Tle C : Bac Blanc en maths

Exercice 1 : (03,5 points)

Arithmétique

1. Soit $E=\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\}$. Déterminer les paires $(a;b)$ d’entiers distincts de $E$ telles que le reste de la division euclidienne de $ab$ par $11$ soit $1$. 0,5pt
2. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $3$.
   1. L’entier $(n-1)!+1$ est-il pair ? 0,5pt
   2. L’entier $(n-1)!+1$ est-il divisible par un entier naturel pair ? 0,5pt
   3. Trouver que l’entier $(15-1)!+1$ n’est pas divisible par $15$. 0,25pt
3. Soit $p$ un entier naturel premier $(p\ge2)$.
   1. Prouver que $p$ admet un diviseur $q$ tel que $1\le q<p$ qui divise $(p-1)!$. 0,5pt
   2. L’entier $q$ divise-t-il $(p-1)!+1$ ? 0,5pt

Exercice 2 : (04,5 points)

Géométrie complexe et suites

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$. On considère l’application $f$ du plan, qui à tout point $M$ d’affixe $z$ associe le point $M'$ d’affixe : $$ z'=\frac12\,iz+\frac12-3i. $$

1. Montrer que $f$ est une similitude directe dont on précisera le centre $\Omega$, le rapport $k$ et l’angle $\theta$. 0,75pt
2. Soit $M_0$ le point d’affixe $z_0=1+4\sqrt3+3i$. Pour tout entier $n$, on pose $M_{n+1}=f(M_n)$.
   1. En utilisant l’affixe, calculer $\Omega M_n$ en fonction de $n$. 0,5pt
   2. Déterminer les coordonnées des points $M_0$, $M_1$, $M_2$, $M_4$ et $M_5$. 0,5pt
3. Calculer $M_1$. 0,25pt
4. Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n=M_nM_{n+1}$. Montrer que $(d_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 0,5pt
5. On pose $$ S_n=d_0+d_1+d_2+\cdots+d_n. $$ Calculer $S_n$ en fonction de $n$ et en déduire la limite de $S_n$ quand $n\to+\infty$. 1pt
6. Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on note $G_n$ l’isobarycentre des points $M_0,M_1,M_2,\ldots,M_n$.
   1. Montrer que pour tout $n>0$, $\Omega G_n\le\dfrac{\Omega M_0}{n+1}$. 0,5pt
   2. En déduire la position limite du point $G_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. 0,5pt

Exercice 3 : (05 points)

Étude de fonction logarithmique

Soit $f$ la fonction définie sur $[1;+\infty[$ par : $$ f(x)=\ln(1+x)-\ln x-\frac1x. $$

1. Étudier les variations de $f$. 0,5pt
2. En déduire que, pour tout entier naturel non nul $n$ : $$ \ln(n+1)-\ln(n)\le\frac1n. $$ 0,75pt
3. Démontrer de même que, pour tout entier naturel non nul $n$ : $$ \ln(n+1)-\ln(n)\ge\frac1{n+1}. $$ 0,75pt

Suite numérique

2. Soit la suite définie pour tout entier naturel non nul par : $$ u_n=\frac11+\frac12+\cdots+\frac1n. $$
   1. Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $$ u_n\ge\ln(n+1). $$ 0,5pt
   2. Étudier la convergence de la suite $(u_n)$. 0,5pt
3. Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel non nul par : $$ v_n=u_n-\ln(n). $$
   1. Étudier le sens de variation de $(v_n)$. 0,5pt
   2. En déduire que la suite $(v_n)$ est convergente. 0,25pt
4. Pour tout entier $n\ge2$, on définit la suite $(w_n)$ par : $$ w_n=\frac{u_n}{\ln(n)}. $$
   1. Montrer que, pour tout entier $n\ge2$, $$ 1\le w_n\le 1+\frac1{\ln(n)}. $$ 0,75pt
   2. Déterminer la limite de la suite $(w_n)$. 0,5pt

Problème : (07,5 points)

On considère dans le plan un carré $ABCD$ de centre $P$ tel que $AB=8$ cm et $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD})=\frac{\pi}{2}$. On note $Q$ le milieu de $[CD]$. La similitude directe $S$ telle que $S(A)=P$ et $S(C)=Q$ a pour objet de définir les éléments géométriques de $S$.

