$ admet une solution imaginaire pure, notée $z_0$. 0,75 pt
2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $(E)$ en utilisant : $$z^3-(3+7i)z^2-(13-15i)z+18+6i=(z-z_0)(z^2+az+b),$$ où $a,b\in\mathbb{C}$. 0,75 pt
3. Achever la résolution de $(E)$ dans $\mathbb{C}$. 0,75 pt

PARTIE B

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$, on donne les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives $$z_A=2,\quad z_B=2+4i,\quad z_C=1+4i.$$

1. Placer ces points dans le repère. 0,75 pt
2. 1. Déterminer le module et un argument de $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$. 1 pt
   2. En déduire la nature du triangle $ABC$. 0,25 pt
3. Soit $D$ le symétrique du point $B$ par rapport au point $A$.
   1. Déterminer l’affixe du point $D$. 0,75 pt
   2. Quelle est la nature du triangle $BCD$ ? 0,5 pt
4. Soit $R$ la rotation de centre $B$ et d’angle $\dfrac{\pi}{2}$. Déterminer l’affixe du point $A'$, image de $A$ par la rotation $R$. 1 pt

PARTIE C

À tout nombre complexe $z$ distinct de $i$, on associe le nombre complexe $Z$ défini par : $$Z=\frac{2z-4}{z-i}.$$

1. On pose $z=x+iy$.
   1. Montrer que $$\Re(Z)=\frac{2x^2+2y^2-4x-2y}{(x-1)^2+y^2} \quad \text{et} \quad \Im(Z)=\frac{2x+4y-4}{(x-1)^2+y^2}.$$ 1,5 pt
2. Déterminer l’ensemble $(C)$ des points $M(z)$ tels que $Z$ soit réel. 0,75 pt
3. Déterminer l’ensemble $(D)$ des points $M(z)$ tels que $Z$ soit imaginaire pur. 0,75 pt
4. Déterminer l’ensemble $(\Delta)$ des points $M(z)$ tels que $|Z|=1$. 0,75 pt

EXERCICE 1 : 4,5 points

On considère le polynôme à variable complexe $P$ défini par : $$P(z)=z^3-(5+i)z^2+(10-6i)z-8-16i.$$

1. Calculer $P(2i)$ et conclure. 0,5 pt
2. Déterminer trois nombres complexes $a$, $b$ et $c$ tels que : $$P(z)=(z-2i)(az^2+bz+c).$$ 0,5 pt
3. Déterminer les racines carrées du nombre complexe $24-4i$. 0,5 pt
4. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation : $$z^2-(5-i)z+8-4i=0.$$ 0,75 pt
5. En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation $P(z)=0$. 0,5 pt
6. $A$, $B$ et $C$ sont trois points du plan complexe d’affixes respectives : $$z_A=3+i,\quad z_B=2i,\quad z_C=2-2i.$$
   1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan complexe. 0,75 pt
   2. Calculer le rapport $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ et en déduire la nature du triangle $ABC$. 0,5 pt
   3. Déterminer l’affixe du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme. 0,5 pt

EXERCICE 2 : 3,75 points

1. Linéariser $\sin^3 x$. 0,75 pt
2. Déterminer les racines cubiques du nombre complexe $Z=8$. Écrire ces racines sous forme trigonométrique. 0,5 pt
3. On donne les nombres complexes suivants : $$a=2+2i \quad \text{et} \quad b=-1+i\sqrt{3}.$$
   1. Écrire $a$ et $b$ sous forme trigonométrique. 0,5 pt
   2. En déduire le module et l’argument de $\dfrac{a}{b}$. 0,5 pt
   3. Écrire $\dfrac{a}{b}$ sous forme algébrique. 0,5 pt
   4. En déduire les valeurs exactes de $\cos\!\left(-\dfrac{5\pi}{12}\right)$ et $\sin\!\left(-\dfrac{5\pi}{12}\right)$. 0,5 pt
   5. Écrire le nombre $b^{10}$ sous forme trigonométrique puis algébrique. 0,5 pt

