Tle D: 1ere Séquence en maths

Exercice 1 : 4 points

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système d’équations suivant par la méthode du pivot de Gauss : $$\begin{cases} 3x+5y+4z=1215\\ y-z=15\\ x+y+z=300 \end{cases}$$ (2 points)
2. Un libraire affiche les prix par feuille suivants : Mathématiques : $25$ francs ; Physique : $20$ francs ; Anglais : $15$ francs. Un élève de Terminale D dépense au total $6075$ francs pour acheter trois livres à savoir un livre de Mathématiques, un livre de Physique et un livre d’Anglais. Sachant que le livre de Mathématiques a $15$ feuilles de plus que le livre de Physique et que la somme totale des feuilles constituant les trois livres est de $300$ pages, déterminer le système traduisant les contraintes de ce problème et en déduire le nombre de feuilles de chaque livre. (2 points)

Exercice 2 : 4 points

1. Rappeler la formule du binôme de Newton pour le calcul de $(a+b)^n$ et linéariser $\cos^4 x$. (0,5 + 1,5 point)
2. Donner la forme trigonométrique et la forme exponentielle du nombre complexe $$z=\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^{2000}.$$ (1 point)
3. Trouver les racines cubiques de $1$. (1 point)

PROBLÈME : 12 points

NB : Les deux parties du problème sont indépendantes.

Partie A : 7,25 points

1. On donne les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ définis par : $$z_1=\frac{\sqrt{3}+i}{-\sqrt{3}+i}\quad \text{et}\quad z_2=\frac{-4i}{3}.$$
   1. Écrire sous forme exponentielle $z_1$ et $z_2$. (0,75 pt × 2)
   2. En déduire la forme algébrique des complexes $z_1^2$, $z_2^2$, $\overline{z_1}$ et $\overline{z_2}$. (0,25 pt × 4)
2. On donne les nombres complexes $z$ définis par : $$z=-8\sqrt{3}+8i\quad;\quad \omega=(\sqrt{6}-\sqrt{2})+i(\sqrt{6}+\sqrt{2}).$$
   1. Écrire le nombre complexe $z$ sous forme trigonométrique. (1 point)
   2. Déterminer les racines carrées de $z$. (0,75 pt × 2)
   3. En déduire les valeurs exactes de $\cos\frac{5\pi}{12}$ et $\sin\frac{5\pi}{12}$. (0,75 pt × 2)

Partie B : 4,75 points

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes : $$(E_1):\ z^2+2z\sqrt{3}+4=0\quad;\quad (E_2):\ z^2-2z\sqrt{3}-4=0.$$ (0,5 pt × 2)
2. Pour tout nombre complexe $Z$, on pose $$P(Z)=Z^4-4Z^2+16.$$ On considère dans $\mathbb{C}$ l’équation $(E): P(Z)=0$.
   1. Montrer qu’il existe deux valeurs du nombre réel $a$ telles que : $$P(Z)=(Z^2+aZ+4)(Z^2-aZ+4).$$ (1,5 pt)
   2. En déduire les solutions de l’équation $(E)$. (0,75 point)
3. Soient $A$, $B$, $C$, $D$ et $F$ les points d’affixes respectives $$\sqrt{3}+i\ ;\ 2i\ ;\ -\sqrt{3}+i\ ;\ -\sqrt{3}-i\ ;\ \sqrt{3}-i$$ dans le plan muni du repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j})$.
   1. Montrer que ces points appartiennent au cercle de centre $O$ et de rayon $2$. (1 point)
   2. Placer ces points dans le plan. (1 point)

Exercice 1 : 4,25 points

1. Démontrer que $2003$ est un nombre premier. (0,75 pt)
2. 1. Déterminer deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $$123u+2003v=-1.$$ (0,5 pt)
   2. En déduire un entier relatif $k$ tel que $$123k\equiv 1\ [2003].$$ (0,5 pt)
   3. Déterminer un entier relatif $x$ tel que $$123x\equiv 456\ [2003].$$ (0,5 pt)
   4. Déterminer l’ensemble des entiers relatifs $x$ tels que $$123x\equiv 456\ [2003].$$ (0,5 pt)
3. Montrer qu’il existe un unique entier $n$ tel que $$1\le n\le 2002 \quad \text{et} \quad 123n\equiv 456\ [2003].$$ (0,25 pt)
4. Soit $a$ un entier tel que $1\le a\le 2002$.
   1. Déterminer $\gcd(2003,a)$. (0,25 pt)
   2. En déduire l’existence d’un entier $m$ tel que $$am\equiv 1\ [2003].$$ (0,25 pt)
   3. Montrer que pour tout entier $b$, il existe un unique entier $x$ tel que $$0\le x\le 2002 \quad \text{et} \quad ax\equiv b\ [2003].$$ (0,5 pt)

Exercice 2 : 5,5 points

L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On considère les points $A(5;-2;-1)$, $B(1;-1;2)$, $C(0;1;2)$ et $D(4;-2;-2)$.