Partie A : (02 points)

1. Dans le plan muni du repère orthonormé $(A;\vec{u};\vec{v})$, les vecteurs unitaires étant respectivement colinéaires et de même sens que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$, l’unité étant le cm. Préciser les affixes des points $A$, $C$, $P$ et $Q$, notées respectivement $a$, $c$, $p$ et $q$. 0,5pt
2. Par $S$, le point $M$ d’affixe $z$ se transforme en $M'$ d’affixe $z'$ tel que : $$ z'=az+\beta $$ où $a$ et $\beta$ sont deux nombres complexes. Déterminer $a$ et $\beta$. 0,5pt
3. Déterminer les éléments géométriques de $S$. 1pt

Partie B : (02,5 points)

1. À partir de la définition de $S$, retrouver son rapport, son angle et son centre $\Omega$. 0,5pt
2. Justifier que $S$ possède un centre et montrer que $\Omega$, $A$, $P$ et $D$ sont cocycliques. En déduire que $\Omega$ appartient au cercle de diamètre $[AP]$. 0,5pt
3. Par un raisonnement similaire, montrer que $\Omega$ appartient au cercle de diamètre $[PC]$. 0,75pt
4. Faire une figure, tracer les deux cercles et préciser la position du point $\Omega$. 0,75pt

Partie C : (03 points)

Soit $G$ la fonction définie par : $$ G(x)=\int_1^x \frac{t^2}{\sqrt{1+t^4}}\,dt $$ et on partage l’intervalle $$ \left[\frac{\sqrt2}{2};2\right] $$ en $10$ intervalles de même amplitude.

1. Montrer que $G$ est continue sur l’intervalle considéré. 0,25pt
2. Montrer que pour tout $x>0$ : $$ \frac{x}{\sqrt{1+16x^2}}\le G(x)\le\frac{x}{\sqrt{1+x^4}}. $$ En déduire $\lim_{x\to+\infty}G(x)$. 0,75pt
3. Justifier que $G$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et déterminer sa dérivée. 0,75pt
4. Dresser le tableau de variation de $G$. 0,5pt
5. Calculer une valeur approchée de $$ G\!\left(\frac{\sqrt2}{2}\right) $$ en utilisant la méthode des rectangles. 0,75pt

Exercice 1 : (04 points)

Suite définie par une intégrale

On pose $$ I_n=\int_1^e \frac{1-x}{x^n}\,dx \quad\text{et}\quad U_n=1+\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\cdots+\frac1{n^2}. $$

1. Déterminer la valeur de $I_1$ et celle de $I_2$. 1pt
2. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on a : $$ I_{n+1}=I_n-\frac1{(n+1)^2}. $$ 0,75pt
3. En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ : $$ I_n=\sqrt{e}-U_n. $$ 0,75pt
4. Établir que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ : $$ 0\le \sqrt{e}-U_n\le \frac1{n^2+n+1}. $$ 0,75pt
5. Déterminer si la suite $(U_n)$ est convergente. Justifier la réponse. 0,5pt
6. Si $(U_n)$ converge, préciser sa limite. 0,25pt

Exercice 2 : (03,5 points)

Probabilités – Tirages successifs

Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches. On tire une boule au hasard de l’urne, on note sa couleur, puis on remet la boule tirée dans l’urne. Les tirages sont indépendants. On note $p_n$ la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des $n-1$ premiers tirages et une boule blanche lors du $n^\text{ième}$ tirage.