EXERCICE 3 : 3,75 points

On considère la fonction $f$ définie de $]-1;+\infty[$ vers $]-4;+\infty[$ par $$f(x)=x^2+2x-3.$$

1. Montrer que $f$ est continue et strictement monotone sur $]-1;+\infty[$. 0,75 pt
2. En déduire que $f$ est bijective. 0,5 pt
3. Déterminer l’expression de $f^{-1}$, la fonction réciproque de $f$. 0,75 pt
4. Établir le tableau de variation de $f$ et de $f^{-1}$. 1 pt
5. Construire la courbe de $f$. 0,75 pt
6. Déduire la courbe de $f^{-1}$. 0,5 pt

Exercice 4 : 5 points

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par : $$f(x)=\sqrt{x^2+1}-2x \qquad \text{et} \qquad g(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.$$

1. 1. Montrer que $g'(x)=\dfrac{1}{(x^2+1)^{3/2}}$. 0,75 pt
   2. En déduire le sens de variation de $g$ sur $\mathbb{R}$. 0,5 pt
2. Calculer : $$\lim_{x\to +\infty}g(x)\quad \text{et}\quad \lim_{x\to -\infty}g(x).$$ 0,5 pt
3. 1. Montrer que $f'(x)=g(x)-2$. 0,75 pt
   2. En déduire le signe de $f'$ puis les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$. 0,75 pt
4. Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0;1]$, puis déterminer cette valeur approchée à $10^{-2}$ près. 1 pt
5. La fonction $h$ définie sur $]0;1]$ par $$h(x)=\frac{\sin x}{x}$$ est-elle prolongeable par continuité en $0$ ? 0,75 pt

PARTIE A : Évaluation des compétences (3 points)

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$. $M$ est un point d’affixe $z$ et $M'$ un point d’affixe $Z$. L’unité de longueur est le km.

Une personne atteinte de Covid-19 a déclenché la contamination de toute une zone autour de lui. Cette zone est telle que : $$Z=\frac{z-5}{z+5}$$ soit imaginaire pur.

On a localisé trois personnes contaminées $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives $1-i$, $3i$ et $4-i$. L’ambulance se trouve au point $G$ barycentre de $(A;2)$, $(B;3)$ et $(C;5)$. Le malade $B$ a urgemment besoin d’une assistance respiratoire, sinon il va mourir $15$ minutes si l’ambulance n’arrive pas à temps. L’ambulance roule avec une vitesse moyenne de $40$ km/h. On rappelle que $V=\dfrac{d}{t}$.

Tâches

1. Déterminer la surface contaminée par la Covid-19. 1,5 pt
2. Le malade $B$ va-t-il rendre l’âme ? 1,5 pt

EXERCICE 1 : 7,5 points

1. Linéariser $\cos^2 2x$ et $\sin 3x$. 1 pt
2. $P$ est un polynôme complexe défini par : $$P(z)=z^3+3iz-5+5i.$$
   1. Vérifier que le nombre complexe $-1-i$ est une racine de $P$. 0,25 pt
   2. Déterminer les complexes $a$ et $b$ tels que : $$P(z)=(z+1+i)(z^2+az+b).$$ 0,5 pt
   3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $P(z)=0$. 0,75 pt
3. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé $(O;\vec{u};\vec{v})$. On donne trois points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives $$z_A=-1-i,\quad z_B=2-i,\quad z_C=-1+2i.$$
   1. Construire les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan complexe. 0,75 pt
   2. Déterminer l’ensemble $(D)$ des points $M$ d’affixe $z$ vérifiant : $$|z-2+i|=|z+1-2i|,$$ puis vérifier que le point $A$ appartient à $(D)$. 0,75 pt + 0,25 pt
   3. Calculer un argument du nombre complexe $$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A},$$ puis en déduire la mesure principale de l’angle orienté $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})$. 0,75 pt + 0,5 pt
   4. En déduire la nature exacte du triangle $ABC$. 0,25 pt
4. On considère la similitude directe $S$ de centre $B$ qui transforme le point $A$ en $C$.
   1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude $S$. 0,5 pt + 0,5 pt
   2. Donner l’écriture complexe de la similitude $S$. 0,75 pt
   3. Soit $(d): x+2y+4=0$ une droite du plan complexe. Déterminer l’image $(d')$ de $(d)$ par $S$. 0,5 pt

