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L’épreuve de mathématiques du BACCALAUREAT D 2000
Exercice 14 points
Dans le plan complexe $(P)$ rapporté au repère orthonormé $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère les points $A$ d’affixe $1$, $B$ d’affixe $z$ et $C$ d’affixe $z^2$.
1. Déterminer $z$ pour que $O$ soit le barycentre des points $A$, $B$ et $C$ affecté des coefficients respectifs $4$ ; $-2$ et $1$. (le point $B$ a une ordonnée strictement positive) 1 pt
2. $z$ ayant la valeur trouvée précédemment, déterminer l’ensemble des points $M$ du plan tels que : $4AM^2 – 2BM^2 + CM^2 = k$; où $k$ est un réel donné (discuter suivant les valeurs de $k$). 1,5 pt
3. On considère $F$ l’application de $(P)$ dans $(P)$ qui à tout point $M$ d’affixe $z = x + iy$ associe le point $M’$ d’affixe $z’ = (1 + i\sqrt{3})z$.
a) Déterminer les images par $F$ des points d’affixe $1$ et $(1 + i\sqrt{3})$. 0,5 pt
b) Quelle est la nature de $F$ ? Donner ses éléments caractéristiques. 1 pt
Exercice 25 points
1. Soit $n$ un entier naturel ; calculer $I=\int_{n}^{n+1} (x+1)e^{-x}\,dx$. 1 pt
2. On appelle $(U_n)$ la suite définie par : $U_n = -(n+3)e^{-n-1} + (n+2)e^{-n}$.
a) Étudier la convergence de $(U_n)$. 0,75 pt
b) On pose : $S_n = U_0 + U_1 + \cdots + U_n$.
• Calculer $S_2$. 0,25 pt
• Exprimer $S_n$ en fonction de $n$. 0,5 pt
• Calculer la limite de $S_n$ quand $n$ tend vers l’infini. 0,5 pt
3. Loïs part du Cameroun avec une somme de 675000 F CFA. Elle doit visiter $n$ pays d’Afrique. Sachant que le taux d’échange est de 15% à chaque frontière et que tous les frais de séjour sont pris en charge par ses amis dans chaque pays,
a) Combien lui reste-t-il au troisième pays ? 0,5 pt
b) Combien de pays doit-elle visiter pour qu’au retour dans son pays il lui reste au moins 200 000 F CFA. 1,5 pt
Problème11 points
A/
Une urne contient $n$ boules noires et une boule blanche indiscernables au toucher. Un jeu consiste à tirer de cette urne une boule, de noter sa couleur et de la remettre dans l’urne. Cette épreuve s’effectue deux fois.
Si après le tirage on obtient deux boules noires, on gagne 1 F ; si après le tirage on obtient deux boules blanches, on gagne 10 F ; si on obtient deux boules de couleurs différentes, on perd 3,5 F. Soit $X$ la variable aléatoire qui au résultat associe le gain.
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 1,5 pt
2. Calculer l’espérance mathématique $E(X)$. 0,5 pt
B/
Soit $f$ la fonction numérique d’une variable réelle définie par : $f(x)=\dfrac{x^2-7x+10}{(x+1)^2}$.
1. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation. 2 pts
2. Tracer soigneusement la courbe représentative $(C)$ de $f$ dans un plan rapporté à un repère orthogonal $(0,\vec{i},\vec{j})$ (unités sur les axes : $\|\vec{i}\|=2\ \text{cm};\ \|\vec{j}\|=1\ \text{cm}$). 2 pts
3. Utiliser la courbe représentative $(C)$ de la fonction $f$ pour donner les valeurs de $n$ pour lesquelles :
a) le jeu de la partie A est équitable ; 0,5 pt
b) le jeu est avantageux. 0,5 pt
4. Soit $F$ la fonction numérique d’une variable réelle définie par : $F(x)=\int_{0}^{x} f(t)\,dt;\ x\ge 0$.
a) Justifier l’existence de $F$. 0,5 pt
b) Démontrer qu’il existe trois nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x$ différent de $-1$, $f(x)=a+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{(x+1)^2}$.
En déduire l’expression de $F(x)$ et calculer $F(0)$. 1,5 pt
c) Calculer l’aire du domaine plan limité par les droites d’équations $x=2$; $x=5$; $y=0$ et $(C)$. 1 pt
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Épreuve de mathématiques — BACCALAUREAT D 2000
Conclusion du BACCALAUREAT D 2000
D’abord, garde le rythme et avance question par question, sans te précipiter. Ensuite, sur Ndolomath, tu peux consolider tes méthodes avec des entraînements réguliers. Puis, l’épreuve BACCALAUREAT D 2000 te rappelle l’importance d’un calcul propre et d’une rédaction claire. Enfin, reste confiant : avec l’épreuve BACCALAUREAT D 2000, tu peux viser une très bonne note.