1. Calculer les probabilités $p_2$, $p_3$ et $p_4$. 1,5pt
2. On considère les événements suivants :
   • $B_n$ : « on tire une boule blanche lors du $n^\text{ième}$ tirage » ;
   • $U_n$ : « on tire une boule blanche et une seule lors des $n-1$ premiers tirages ».
   1. Calculer la probabilité de l’événement $U_n$. 0,5pt
   2. Exprimer la probabilité de l’événement $U_n$ en fonction de $n$. 0,5pt
   3. En déduire l’expression de $p_n$ en fonction de $n$ et vérifier que : $$ p_n=\frac{n-1}{4}\left(\frac23\right)^n. $$ 0,5pt
3. On pose : $$ S_n=p_1+p_2+\cdots+p_n. $$
   1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n\ge2$ : $$ S_n=1-\left(\frac{n}{2}+1\right)\left(\frac23\right)^n. $$ 0,75pt
   2. Déterminer la limite de la suite $(S_n)$. 0,25pt

Exercice 3 : (03 points)

Algèbre linéaire

Soit $E_2$ le plan vectoriel rapporté à la base $(\vec{i},\vec{j})$. L’endomorphisme $f$ de $E_2$ associe au vecteur $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$ le vecteur : $$ f(\vec{u})=(x+\tfrac12 y)\vec{i}+(-2x-y)\vec{j}. $$

1. Montrer que $f\circ f$ est un endomorphisme nul. En déduire si $f$ est bijective. Justifier la réponse. 0,75pt
2. Déterminer le noyau et l’image de $f$. Comparer $\ker(f)$ et $\operatorname{Im}(f)$. 0,75pt
3. Soit $\vec{u}$ un vecteur non nul du noyau de $f$.
   1. Montrer qu’il existe un vecteur $\vec{v}$ vérifiant $f(\vec{v})=\vec{u}$. 0,5pt
   2. En déduire que $(\vec{u},\vec{v})$ est une base de $E_2$. 0,5pt

Problème : (09,5 points)

Le plan $P$ est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$. On considère l’application $f$ qui, à tout point $M$ d’affixe $z$, associe le point $M'$ d’affixe : $$ z'=\frac12\,i\,z+\frac12. $$

Partie A : (03,5 points)

1. Montrer que $f$ admet deux points invariants. On appellera $A$ le point invariant dont la partie réelle de l’affixe est positive et $B$ l’autre. 1pt
2. Soit $k$ un nombre réel non nul. On considère la fonction $g_k$ définie pour $x\ne0$ par : $$ g_k(x)=\frac12\left(x+\frac{k}{x}\right). $$
   1. Étudier, suivant les valeurs de $k$, le tableau de variation de $g_k$ et donner les différents cas. 1,5pt
   2. En déduire l’image de la droite $(O;\vec{i})$ privée du point $O$ par $f$. 0,5pt
3. On pose $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$. Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$. 0,5pt

Partie B : (04 points)

Soit $\alpha$ un réel non nul. On note $\Delta_\alpha$ la droite d’équation $y=\alpha x$.

1. Soit $H_\alpha$ la courbe d’équation : $$ x^2-\frac{y^2}{1+\alpha^2}=1. $$ Déterminer la nature de $H_\alpha$ et préciser ses éléments remarquables (centre, axes, sommets, asymptotes, foyers). 1,5pt
2. Soit $M$ un point de $H_\alpha$ d’abscisse $x>0$. Montrer que les coordonnées $(x',y')$ du point $M'$ image de $M$ par $f$ vérifient : $$ x'=g_\alpha(x) \quad\text{et}\quad y'=\alpha\,g_\alpha(x), \qquad g_\alpha(x)=\frac1{1+\alpha^2}. $$ 1pt
3. En déduire que l’image de la droite $\Delta_\alpha$, privée du point $O$, par $f$ est $H_\alpha$. 0,75pt
4. Construire $H_\alpha$ pour $\alpha=1$. 0,75pt

Partie C : (02 points)

Dans toute cette partie, $f$ désigne la fonction de la variable réelle $x$ définie sur $]0;+\infty[$ par : $$ f(x)=\ln(1+x)-\ln x. $$ On définit la suite $(U_n)$ par : $$ U_n=\ln(1+n)+\ln(n)-\ln n. $$