EXERCICE 2 : 5 points

1. Calculer les limites des fonctions suivantes : $$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x},\qquad \lim_{x\to +\infty}\sqrt{2x^2+1-3x},\qquad \lim_{x\to -\infty}\sqrt{x^2+3+8x}.$$ 1,5 pts
2. Soit la fonction $f$ définie par : $$f(x)=2x+E(x)\quad \text{où $E$ est la fonction partie entière.}$$
   1. En utilisant la définition de $E$, montrer que pour tout $x$, $$x-1\le E(x)\le x.$$ 0,5 pt
   2. Encadrer $f$ par deux fonctions affines. 0,5 pt
   3. En déduire $$\lim_{x\to +\infty}f(x)\quad \text{et}\quad \lim_{x\to -\infty}f(x).$$ 0,5 pt
3. On considère la fonction $f$ définie par : $$f(x)=\frac{1-\sqrt{x^2+1}}{x}.$$
   1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$. 0,5 pt
   2. Montrer que $f$ admet en $0$ un prolongement par continuité $g$. Déterminer ce prolongement. 0,75 pt
   3. Montrer que $g$ est dérivable en $0$ et déterminer la dérivée $g'(0)$. 1 pt

PROBLÈME : 7,5 points

Partie A

Soit $g$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$g(x)=x^3-3x-3.$$

1. Étudier le sens de variation de $g$. 0,75 pt
2. Démontrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$, et que $2{,}10\le \alpha \le 2{,}11$. 0,75 pt
3. Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. 0,5 pt

Partie B

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$ par : $$f(x)=\frac{2x^3+3}{x^2-1}.$$

1. Démontrer que $$f'(x)=\frac{2x\,g(x)}{(x^2-1)^2}$$ et étudier le signe de $f'(x)$. 1 pt
2. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$. 0,75 pt
3. Montrer que $3=\alpha^3-3\alpha$ et en déduire que $f(\alpha)=3\alpha$. Puis donner un encadrement de $f(\alpha)$. 1 pt
4. Déterminer les équations des asymptotes à la courbe de $f$ (on pourra calculer les limites de $f(x)-2x$ lorsque $x$ tend vers l’infini). 0,75 pt
5. Étudier le signe de $f(x)-2x$ et en déduire la position de la courbe de $f$ par rapport à la droite d’équation $y=2x$. 0,75 pt
6. Construire dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ la courbe de la fonction $f$ et ses asymptotes. 1,25 pt

EXERCICE 1 : 5 points

1. $(v_n)$ est la suite définie par $v_1=1$ et pour tout $n\ge1$ : $$v_n=v_{n-1}+\frac{1}{2^n}.$$
   1. Calculer $v_2$ et $v_3$. (0,5 pt)
   2. Étudier le sens des variations de $(v_n)$. (0,5 pt)
   3. Démontrer par récurrence que pour tout $n\ge2$ : $$v_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^n}.$$ (1 pt)
   4. En déduire que $$v_n=\frac{3}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^n,$$ puis préciser la limite de la suite $(v_n)$. (1 pt)
2. $(u_n)$ est la suite définie par $u_1=1$ et pour tout $n\ge1$ : $$u_n=u_{n-1}+\frac{1}{n^n}.$$
   1. Étudier le sens des variations de la suite $(u_n)$. (0,5 pt)
   2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n\ge2$ : $$0\le u_n\le v_n.$$ (0,5 pt)
   3. En déduire que $(u_n)$ est majorée par $\dfrac{3}{2}$. (0,25 pt)
   4. Justifier que $(u_n)$ converge et donner un encadrement de sa limite. (0,75 pt)

EXERCICE 2 : 5 points

Cet exercice comporte deux parties indépendantes I et II.

