BAC D 2021 en maths

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L’épreuve de mathématiques du BACCALAURÉAT D 2021

Partie A : ÉVALUATION DES RESSOURCES13,25 points

Cette partie est constituée de trois exercices indépendants numérotés de $1$ à $3$.

Exercice 1 :

4 points

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par: $f(x)=36x^2-2x^3$.

1. Montrer que $f$ est une solution sur $\mathbb{R}$ de l’équation différentielle $(E)$ : $36y »+6y’+y=2592-2x^3$. 1 pt

2. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0,18]$ et déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $f$ atteint son maximum sur cet intervalle. 1,5 pt

3. Une région reçoit $36$ doses de vaccin à la COVID-19 dont $n$ doses proviennent d’une firme $A$, $n$ doses proviennent d’une firme $B$ et le reste d’une firme $C$ (avec $1\le n\le 17$). On tire au hasard et simultanément $3$ doses de vaccin du lot.

a) Démontrer que le nombre de tirages donnant une dose de chaque firme est $f(n)$. 0,5 pt

b) Soit $P(n)$ la probabilité de tirer une dose de chaque firme. Exprimer $P(n)$ à l’aide de $f(n)$ et en déduire la valeur de $n$ pour laquelle $P(n)$ est maximale. 1 pt

Exercice 2 :

5 points

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,I,J)$.

On considère dans $\mathbb{C}$ l’équation : $(E):\ z^3-(6+i\sqrt{3})z^2+(11+4i\sqrt{3})z-6-3i\sqrt{3}=0$.

1. Montrer que l’équation $(E)\Leftrightarrow (z^2-4z+3)(z-2-i\sqrt{3})=0$. 0,5 pt

2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $(E)$. 0,75 pt

3. On considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d’affixes respectives $3$, $2+i\sqrt{3}$, $7$ et $11+4i\sqrt{3}$.

a) Démontrer que le triangle $IAB$ est équilatéral. 0,5 pt

b) Soit $r$ la rotation de centre le point $F$ et d’angle $\dfrac{\pi}{3}$ ; d’écriture complexe : $z’=\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)z+\dfrac{3}{2}+2\sqrt{3}+\left(2-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)i$.

Trouver l’affixe du point $F$ et montrer que $r(C)=D$, en déduire alors que le triangle $DFC$ est équilatéral. 1,5 pt

c) Donner l’écriture complexe de l’homothétie $h$ qui transforme $I$ en $D$ et $B$ en $C$. 1 pt

d) Déterminer l’expression complexe de la transformation $S=hor$. 0,75 pt

Exercice 3 :

4,25 points

On définit les fonctions $h$ et $k$ sur $]0,+\infty[$ par : $h(x)=\dfrac{e^{x+1}}{x}$ et $k(x)=-x+x\ln x$.

1. Démontrer que l’équation $k(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[3;4]$. 1 pt

2. Démontrer que $k(x)=1$ si et seulement si $h(x)=x$. 0,25 pt

3. Démontrer que pour tout $x$ élément de $[3;4]$, $h(x)$ est aussi un élément de $[3;4]$. 0,5 pt

4. Démontrer que $|h'(x)|\le \dfrac{1}{2}$ pour tout $x$ élément de $[3;4]$. 0,5 pt

5. Soit $U$ la suite définie par : $U_0=3$ et $U_{n+1}=h(U_n)$, $n\in\mathbb{N}$.

a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $U_n\in[3;4]$. 0,5 pt

b) Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $|U_{n+1}-\alpha|\le \dfrac{1}{2}|U_n-\alpha|$. 0,5 pt

c) En déduire que pour tout entier naturel $n$, $|U_n-\alpha|\le \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$. 0,5 pt

d) Démontrer que la suite $U$ est convergente et déterminer sa limite. 0,5 pt

Partie B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES6,75 points

Situation:

Contexte général

Une réserve naturelle contient essentiellement trois espèces de singes: des macaques ; des orang-outans et des chimpanzés.

Modélisation et limites de la réserve

Les relevés topographiques de cette réserve naturelle simulés dans un laboratoire montrent que celle-ci est limitée dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ à l’échelle $1$ cm pour $4$ km, par la courbe $(C)$ d’équation $y=x^3-3x^2+4$, la droite $(OI)$ et les droites $(D_1)$ et $(D_2)$ d’équations respectives $x=-1$ et $x=2$.

Découpage en sites

Deux routes rectilignes assimilées aux droites $(OJ)$ et $(D)$ d’équation $x=1$ divisent la réserve en trois sites distincts :

Le site $A$ contenant des macaques est délimité par la courbe $(C)$, les droites $(OI)$, $(D_1)$ et $(OJ)$.

Site $B$ contenant des orang-outans est délimité par la courbe $(C)$, les droites $(OI)$, $(OJ)$ et $(D)$.

Le site $C$ contenant des chimpanzés est délimité par la courbe $(C)$, les droites $(OI)$, $(D)$ et $(D_2)$.

Densités de population

La densité de la population de macaques est de $15$ macaques par km$^2$, celle d’orang-outans est de $10$ orang-outans par km$^2$ et celle des chimpanzés est de $12$ chimpanzés par km$^2$.

Vaccinations et volumes

Pour protéger certains animaux de la réserve contre les zoonoses (maladies des bêtes), les chercheurs les vaccinent $3$ fois.

La première vaccination nécessite $1,136$ litre de vaccin. La deuxième nécessite $1,54$ litre.

Doses par animal

Les doses de vaccin (en millilitres) par animal sont données par le tableau suivant :

Données de probabilités

Dans la réserve, $15\%$ de chimpanzés ont une maladie $M_1$.

Parmi les chimpanzés atteints par la maladie $M_1$, $20\%$ ont une maladie $M_2$ et parmi les chimpanzés non atteints par la maladie $M_1$, $4\%$ ont la maladie $M_2$.

On choisit un chimpanzé au hasard pour une étude dans un laboratoire.

Tâches:

1. Déterminer le nombre d’animaux de cette réserve. 2,25 pts

2. Déterminer le volume de vaccin en litres nécessaire pour la $3^{\text{ème}}$ vaccination. 2,25 pts

3. Déterminer la probabilité pour que le chimpanzé choisi soit atteint de la maladie $M_2$. 2,25 pts

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Épreuve de mathématiques — BACCALAURÉAT D 2021

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Conclusion du BACCALAURÉAT D 2021

D’abord, prends le temps de comprendre la situation avant de lancer les calculs. Ensuite, organise tes réponses et vérifie les unités à chaque étape. Puis, Ndolomath t’aide à t’entraîner régulièrement et à consolider tes méthodes. Enfin, le BACCALAURÉAT D 2021 récompense la rigueur, même avec des calculs simples.