1. Calculer les valeurs exactes de $U_1$ et $U_2$. 0,5pt
2. Étudier le sens de variation de la suite $(U_n)$. On pourra utiliser le signe de $f$. 0,5pt
3. Démontrer que pour tout entier $n\ge3$, on a : $$ U_n=\sum_{k=1}^{n-1}\left(\ln(k+1)-\ln k\right)+\frac1n. $$ 0,5pt
4. Pour tout $n\ge3$, il existe $k\in\{1,\ldots,n-1\}$ tel que : $$ \frac1{k+1}\le \ln(k+1)-\ln k \le \frac1k. $$ 0,25pt
5. En déduire que pour tout entier $n\ge3$, $U_n\le1$. 0,25pt
6. Conclure que la suite $(U_n)$ est convergente. 0,25pt

Exercice 1 : (06 points)

Étude de fonction et suites numériques

Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$, définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par : $$ f(x)=\ln(x+1)-\ln x. $$ On désigne par $(U_n)$ et $(V_n)$ les suites numériques de termes généraux respectifs : $$ U_n=1+\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\cdots+\frac1{n^2}, \qquad V_n=\left(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n\right)-\ln n. $$

On pose : $$ I_n=\int_1^n \frac{1-x}{x^2}\,dx. $$

1. Déterminer les valeurs exactes de $I_1$, $I_2$ puis $I_n$. 1pt
2. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ : $$ I_{n+1}=I_n-\frac1{(n+1)^2}. $$ 0,75pt
3. Établir que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ : $$ I_n=\sqrt{e}-U_n. $$ 0,75pt
4. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ : $$ 0\le\sqrt{e}-U_n\le\frac1{n^2+n+1}. $$ 0,75pt
5. Calculer la limite de la suite $(U_n)$ puis déduire sa convergence. 0,5pt
6. Étudier le sens de variation de la suite $(V_n)$. On pourra utiliser le signe de la fonction $f$. 0,5pt
7. Montrer que pour tout $n\ge3$, on a : $$ V_n=\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right) +\frac1n. $$ 0,75pt
8. En déduire que pour tout $k\ge1$ : $$ \frac1{k+1}\le \ln\!\left(1+\frac1k\right)\le\frac1k. $$ 0,25pt
9. Conclure que pour tout $n\ge3$, $0<V_n<1$. 0,25pt
10. Déduire que la suite $(V_n)$ est convergente. 0,25pt

Exercice 2 : (05 points)

Transformations du plan

Dans le plan orienté, on considère un triangle $EFG$ équilatéral de sens indirect et les points $A$, $B$, $C$ milieux respectifs des segments $[FG]$, $[EF]$ et $[EG]$.

1. Montrer qu’il existe une unique similitude directe $S$ qui transforme le point $A$ en $E$ et le point $F$ en $C$. 1pt
2. Déterminer les éléments caractéristiques de $S$ (rotation, centre et angle). 1pt
3. Déterminer $S_{(A,\alpha)}\circ S_{(B,\beta)}$ et $S_{(B,\beta)}\circ S_{(A,\alpha)}$, puis en déduire que $S_{(A,\alpha)}\circ S_{(B,\beta)}$ possède un centre de rotation. 1pt
4. Déterminer la droite $(\Delta)$ telle que $f=S_{(A,\alpha)}\circ S_{(B,\beta)}$. 0,5pt
5. Soit $H$ le point d’intersection des milieux respectifs des segments $[GH]$ et $[GB]$. On pose $g=S_{(A,\alpha)}\circ S_{(B,\beta)}$. Déterminer $g(H)$ et en déduire la nature de $g$. 1pt
6. Soit $h=S_{(A,\alpha)}\circ S_{(B,\beta)}$.
   1. Caractériser $S_{(A,\alpha)}\circ S_{(B,\beta)}$ puis montrer que $h=u\circ g$. 1pt
   2. Déduire que $h$ est une symétrie glissée dont on précisera l’axe et le vecteur. 0,5pt

Transformations du plan

On considère la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$, la symétrie d’axe $(AB)$ et la transformation $f$. Les images par $f$ des points $A$ et $B$ sont respectivement $A'$ et $B'$.