I) Polynôme complexe

On considère dans $\mathbb{C}$ le polynôme $P$ défini par : $$P(z)=4z^3-(6+16i)z^2+(-19+15i)z+9+7i.$$

1. Calculer $P(i)$ et conclure. (0,25 pt)
2. Écrire $P(z)$ sous la forme : $$P(z)=(z-i)(az^2+bz+c),$$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres complexes à déterminer. (0,75 pt)
3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $P(z)=0$ et mettre les solutions sous la forme algébrique. (1 pt)

II) Système et problème

1. Résoudre le système suivant en utilisant le pivot de Gauss : $$\begin{cases} x-y-z=600\\ -x+3y-z=1200\\ -x-y+7z=2400 \end{cases}$$ (1 pt)
2. Trois personnes jouent ensemble. Elles conviennent qu’à chaque partie, le perdant double l’avoir de chacun des deux autres joueurs. Après trois parties où chacun en a perdu une, chaque joueur a un avoir de $2400$. Quels étaient les avoirs initiaux ? (2 pts)

Problème : 10 points

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{e_1};\vec{e_2})$. On considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d’affixes respectives : $$z_A=-1+i,\quad z_B=-1-i,\quad z_C=2i,\quad z_D=2-2i.$$

1. Placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$ dans le repère (unité $2$ cm). 0,75 pt
2. 1. Calculer et mettre sous forme algébrique les nombres complexes : $$\frac{z_C-z_B}{z_D-z_B}\quad \text{puis}\quad \frac{z_C-z_A}{z_D-z_A}.$$ 1 pt
   2. En déduire la nature exacte des triangles $CBD$ et $CAD$. 0,5 pt
3. 1. Démontrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont situés sur un cercle dont on précise le centre et le rayon, noté $(C)$. 0,75 pt
   2. Construire ce cercle $(C)$. 0,25 pt
4. $T$ désigne la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$, et $R$ la rotation de centre $B$ et d’angle $\dfrac{\pi}{2}$.
   1. Déterminer les écritures complexes de $R$ et $T$. 1 pt
   2. Déterminer l’écriture complexe de $R\circ T$. 0,5 pt
   3. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de $R\circ T$. 0,5 pt
5. $S$ est la transformation d’écriture complexe $z'= (1+i)z+2$.
   1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $S$. 0,75 pt
   2. Déterminer les images $A'$, $B'$, $C'$ et $D'$ de $ABCD$ par $S$. 1 pt
   3. Justifier que les points $A'$, $B'$, $C'$ et $D'$ sont situés sur un cercle que l’on caractérisera. Construire $(C')$. 1 pt
   4. Comparer les aires de $(C)$ et $(C')$. 0,5 pt
6. À tout point $M$ d’affixe $z$, on associe le point $M'$ d’affixe $z'$ tel que : $$z'=(1+i)z+2.$$
   1. Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $\arg z' = k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. 0,5 pt
   2. Construire cet ensemble. 0,5 pt

Exercice I : 2,5 points

1. $(V_n)$ est la suite définie par $V_0=2$ et, pour tout entier $n\ge1$ : $$V_n=aV_{n-1}+b,$$ où $|a|<1$ et $b$ est un réel quelconque.
2. $(W_n)$ est la suite définie par : $$W_n=V_n+\frac{b}{a-1}.$$
   1. Montrer que la suite $(W_n)$ est géométrique de raison $a$. 1 pt
   2. Déduire l’expression de $V_n$ en fonction de $n$, $a$ et $b$. 0,75 pt
   3. On pose $b=3$. Déterminer $a$ sachant que $$\lim_{n\to+\infty} W_n=5.$$ 0,75 pt