1. On considère le plan $(P)$ passant par le point $B(1;-1;2)$ et de vecteur normal $\vec{n}=(2;-1;5)$, ainsi que le plan $(R)$ d’équation cartésienne $$x+2y-z=0.$$
   1. Déterminer une équation du plan $(P)$. (0,25 pt)
   2. Écrire une équation cartésienne du plan $(P)$. (0,5 pt)
   3. Déterminer l’intersection des plans $(P)$ et $(R)$ : la droite $(\Delta)$, dont on donnera une représentation paramétrique. (0,75 pt)
   4. Calculer la distance du point $A$ au plan $(P)$, puis la distance du point $A$ au plan $(R)$. (0,5 pt)
   5. Déterminer la distance du point $A$ à la droite $(\Delta)$. (0,5 pt)
2. Pour tout réel $t$, on considère le point $$M(t;4-t;t).$$
   1. Déterminer en fonction de $t$ la longueur $AM$. (0,5 pt)
   2. Étudier les variations de la fonction $AM$ et préciser son minimum. (0,75 pt)
   3. Interpréter géométriquement ce minimum. (0,25 pt)
3. 1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ déterminent un plan, puis donner l’aire du triangle $ABC$. (0,5 pt)
   2. Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires. (0,25 pt)
   3. En déduire le volume du tétraèdre $ABCD$. (0,5 pt)
4. Déterminer l’ensemble des points $M$ de l’espace tels que $$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}\ \perp\ \overrightarrow{CM}+\overrightarrow{DM}.$$ (0,5 pt)

Exercice 3 : 7,5 points

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$, on considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d’affixes respectives $$z_A=-1+i,\quad z_B=-1-i,\quad z_C=2i,\quad z_D=-2i.$$ On considère les nombres complexes $$z_1=H(2i)\quad \text{et}\quad z_2=M(z)\quad \text{avec}\quad z'=\frac{z-2i}{-2i}.$$

1. Placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$. (0,5 pt)
2. Déterminer les affixes du point $I$, milieu du segment $[CD]$ et du point $G=\text{bar}\{(A;-3),(B;2),(C;3)\}$. (0,5 pt)
3. Déterminer l’affixe du point $P$, symétrique du point $A$ par rapport à l’axe imaginaire. (0,25 pt)
4. 1. Donner la forme algébrique des nombres $$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\quad \text{et}\quad \frac{z_B-z_A}{z_C-z_A}.$$ (1 pt)
   2. En déduire la nature des triangles $ACB$ et $BDC$. (0,5 pt)
   3. En déduire que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. (0,5 pt)
5. 1. Donner une interprétation géométrique du module $|z'|$ et un argument de $z'$. (0,5 pt)
   2. Déterminer l’ensemble des points $M(z)$ tels que $|z'|=1$. (0,5 pt)
   3. Déterminer l’ensemble des points $M(z)$ tels que $|z'|=3$. (0,75 pt)
6. On pose $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ des nombres réels. On a $z'=(0,2)$.
   1. Déterminer en fonction de $x$ et $y$ la partie réelle et la partie imaginaire de $z'$. (0,75 pt)
   2. Déterminer l’ensemble des points $M(z)$ tels que $z'$ soit un nombre réel. (0,75 pt)
   3. Déterminer l’ensemble des points $M(z)$ tels que $z'$ soit un nombre imaginaire pur. (0,75 pt)

Exercice 4 : 2,5 points

1. Soient $p$ et $q$ deux entiers premiers entre eux.
   1. Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$, $p^n$ et $q^n$ sont premiers entre eux. (0,5 pt)
   2. En déduire que $p^n$ et $p^n+q^n$ sont premiers entre eux. (0,25 pt)
   3. Prouver alors que $5^n$ et $2^n+1$ sont premiers entre eux pour tout entier positif ou nul $n$. (0,5 pt)
2. Soit $p$ un nombre entier naturel non nul.
   1. Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$, $$\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)\dots(k+p)=p!\sum_{k=1}^{n}\binom{k+p}{p+1}.$$ (0,75 pt)
3. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $$2^{3n+1}+2^{3n+2}+2^{3n+3}$$ est un multiple de $11$. (0,75 pt)