1. Calculer les affixes de $A'$ et $B'$, puis placer les points $A$, $B$, $C$, $A'$ et $B'$ dans le repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$. 0,75pt
2. On rappelle que $f$ est l’écriture complexe d’un antidéplacement et s’écrit sous la forme : $$ z'=az+b \quad\text{ou}\quad z'=a\overline{z}+b. $$
   1. Justifier que $f$ est un antidéplacement associé au point $M(z)$. 0,25pt
   2. Déterminer les nombres complexes $a$ et $b$. 0,5pt
   3. Déterminer l’ensemble des points invariants par $f$. 0,5pt
3. La transformation $f$ est-elle une symétrie orthogonale ?
   1. Soit $D$ la droite $(3+6i)$, $(A)$ la médiatrice de $[BD]$ et la symétrie d’axe $(A)$. Montrer que $(AB)$ et $(A)$ sont parallèles, puis déterminer $s\circ f$. 0,5pt
   2. Déterminer l’expression de $f$ en fonction de $s$. On note $\vec{u}$ le vecteur $\overrightarrow{DC}$, puis écrire $f=t_{\vec{u}}\circ s$. 0,75pt
4. On considère l’application $g$ qui, à tout point $M$ d’affixe $z=x+iy$, associe le point $M'$ d’affixe : $$ z'=x'+iy' \quad\text{tels que}\quad \begin{cases} x'=-\dfrac{x}{2}+y\\[4pt] y'=\dfrac{x}{2}+y \end{cases} $$
   1. Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$. 0,25pt
   2. Pour $n$ entier naturel strictement différent de $1$, supposer $M(z)$ un point du cercle $(C)$ de centre $O$ et de rayon $R$. Montrer que le point $M'$ appartient au cercle $(C')$. 0,5pt
   3. Déduire des relations précédentes les expressions de $x'$ et $y'$ en fonction de $R$ et de $\theta$. 0,5pt
   4. Écrire une relation indépendante de $x$ et $y$ reliant $x'$ et $y'$. 0,25pt
   5. En déduire que l’image $(C')$ du cercle $(C)$ est une conique dont on précisera la nature. 0,5pt

Partie B : (08,5 points)

Soit $E=\mathbb{R}_+^*$. Les fonctions $f$ et $g$ sont définies sur $E$ par : $$ f(x)=x^{1/2}, \qquad g(x)=x-\ln x. $$ On désigne par $(C_f)$ et $(C_g)$ leurs courbes représentatives dans le repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$. Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs tels que $a+b=1$.

1. Montrer que pour tout $x>0$, $f$ est solution de l’équation différentielle : $$ (E):\ y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}. $$ 0,5pt
2. 1. Déterminer les coordonnées du point $M_a$ de $(C_f)$ en lequel la tangente est parallèle à l’axe des abscisses. 0,5pt
   2. En déduire l’ensemble $(S)$ des points $M_a$ lorsque $a$ décrit $\mathbb{R}^*\setminus\{1\}$. 0,5pt
3. Construire $(S)$. 0,5pt
4. On note $(D)$ la courbe d’équation $y=x$. Soit $a>0$. Déterminer la surface bornée par les droites $(D)$, $(O\vec{i})$ et l’ensemble $(S)$. 1pt
5. Démontrer que pour tout $a,b\in\mathbb{R}_+^*$, on a : $$ a\le b \iff \frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}\ge ab. $$ 0,75pt
6. En déduire que pour $a,b\in\mathbb{R}_+^*$ : $$ a+b\le \frac{a^2+b^2}{2}+\ln\!\left(\frac{a+b}{2}\right) \quad\text{et}\quad e^{\frac{a+b}{2}}\le \frac{a^a b^b}{(a+b)^{a+b}}. $$ 1pt
7. Montrer que pour $a,b\in\mathbb{R}_+^*$ : $$ a+b\le \frac{a^2+b^2}{2} \quad\text{et}\quad \ln\!\left(\frac{a+b}{2}\right)\le 0. $$ 0,75pt
8. En déduire que, pour tout $a,b\in\mathbb{R}_+^*$ : $$ a+b\le \frac{a^2+b^2}{2} \quad\text{et}\quad e^{\frac{a+b}{2}}\le e. $$ 0,75pt
9. Soit $(A)$ la courbe représentative du logarithme népérien et $A,B$ les points d’intersection respectifs de $(C_f)$ et $(C_g)$ avec l’axe des abscisses. Calculer les abscisses de $A$ et $B$ puis interpréter graphiquement les inégalités précédentes en considérant $$ K=\operatorname{bar}\big((A,1),(B,1)\big). $$ 1,25pt