Exercice II : 6 points

A) Vrai ou Faux

Dans chacun des énoncés suivants, cinq affirmations sont proposées. Pour chacune d’elles, répondre par VRAI ou FAUX. Aucune justification n’est demandée. Les réponses exactes sont pénalisées. 0,5 pt

1. Pour toute fonction $f$ continue sur $[0;1]$, il existe $R\in\mathbb{R}$ tel que $f(0)=f(1)=R$.
2. Si $f(0)=-1$ et $f(1)=1$, alors il existe un unique $x_0\in[0;1]$ tel que $f(x_0)=0$.
3. Si $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$, alors pour tout $y\in[f(0);f(1)]$, il existe un unique $x_0\in[0;1]$ tel que $f(x_0)=y$.
4. Si $f(0)=0$ et $f'(x)>0$ pour tout $x\in[0;1]$, alors $f(x)=x$.
5. Si $f(0)=-1$ et $f(1)=2$, alors il existe $\alpha\in[0;1]$ tel que $f(\alpha)=\alpha$.

B) Limites

Calculer les limites de $f$ en $x_0$ dans chacun des cas suivants :

1. $$f(x)=\frac{2-2\sin x}{x},\qquad x_0=\frac{\pi}{2}.$$ 0,5 pt
2. $$f(x)=\frac{x}{x},\qquad x_0=0.$$ 0,5 pt

C) Étude de fonction

Soit $f$ la fonction définie par : $$f(x)=x^3-2x^2-1.$$

1. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations. 1 pt
2. Justifier que $f$ est bijective sur $[2;3]$. 0,5 pt
3. Démontrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha\in[2;3]$ et donner un encadrement d’amplitude $2$. 1 pt

Exercice III : 4,5 points

1. Linéariser : $$\sin^4 x.$$ 1 pt
2. Exprimer $\sin 4x$ en fonction de $\sin x$ et de $\cos x$. 1 pt
3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation : $$z^2-2z+1=0.$$ 0,75 pt
4. Soit $u=2-2i$.
   1. Mettre $u$ sous la forme trigonométrique. 0,5 pt
   2. Pour quelles valeurs de l’entier naturel $n$, $u^n$ est-il un réel ? 0,5 pt
   3. En déduire $u^6$. 0,75 pt

PROBLÈME : 7,5 points

Partie A

On donne le système $(S)$ :

1. Résoudre dans $\mathbb{C}^2$ le système $(S)$. 1 pt
2. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct de centre $O$, on considère les points $A$ et $B$ d’affixes respectives : $$z_A=-\sqrt{3}+i \quad \text{et} \quad z_B=-1+i\sqrt{3}.$$
   1. Écrire $z_A$ et $z_B$ sous la forme exponentielle. 1 pt
   2. Déduire la nature du triangle $OAB$ et la mesure de l’angle $\widehat{(OA,OB)}$. 0,75 pt
   3. Placer dans le repère les points $A$ et $B$. 0,5 pt

Partie B

$f$ est la transformation du plan qui, à tout point $M(z)$, associe le point $M'(z')$ tel que : $$z'=e^{i\frac{\pi}{6}}z.$$ $S$ est la similitude directe de centre $O$, de rapport $2$ et d’angle $\frac{\pi}{6}$. $D$ est le point d’affixe $2(-1+i\sqrt{3})$.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $f$. 0,75 pt
2. Donner l’écriture complexe de $S$. 0,75 pt
3. Déterminer et construire l’ensemble $(\Gamma)$. 0,75 pt

Partie C

1. On pose $h=f\circ S$.
   1. Montrer que $h$ est une homothétie et préciser ses caractéristiques. 0,75 pt
   2. Soit $(D)$ la droite d’équation $y=2x$. Déterminer l’image de la droite $(D)$ par $h$. 0,75 pt