EXERCICE 1 : 4 points

1. Établir, en utilisant les congruences, que pour tout entier naturel $n$ :
   1. $3^{2n+2}+4^{2n+2}$ est multiple de $7$. (0,5 pt)
   2. $2^n+5^{n+1}+3^{n+1}$ est divisible par $17$. (0,5 pt)
2. En remarquant que $n!\,10^3-1=9\times111$ et $10^3+1=7\times11\times13$, démontrer en utilisant les congruences que :
   1. Pour tout entier naturel $n$, $A_n=10^{6n}+10^{3n}+1$ est divisible par $111$. (0,75 pt)
   2. Si $n$ est impair, le nombre $A_n=10^{6n}+10^{3n}+1$ est divisible par $7$ et par $13$. (0,75 pt)
3. L’entier naturel $n$ étant fixé, on pose pour $n\ge 1$ : $$S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{k!(k+1)!}{(n+p)!}.$$
   1. Montrer que $$\frac{(n+p)!}{(n+1)!(n+1)!}=\frac{(n+p)!}{(n+1)!(n+p)!}.$$ (0,25 pt)
   2. Démontrer par récurrence sur $n$ que pour tout entier naturel non nul $n$, $$S_n=\frac{n!(n+1)!}{(n+p)!}.$$ (1 pt)
   3. En déduire la limite de $S_n$ quand $n$ augmente indéfiniment. (0,25 pt)

EXERCICE 2 : 5 points

1. Quel est le reste de la division par $11$ du nombre $\overline{7077}$ ? (0,75 pt)
2. Donner, suivant les valeurs de l’entier $n$, le reste de la division euclidienne de $4^n$ par $7$. (1 pt)
3. Un entier $A$ s’écrit $\overline{1332}$ dans le système de numération de base quatre. Calculer $A$ en base $10$, puis donner le reste de la division euclidienne de $A$ par $7$. (1 pt)
4. Soit $b$ un entier naturel représenté, en base $p$, par $b=\overline{342}_p$.
   1. Déterminer le chiffre $p$ pour que ce nombre soit divisible par $3$, quand $b=7$. (0,75 pt)
   2. Déterminer le chiffre $p$ pour que ce nombre soit divisible par $12$, quand $b=17$. (0,75 pt)
5. Pour quelles valeurs de l’entier naturel $n$ le nombre $5^{6n}+5^n+2$ est-il divisible par $7$ ? (1 pt)

EXERCICE 3 : 3 points

1. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $2^{3n}-1$ est un multiple de $7$ (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence). (0,5 pt)
   2. En déduire que $2^{3n+1}-2$ est un multiple de $7$ et que $2^{3n+2}-4$ est un multiple de $7$. (0,5 pt)
2. Déterminer les restes de la division euclidienne par $7$ des puissances de $2$. (0,75 pt)
3. Le nombre $p$ étant un entier naturel, on considère le nombre entier : $$A_p=2^p+2^{2p}+2^{3p}.$$
   1. Établir que si $p=3n$, le reste de la division de $A_p$ par $7$ vaut $7$. (0,25 pt)
   2. Prouver que si $p=3n+1$, alors $A_p$ est divisible par $7$. (0,25 pt)
   3. Étudier le cas où $p=3n+2$. (0,25 pt)

4. Montrer que $$u_{n+1}-\sqrt{2}=\frac{(u_n-\sqrt{2})^2}{2u_n}$$ et en déduire que $$u_{n+1}-\sqrt{2}\le \frac{(u_n-\sqrt{2})^2}{2\sqrt{2}}.$$ (1,5 pt)
5. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $$u_n-\sqrt{2}\le \frac{(u_0-\sqrt{2})^{2^n}}{(2\sqrt{2})^{2^n-1}}.$$ (1 pt)

Compétences à évaluer :

Résoudre une situation problème à l’aide du langage mathématique dans les situations de vie où interviennent les pourcentages, les suites numériques et les équations du 2^nd degré.