Exercice 1 : (7,5 points)

Transformations du plan et coniques

Le plan est rapporté au repère orthonormé $(O;\vec{u};\vec{v})$. On considère la transformation $\psi$ du plan qui, au point $M(x,y)$, associe le point $M'(x',y')$ tel que : $$ \begin{cases} x'=\dfrac13(-5x+12y-24)\\[4pt] y'=\dfrac13(12x+5y+16) \end{cases} $$

On considère la droite $(\Delta):\ 2x-3y+2=0$ et les coniques suivantes : $$ (H):\ 9x^2-36x-4y^2=0,\qquad (E):\ 9x^2-36x+4y^2=0, $$ $$ (T):\ 4y^2=\lvert 9x^2-36x\rvert. $$

1. Déterminer l’ensemble $(\Omega)$ des points $M$ du plan invariants par $\psi$. 0,5pt
2. Soit $M$ un point du plan n’appartenant pas à $(\Omega)$.
   1. Montrer que la droite $(MM')$ est perpendiculaire à $(\Omega)$. 0,5pt
   2. Montrer que le milieu $K$ du segment $[MM']$ appartient à $(\Omega)$. 0,5pt
3. En déduire la nature de la transformation $\psi$. 0,5pt
4. Déterminer l’ensemble $(\Omega_1)$ des points $M$ du plan pour lesquels $\psi(M)$ est un point de l’axe des abscisses. 0,5pt
5. Déterminer les points de $(\Omega_1)$ dont les coordonnées sont des entiers. 0,5pt
6. Déterminer l’ensemble $(\Omega_2)$ des points $M(x,2)$ pour lesquels $\psi(M)$ a des coordonnées entières. 0,5pt
7. Donner une équation de l’image de la droite $(\Delta)$ par $\psi$. 0,5pt
8. Déterminer les équations réduites des courbes $(H)$ et $(E)$. 0,5pt
9. En déduire la nature de chacune des courbes $(H)$ et $(E)$. 0,5pt
10. Préciser pour chacune des courbes $(H)$ et $(E)$ : l’axe focal, les sommets, les asymptotes et l’excentricité. 1pt
11. Montrer que $(T)$ est la réunion de deux coniques, puis tracer $(T)$. 1,5pt

Exercice 2 : (5 points)

Géométrie de l’espace

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$, on considère le plan $(\mathcal{P})$ d’équation cartésienne : $$ 2x-y-z-3=0. $$ On note $S$ la réflexion par rapport au plan $(\mathcal{P})$. La droite $(\mathcal{D})$ passe par le point $A(1;2;3)$ et a pour vecteur directeur $-2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$. Dans l’ensemble des vecteurs de l’espace, on considère l’endomorphisme $\varphi$ défini par : $$ \varphi(\vec{i})=\vec{i}-\vec{k},\quad \varphi(\vec{j})=\vec{j}. $$

1. Montrer que la droite $(\mathcal{D})$ et le plan $(\mathcal{P})$ sont perpendiculaires. 0,5pt
2. Donner l’expression analytique de la réflexion $S$. 1pt
3. En déduire les coordonnées du point $H$, intersection de $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{D})$. 0,5pt
4. Déterminer par son équation cartésienne l’ensemble $(\Gamma)$ des points de l’espace tels que : $$ \frac{MA}{MH}=\sqrt3. $$ 1pt
5. Déterminer la nature de $(\Gamma)$ et préciser ses éléments caractéristiques. 0,75pt
6. Déterminer le noyau $\ker(\varphi)$ et l’image $\operatorname{Im}(\varphi)$ de $\varphi$. On donnera une base de chacun. 1,25pt
7. Montrer que tout vecteur de l’espace se décompose de manière unique comme somme d’un vecteur de $\ker(\varphi)$ et d’un vecteur de $\operatorname{Im}(\varphi)$. 0,5pt

Exercice 3 : (4 points)

Probabilités – Urnes

On dispose de deux urnes identiques $U_1$ et $U_2$ contenant des boules indiscernables au toucher. L’urne $U_1$ contient $3$ boules blanches et $n$ boules noires, où $n$ est un entier naturel non nul. L’urne $U_2$ contient deux boules noires, une boule blanche et une boule rouge.

