D’abord, le BACCALAUREAT D 2014 se prépare mieux avec Ndolomath et un plan clair. Ensuite, le BACCALAUREAT D 2014 suit des attentes officielles, expliquées par la définition de l’examen. Puis, le BACCALAUREAT D 2014 s’aborde sereinement en lisant chaque consigne et en gérant le temps. Enfin, le BACCALAUREAT D 2014 devient plus simple quand vous identifiez vite méthodes, calculs et étapes.
L’épreuve de mathématiques du BACCALAUREAT D 2014
EXERCICE 15 points
A-
On considère le polynôme $p$ défini par $p(z)=z^3-3z^2-3z+5+20i$, $z$ étant un nombre complexe.
1. Montrer que $1+2i$ est une racine de $p$. 0,5 pt
2. Trouver deux nombres complexes $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, on ait $p(z)=(z-1-2i)(z^2+az+b)$. 0,75 pt
3. En déduire dans l’ensemble des nombres complexes, les solutions de l’équation $p(z)=0$. 0,75 pt
B-
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$; on prendra $1\ \text{cm}$ pour unité graphique.
1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives $a=1+2i$, $b=-2-i$, et $c=4-i$ dans le repère $(O,\vec{u},\vec{v})$. 0,75 pt
2. Soit $D$ le point d’affixe $2+3i$; montrer que $A$, $B$ et $D$ sont alignés. 0,5 pt
(a) Calculer $\dfrac{b-a}{c-a}$, mettre le résultat sous la forme algébrique puis sous la forme trigonométrique. 1 pt
(b) En déduire la nature exacte du triangle $ABC$. 0,75 pt
EXERCICE 24 points
Une entreprise achète, utilise et revend des machines après un certain nombre $x_i$ d’années. Après $6$ années, l’évolution du prix de vente d’une machine en fonction du nombre d’années d’utilisation, se présente comme suit:
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Nombre d’année }x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline \text{Prix }y_i\ \text{en milliers de FCFA} & 150 & 125 & 90 & 75 & 50 & 45\\ \hline \end{array} $
1. Représenter graphiquement le nuage de points de cette série statistique. (On prendra $1\ \text{cm}$ pour une année en abscisse, et $1\ \text{cm}$ pour $20000\ \text{FCFA}$ en ordonnée). 1,5 pt
2. Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ de la série $(x_i,y_i)$ ainsi définie. 0,5 pt
3. En utilisant la méthode des moindres carrés, déterminer une équation cartésienne de la droite de régression de $y$ en $x$ de cette série statistique. 1,5 pt
4. En déduire une estimation du prix de vente d’une machine après $7$ ans d’utilisation. 0,5 pt
PROBLEME11 points
Le problème comporte trois parties $A$, $B$ et $C$ obligatoires.
On considère la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie pour tout $x\ne -2$ par $f(x)=\dfrac{e^x}{x+2}$. On note $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.
Partie A
1. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 1 pt
2. Etudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation. 1 pt
3. Soit $g$ la restriction de $f$ à l’intervalle $I=]-1;+\infty[$; montrer que $g$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ que l’on déterminera. 1 pt
4. Tracer dans le même repère, la courbe $(C)$ représentative de $f$, et la courbe $(C’)$ représentative de $g^{-1}$. 1,5 pt
Partie B
1. Déterminer l’image par $f$ de l’intervalle $[0;1]$. 0,5 pt
2. Calculer $f »(x)$ et vérifier que pour tout $x$ de $[0;1]$, $f »(x)>0$. 0,5 pt
3. En déduire que pour tout $x$ de $[0;1]$, $\dfrac{1}{4}\le f'(x)\le \dfrac{2}{3}$. 1 pt
4. Démontrer que l’équation $f(x)=x$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $[0;1]$ (On ne demande pas de calculer). 0,5 pt
Partie C
On considère la suite $(u_n)$ à termes positifs, définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et pour tout entier naturel non nul $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
1. Montrer par récurrence sur $n$ que la suite $(u_n)$ est croissante et que $u_n\in \left[\dfrac{1}{2};1\right]$; quelle conclusion peut-on en tirer? 1,25 pt
2. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $|u_{n+1}-\alpha|\le \dfrac{2}{3}|u_n-\alpha|$. 1,25 pt
3. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $|u_n-\alpha|\le \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$. 1 pt
4. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. 0,5 pt
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Épreuve de mathématiques — BACCALAUREAT D 2014
Conclusion du BACCALAUREAT D 2014
D’abord, relisez calmement les consignes et repérez les questions faciles pour démarrer sereinement. Ensuite, Ndolomath vous aide à structurer vos révisions et à progresser étape par étape. Puis, le BACCALAUREAT D 2014 récompense la rigueur, même avec des calculs simples. Enfin, gardez confiance : le BACCALAUREAT D 2014 se réussit avec méthode et entraînement régulier.