Situation :

Monsieur Nganou, qui revient d’Europe avec une certaine somme d’argent, se rend directement dans une banque pour faire un placement de 100 000 euros. La banque lui propose deux formules à intérêts composés :

• Soit 10 % d’intérêts annuels et une prime mensuelle de 100 euros.
• Soit 15 % d’intérêts annuels et une prime mensuelle de 1 euro.

Face au reste d’argent qu’il a sur lui, il décide de faire quelques donations. Il remet à sa maman la moitié de ce qu’il possède, puis il donne la moitié de ce qui reste plus 100 euros. Enfin, il donne à sa tante la moitié de ce qui reste après sa maman plus 100 euros. Il lui reste alors la somme de 100 euros pour son lunch.

Chez ses parents, Monsieur Nganou observe attentivement un petit enfant en train de jouer avec des billes. Il les place afin de former un triangle équilatéral : il obtient d’abord un triangle réduit à une seule bille (le premier), puis un triangle comportant trois billes (le deuxième), six billes (le troisième), ensuite dix billes (le quatrième).

Tâches :

1. Quelle est la meilleure formule pour Monsieur Nganou dans cette banque ? Justifier votre réponse. (1,5 pt)
2. Quelle somme d’argent avait Monsieur Nganou en arrivant au pays ? (1,5 pt)
3. Combien de billes comportera le 100^ème triangle ? (1,5 pt)

Exercice 1 (06,5 points)

1. On se propose de résoudre l’équation $(E)$ : $$2z^4-9z^3+14z^2-9z+2=0.$$
   1. Vérifier que $0$ n’est pas solution de $(E)$. (0,25 pt)
   2. On désigne par $(E_1)$ l’équation $$z^2\left(z+\frac{1}{z}\right)^2-9\left(z+\frac{1}{z}\right)+14=0.$$
      1. Montrer que $(E)$ et $(E_1)$ sont équivalentes. (1 pt)
      2. On pose $u=z+\dfrac{1}{z}$. Montrer que $(E_1)$ est équivalente à $(E_2)$ : $$2u^2-9u+10=0.$$ (1 pt)
   3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E_2)$ et en déduire les solutions de $(E)$ dans $\mathbb{C}$. (1 pt)
2. On considère dans $\mathbb{C}$ l’équation $$(E):\ z^5+az^4+bz^3+az+1=0,$$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
   1. Démontrer que si $z_0$ est une solution de $(E)$, alors $\overline{z_0}$ et $\dfrac{1}{z_0}$ sont également des solutions de $(E)$. (1 pt)
   2. Déterminer $a$ et $b$ sachant que $1+i$ est une solution de $(E)$. (1 pt)
   3. En déduire trois autres solutions de $(E)$. (0,75 pt)
   4. Achever la résolution de l’équation $(E)$. (0,5 pt)

Exercice 2 (06,5 points)

1. On considère dans $\mathbb{C}$ le polynôme $P$ défini par : $$P(z)=z^3+z^2-(1-i)z+2+2i.$$
   1. Démontrer que $P$ admet une racine réelle $\alpha$ que l’on déterminera. (0,75 pt)
   2. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que : $$P(z)=(z-\alpha)(z^2+az+b).$$ (0,75 pt)
   3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $P(z)=0$. (0,75 pt)
2. On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{u},\vec{v})$ les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives $$z_A=-2,\quad z_B=i,\quad z_C=1-i.$$
   1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan. (0,75 pt)
   2. Déterminer le module et un argument du complexe $$Z=\frac{z_B-z_A}{z_B-z_C}.$$ (1 pt)
   3. En déduire la nature du triangle $ABC$. (0,5 pt)
3. Déterminer la forme complexe des transformations suivantes :
   1. Translation de vecteur d’affixe $2+3i$. (0,5 pt)
   2. Rotation de centre $\Omega$ d’affixe $-i$ et d’angle $\dfrac{3\pi}{4}$. (0,5 pt)
   3. Homothétie de centre $\Omega$ d’affixe $-1+i$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$. (0,5 pt)
   4. Similitude directe de centre $\Omega$ d’affixe $-2$, de rapport $2$ et d’angle $\dfrac{2\pi}{3}$. (0,5 pt)

Problème (07 points)

Les Partie A, B et C sont dépendantes

Partie A (02,5 points)

On considère la fonction polynôme $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$g(x)=2x^3-3x^2-1.$$

1. Étudier les variations de $g$ et dresser son tableau de variation. (0,75 pt)
2. 1. Démontrer que l’équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ et que $\alpha\in]1;2[$. (0,5 pt)
   2. Donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-1}$. (0,25 pt)
3. Préciser le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$. (0,5 pt)

Partie B (02,75 points)

Soit $f$ la fonction définie sur $]-1;+\infty[$ par $$f(x)=\frac{1-x}{1+x^3}.$$ On définit par $C_f$ la courbe de $f$ dans un repère orthonormé (on prendra comme unité $4\text{ cm}$ sur les axes).

