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L’épreuve de mathématiques du BACCALAUREAT D 2020
EXERCICE 15 points
1. Déterminer les racines carrées du nombre complexe : $3+4i$. $0{,}5$ pt
2. On considère dans $\mathbb{C}$ l’équation $(E)$ : $Z^3-(5+3i)Z^2+(5+8i)Z-1-5i=0$
a. Montrer que l’équation $(E)$ admet une unique racine réelle $Z_0$ que l’on déterminera. $0{,}5$ pt
b. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $(E)$. $1$ pt
3. Dans le plan affine euclidien, on considère le triangle $ABC$ rectangle et isocèle en $A$ tel que : $AB=AC=a$ (avec $a>0$.)
a. Déterminer et construire le barycentre $G$ des points pondérés $(A,4)$; $(B;-1)$ et $(C;-1)$. $0{,}5$ pt
b. Déterminer l’ensemble $(E_1)$ des points $M$ du plan tels que $4MA^2-MB^2-MC^2=-2a^2$. $1{,}5$ pt
(On ne demande pas la construction de l’ensemble $(E_1)$)
4. Le plan affine est muni d’un repère orthonormé direct $(0,\vec{i},\vec{j})$, on considère les points $A(1;0)$, $B(1;-3)$ et $C(-2;0)$.
a. Déterminer la forme complexe de la similitude directe $S$ de centre $A$, qui transforme $B$ en $C$. $0{,}5$ pt
b. Déduire les éléments caractéristiques de $S$. $0{,}5$ pt
EXERCICE 2 :4 points
I.
Un atelier comporte deux machines $M_1$ et $M_2$ fonctionnant de manière indépendante. Les probabilités de défaillance de chacune de ces machines sont respectivement $0{,}02$ pour $M_1$ et $0{,}03$ pour $M_2$.
On considère les événements suivants :
$A$ : « la machine $M_1$ est défaillante »
$B$ : « la machine $M_2$ est défaillante »
1. Déterminer les probabilités :
a. $P_1$ d’avoir les deux machines défaillantes. $0{,}75$ pt
b. $P_2$ d’avoir une seule machine défaillante. $0{,}75$ pt
II.
L’on a étudié au cours d’un certain nombre d’années le capital de cet atelier en milliards de francs CFA et ses dépenses en publicité en millions. On obtient le tableau ci-dessous :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Capital }(x_i) & 13 & 9 & 10 & 15 & 18 & 11 & 6 \\ \hline \text{Dépenses en publicité }(y_i) & 2{,}5 & 1{,}7 & 1{,}9 & 2{,}8 & 1{,}53 & 2{,}1 & 1{,}1 \\ \hline \end{array}$
a. Représenter le nuage de points associé à cette série dans un repère orthogonal. $1$ pt
b. Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage. $0{,}5$ pt
c. Déterminer la covariance de $x$ et $y$ notée $cov(x,y)$. $1$ pt
PROBLEME :11 points
La partie $C$ est indépendante des autres parties.
Partie A :
$5{,}5$ points
$f$ est une fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par $f(x)=\dfrac{x^2-3x+6}{x-1}$
1. Etudier les variations de $f$ et dresser le tableau de variation. $2$ pts
2. Déterminer les asymptotes de la courbe $(C)$ de $f$.
3. Montrer que le point $I(1;-1)$ de rencontre des asymptotes est centre de symétrie de $(C)$. $1$ pt
4. a. Tracer $(C)$ dans un repère orthonormé $(0,\vec{i},\vec{j})$, (unité sur les axes : $1$ cm). $1$ pt
b. Calculer l’aire du domaine plan limité par $(C)$, les droites d’équations $y=x-2$; $x=-1$ et l’axe des ordonnées. $1$ pt
Partie B :
$2{,}5$ points
$(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite numérique définie par :
$\left\{\begin{array}{l} U_0=10\\ U_{n+1}=f(U_n) \end{array}\right.$
1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $U_n\ge 3$. $1$ pt
2. a. Montrer que la suite $(U_n)$ est décroissante. $0{,}5$ pt
b. $(U_n)$ est elle convergente? Justifier votre réponse. $0{,}25$ pt
3. a. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $f(a)=a$. $0{,}5$ pt
b. Trouver la limite de $(U_n)$ quand $n$ tend vers l’infini. $0{,}5$ pt
Partie C :
$3$ points
On considère l’équation différentielle $(D)$ : $y »+2y’+y=-x-2$
1. Déterminer une fonction affine $g$ solution de $(D)$. $1$ pt
2. Montrer qu’une fonction $h$ deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ est solution de $(D)$ si et seulement si la fonction $h-g$ est solution de l’équation différentielle $(D’)$ : $y »+2y’+y=0$. $0{,}5$ pt
3. Résoudre l’équation différentielle $(D’)$ et en déduire la solution $h$ de $(D)$ vérifiant $ \left\{\begin{array}{l} h(0)=-1\\ h'(0)=-1 \end{array}\right.$ $1{,}5$ pt
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Épreuve de mathématiques — BACCALAUREAT D 2020
Conclusion du BACCALAUREAT D 2020
D’abord, revois calmement les consignes et avance étape par étape, sans te précipiter. Ensuite, garde une méthode claire et vérifie tes calculs, comme à l’examen. Puis, sur Ndolomath, entraîne-toi régulièrement pour gagner en confiance. Enfin, le BACCALAUREAT D 2020 se réussit avec pratique et sérénité, alors reste constant.
