D’abord, l’épreuve BACCALAURÉAT D 2003 vous guide pas à pas vers la réussite, sur Ndolomath. Ensuite, le BACCALAURÉAT D 2003 vous aide à réviser sérieusement avec une base claire, via la définition de l’examen. Puis, le BACCALAURÉAT D 2003 vous entraîne avec des questions variées, pour gagner en méthode. Enfin, le BACCALAURÉAT D 2003 vous prépare à gérer le temps et les points.
L’épreuve de mathématiques du BACCALAURÉAT D 2003
Exercice 1 :4,25 points
Dans cet exercice, $z$ désigne un nombre complexe quelconque et $(p)$ le plan complexe muni d’un repère orthonormé $R(o,e_1,e_2)$.
1. a) Développer, réduire et ordonner par rapport aux puissances décroissantes de $z$ l’expression : $(z+2)(z^2-6z+34)$. 1 pt
2) Soit $(E)$ l’équation $z^3-4z^2+22z+68=0$.
a) Démontrer que $(E)$ admet un entier comme solution. 0,75 pt
b) Résoudre $(E)$ dans l’ensemble $C$ des nombres complexes. 1 pt
3. A, B et C désignent trois points de $(p)$ d’affixes respectives $-2,3+5i$ ; $3+5i$ ; $3-5i$. La droite $(BC)$ coupe l’axe des abscisses en $k$.
a) Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? Justifier votre réponse. 0,75 pt
b) $R$ désigne la rotation du plan telle que $R(K)=k$ et $R(B)=A$. Préciser la mesure principale de l’angle de la rotation $R$. 0,75 pt
Exercice 2 :4,75 points
Un restaurant propose à ses clients le tableau suivant appelé menu du jour.
$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{Catégorie} & \text{Description}\\ \hline \text{Entrée} & \text{5 entrées au choix du client, 2 à 600 F chacune et 3 à 1200 F chacune}\\ \hline \text{Plat du jour} & \text{4 « plats du jours » au choix du client ; un à 1500 F, 2 à 2000 F chacun et un à 2500 F}\\ \hline \text{Dessert} & \text{3 dessert au choix du client ; 2 à 500 F et un à 1000 F}\\ \hline \end{array}$
Mme $IKS$ se rend dans ce restaurant et commande un menu en choisissant au hasard une entrée, un « plat du jour » et un dessert. Calculer la probabilité de chacun des évènements $A$, $B$ et $C$ suivants :
a) $A$ « le menu de Mme $IKS$ coûte 3100 F ; 1,25 pt
b) $B$ « le menu de Mme $IKS$ coûte au plus 4000 F ; 1,5 pt
c) $C$ « le menu de Mme $IKS$ coûte au moins 3500 F. 2 pts
Problème :11 points
Dans tout ce problème on note :
$f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $R$ par : $f(x)=(x-2)e^x+x$.
$(C)$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ unité de longueur sur les axes 1 cm ).
$g$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $R$ par : $g(x)=(x-1)e^x+1$.
Partie A :3,25 points
1. Calculer les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$. 0,5 pt
2. calculer le dérivée de $g$ et dresser le tableau de variation de $g$. 1,25 pt
3. En déduire le signe de $g(x)$ sur $R$. 1,5 pt
Partie B :4 points
a) Calculer la limite de $f$ en $-\infty$. 0,25 pt
b) Démontrer que la droite $(D)$ d’équation $y=x$ est asymptote à la courbe $(C)$ en $-\infty$ etudier la position de $(C)$ par rapport à $(D)1$. 0,75 pt
2. a) Calculer la limite de $f$ en $+\infty$. 0,5 pt
3. Calculer la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ du rapport $\dfrac{f(x)}{x}$. Interpréter graphiquement ce résultat. 0,5 pt
Calculer la dérivée de $f$ et en déduire le tableau de variation de $f$. 0,5 pt
4. a) Démontrer que $(C)$ coupe l’axe des abscisses en un unique point d’abscisse $\alpha$. 0,25 pt
b) Calculer les valeurs exactes, puis les troncatures à trois décimales $f(1,8)$ et de $f(1,7)$. 0,5 pt
En déduire une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près par défaut. 0,25 pt
5. Tracer $(C)$. 0,5 pt
Partie C :3,75 points
$t$ Désigne un nombre réel négatif.
1. A l’aide d’une intégration par parties, calculer $\int_{0}^{t}(x-2)e^x\,dx$. 1 pt
2. Calculer en centimètres carrés l’aire $A(t)$ de la partie du plan limitée par les droites d’équations $x=t$ ; $x=0$ ; $y=x$ et la courbe $(C)$. 0,75 pt
3. Calculer la limite en $-\infty$ de $A(t)$. 0,5 pt
4. On considère les équations différentielles suivantes : $(E)$ : $y »-2y’+y=x$ ; $(E’)$ : $y »-2y’+y=0$.
a) Trouver une fonction affine $h$ qui soit solution de $(E)$. 0,5 pt
b) Soit $g$ au moins deux fois dérivable. Démontrer que $g$ est solution de $(E)$ si et seulement si $g-h$ est solution de $(E’)$. 0,5 pt
c) Résoudre $(E’)$. 0,5 pt
d) En déduire les solutions de $(E)$ et vérifier que la fonction $f$ de la partie A est une solution de $(E)$. 0,5 pt
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Épreuve de mathématiques — BACCALAURÉAT D 2003
Conclusion du BACCALAURÉAT D 2003
D’abord, prenez le temps de relire chaque question et de repérer les points importants. Ensuite, organisez vos calculs clairement pour éviter les erreurs de méthode. Puis, entraînez-vous à gérer le temps comme le jour de l’examen. Enfin, sur Ndolomath, vous pouvez consolider vos révisions avec régularité.