1. Calculer les limites de $f$ en $-1$ et en $+\infty$. (0,5 pt)
2. Montrer que $f$ est dérivable. (0,25 pt)
3. 1. Montrer que pour tout $x\in]-1;+\infty[$, $$f'(x)=\frac{g(x)}{(1+x^3)^2}.$$ (0,5 pt)
   2. Dresser le tableau de variation de $f$. (0,5 pt)
4. Montrer que $f$ réalise une bijection de $]-1;\alpha[$ vers un intervalle à préciser. (0,5 pt)
5. Écrire une équation de la droite $(\Delta)$ tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $0$. (0,5 pt)

Partie C (02 points)

Soit $h$ la fonction définie par $$h(x)=f(x)+x-1.$$

1. Étudier le signe de $h(x)$ dans l’intervalle $]-1;+\infty[$. (0,5 pt)
2. En déduire la position de la courbe $C_f$ par rapport à la droite $(\Delta)$. (0,5 pt)
3. Tracer $C_f$ et $(\Delta)$ dans le repère défini plus haut. (1 pt)

Exercice 1 : Principe de raisonnement par récurrence (5 pts)

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n\ge 4$ : $$n!\ge 2^n.$$ (2 pts)
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n\ge 1$ : $$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}.$$ (1,5 pt)
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n\ge 1$ : $$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}.$$ (1,5 pt)

Exercice 2 : Systèmes d’équations (5 pts)

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système suivant : $$\begin{cases} x+y=m\\ x-my=-m^2 \end{cases}$$ (1,5 pt)
2. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système suivant : $$\begin{cases} x-y-z=600\\ -x+3y-z=1200\\ -x-y+7z=2400 \end{cases}$$ (1,5 pt)
3. Trois personnes jouent ensemble. Elles conviennent que chaque partie, le perdant double l’avoir de chacun des deux autres joueurs. Après trois parties où chacun a perdu une fois, chaque joueur a un avoir final de $2400$ FCFA. Déterminer la mise initiale de chacun des trois joueurs. (2 pts)

Exercice 3 : Suites numériques (6 pts)

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $$u_0=3 \quad \text{et} \quad u_{n+1}=\frac{1}{1+u_n}\quad \forall n\in\mathbb{N}.$$

1. Calculer $u_1$ et $u_2$. La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ou géométrique ? (1 pt)
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $$0\le u_n\le \frac{3}{4}.$$ (1,5 pt)
3. On considère la suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $$v_n=\frac{u_n-1}{u_n+2}.$$
   1. Calculer $v_0$ et $v_1$. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. (1,5 pt)
   2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. (0,75 pt)
   3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. Que vaut $u_{10}$ ? (1,25 pt)

Exercice 4 : Nombres complexes et barycentre (5 pts)

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct. $A$, $B$ et $C$ sont les points d’affixes respectives : $$z_A=-2\sqrt{3},\quad z_B=\sqrt{3}-3i,\quad z_C=2i.$$

1. Calculer le module et un argument de $z_B$, puis écrire sa forme exponentielle. (0,75 pt)
2. Placer $A$, $B$ et $C$ dans le repère d’axes. (0,75 pt)
3. On considère le barycentre $P$ du système $\{(A;1),(C;3)\}$ et le barycentre $F$ du système $\{(A;2),(B;1)\}$.
   1. Établir que l’affixe du point $E$ est égale à $-\sqrt{3}+\dfrac{3}{2}i$. (0,5 pt)
   2. Déterminer l’affixe du point $F$. (0,5 pt)
4. Démontrer que le quotient $$\frac{z_B-z_C}{z_C-z_A}$$ peut s’écrire $ik$ où $k$ est un nombre réel à déterminer. En déduire la nature du triangle $ABC$. (0,75 pt)
5. On désigne par $H$ le barycentre du système $\{(A;2),(B;1),(C;5)\}$. Démontrer que le point $H$ est le point d’intersection des droites $(BE)$ et $(CF)$. (0,75 pt)