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L’épreuve de mathématiques du BACCALAUREAT D 2019
Exercice 1 : 4 points
Un tireur s’entraine sur une cible circulaire comportant trois zones délimitées par des cercles concentriques de rayons respectifs $10\ \text{cm}$, $20\ \text{cm}$ et $30\ \text{cm}$. On admet que le tireur atteint toujours la cible, et que la probabilité d’atteindre une zone est proportionnelle à son aire.
1. Faire le schéma de la cible à l’échelle $1/10$. 0,5 pt
2. Soit $p_1$ la probabilité d’atteindre la zone de rayon $10\ \text{cm}$; $p_2$ et $p_3$ les probabilités d’atteindre les deux autres zones, avec $p_2 < p_3$.
a) Justifier que $p_1 + p_2 + p_3 = 1$. 0,25 pt
b) Montrer que $p_1 = \dfrac{1}{9}$. 0,75 pt
c) Déterminer les probabilités $p_2$ et $p_3$ d’atteindre les deux autres. 1,5 pt
3. On suppose que le tireur tire cinq fois de suite sur la cible de manière indépendante. Déterminer la probabilité d’atteindre :
a) Trois fois la zone de rayon $10\ \text{cm}$. 0,5 pt
b) Au moins trois fois la zone de rayon $10\ \text{cm}$. 0,5 pt
Exercice 2 : 5 points
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $(O, 𝚤⃗, 𝐽⃗)$ d’unité graphique $1\ \text{cm}$.
1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives $z_A = -11 + 4i$, $z_B = -3 – 4i$ et $z_C = 5 + 4i$. 0,75 pt
2. Calculer le module et un argument de $\dfrac{z_A – z_B}{z_C – z_B}$ et en déduire la nature du triangle $ABC$. 1 pt
3. Soit $E$ l’image du point $C$ par la rotation $r$ de centre $B$ et d’angle $\pi/4$.
Montrer que $z_E = -3 + (8\sqrt{2} – 4)i$. Placer le point $E$ dans le plan. 1 pt
4) Soit $D$ l’image de $E$ par l’homothétie $h$ de centre $B$ et de rapport $\sqrt{2}/2$.
Vérifier que l’affixe de $D$ est égale à $z_B$, puis montrer que $D$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$. Placer le point $D$. 1,25 pt
Déterminer et construire l’ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ du plan tels que $\left\lVert 𝑀𝐴⃗ + 2𝑀𝐵⃗ + 𝑀𝐶⃗ \right\rVert = 16$. 1 pt
Problème : 11 points
Ce problème comporte trois parties indépendantes $A$, $B$ et $C$.
PARTIE A : 2 points
On considère la suite numérique $(U_n)$ définie par :
$\left\{\begin{array}{l} U_0 = 0 \\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N},\ U_{n+1} = -e^{3U_n – 3} \end{array}\right.$
1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : $-1 \le U_n \le 0$. 1 pt
2. En utilisant la calculatrice, donner les valeurs approchées à $10^{-3}$ près par défaut de $U_1$ et $U_2$. 1 pt
PARTIE B : 6 points
Soit $f$ la fonction numérique définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;1[$ par : $f(x) = 1 + x\ln x$. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$ sur $]0;1[$, $(C_f)$ la courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormé $(O, 𝚤⃗, 𝑗⃗)$ et $(T)$ la droite d’équation $y = x$.
1. a) Justifier que la limite de $f$ à droite en $0$ est égale à $1$. 0,25 pt
b) En utilisant le signe de $x\ln x$ sur $]0;1[$, montrer que pour tout $x \in ]0;1[$, on a $f(x) \le 1$. 0,5 pt
2) a) Déterminer $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$. 0,5 pt
b) Vérifier que la droite $(T)$ est tangente à la courbe $(C_f)$ au point d’abscisse $1$. 0,25 pt
3) On note $g$ la fonction numérique définie par $g(x) = 1 + x\ln x – x$.
a) Étudier les variations de $g$ sur $]0;1[$ et dresser le tableau de variation de $g$ sur cet intervalle. 0,75 pt
b) En déduire les positions relatives de la courbe $(C_f)$ et de la droite $(T)$. 0,5 pt
c) Construire $(C_f)$ et $(T)$ dans $(O, 𝚤⃗, 𝑗⃗)$ (unités sur les axes : $2\ \text{cm}$). 0,75 pt
4) Soit le nombre $\alpha$ tel que $0 < \alpha < 1$. On pose $I(\alpha) = \int_{\alpha}^{1} (1 – f(x))\,dx$.
a) À l’aide d’une intégration par parties, montrer que : $I(\alpha) = \dfrac{\alpha^2}{2}\ln \alpha + \dfrac{1}{4} – \dfrac{\alpha^2}{4}$. 0,75 pt
b) Déterminer la limite de $I(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $0$ à droite. 0,5 pt
c) Donner une interprétation graphique de la limite trouvée. 0,5 pt
d) À l’aide des résultats précédents, déterminer l’aire du domaine compris entre la courbe $(C_f)$, la droite $(T)$ et l’axe des ordonnées. 0,75 pt
PARTIE C : 3 points
On considère les équations différentielles suivantes :
$(E) : y’ – 3y = -3x + 1$
$(E’) : y’ – 3y = 0$
1. Déterminer un polynôme $P$ du premier degré, solution de $(E)$. 0,5 pt
2. Montrer qu’une fonction $h$ est solution de $(E)$ si et seulement si $h – P$ est solution de $(E’)$. 1 pt
3. Résoudre $(E’)$ et en déduire les solutions de $(E)$. 1 pt
4. Déterminer la solution de $(E)$ qui prend la valeur $2$ en $1$. 0,5 pt
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Épreuve de mathématiques — BACCALAUREAT D 2019
Conclusion du BACCALAUREAT D 2019
D’abord, relis calmement les consignes et repère les questions faciles. Ensuite, sur Ndolomath, avance étape par étape sans te précipiter. Puis, le BACCALAUREAT D 2019 te montre les chapitres importants à maîtriser. Enfin, garde confiance : avec le BACCALAUREAT D 2019, l’entraînement finit par payer.