Une épreuve consiste à tirer au hasard une boule dans l’urne $U_1$, la mettre dans l’urne $U_2$, puis tirer une boule dans l’urne $U_2$.

On note :

• $N_1$ : « tirer une boule blanche dans l’urne $U_1$ » ;
• $N_2$ : « tirer une boule noire dans l’urne $U_2$ » ;
• $R_2$ : « tirer une boule rouge dans l’urne $U_2$ ».

1. Construire un arbre pondéré représentant cette épreuve. 0,75pt
2. Déterminer la probabilité de l’événement $N_2$. 0,75pt
3. On joue $500$ fois à cette épreuve.

   Si à la fin de l’épreuve le joueur tire une boule blanche dans l’urne $U_2$, il reçoit $3000$ F. Si la boule tirée est noire, il reçoit $500$ F. On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur.

   1. Donner la loi de probabilité de $X$. 1pt
   2. Ce jeu est-il équitable ? Justifier. 0,75pt
4. Dans cette question, $n=6$. Le joueur participe à plusieurs parties indépendantes. Déterminer le nombre minimal de parties pour que la probabilité de réaliser au moins une fois l’épreuve $N_2$ soit supérieure ou égale à $0,97$. 0,75pt

Exercice 4 : (3 points)

Équations différentielles

On considère sur $]0;+\infty[$ les équations différentielles : $$ (E):\ xy'-(2x+1)y=8x^2 $$ et $$ (E'):\ y'-2y=8. $$

1. Montrer que si $y$ est une solution sur $]0;+\infty[$ de $(E)$, alors la fonction $x\mapsto\dfrac{y(x)}{x}$ est une solution sur $]0;+\infty[$ de $(E')$. 0,5pt
2. Montrer que si $y$ est une solution sur $]0;+\infty[$ de $(E')$, alors la fonction $x\mapsto x\,y(x)$ est une solution sur $]0;+\infty[$ de $(E)$. 0,5pt
3. Déterminer une fonction affine $f$ solution de $(E')$. 0,5pt
4. Résoudre l’équation différentielle $(E')$ et en déduire la résolution sur $]0;+\infty[$ de $(E)$. 1pt
5. Déterminer s’il existe une solution $f$ de $(E)$ sur $]0;+\infty[$ telle que $f(\ln2)=0$. 0,5pt

Exercice 1 : (03,25 points)

Algèbre vectorielle dans l’espace

Dans l’ensemble $W$ des vecteurs de l’espace, on définit l’endomorphisme $\varphi$ par : $$ \varphi(\vec{i})=\vec{i}+\vec{k},\quad \varphi(\vec{j})=\vec{j}-\vec{k}. $$

1. Donner la matrice de $\varphi$ dans la base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. 0,25pt
2. Déterminer le noyau $\ker(\varphi)$ et l’image $\operatorname{Im}(\varphi)$ de $\varphi$. Donner une base de chacun. 0,5pt
3. Montrer que $(\vec{a},\vec{b},\vec{k})$ est une base de $W$ avec $\vec{a}=\vec{j}-\vec{k}$ et $\vec{b}=\vec{j}+\vec{k}$. 0,5pt
4. Donner la matrice $M(\varphi)$ dans la base $(\vec{a},\vec{b},\vec{k})$. 0,5pt
5. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $\varphi^n$ en fonction de $n$. 0,5pt

$PQR$ est un triangle rectangle en $P$ tel que $PQ=3k$ et $PR=2k$ avec $k>0$.

6. Déterminer l’ensemble des points $M$ de l’espace tels que : $$ - PM^2+4QM^2+3RM^2=39k^2. $$ 0,75pt
7. $A$, $B$ et $C$ sont des points distincts de l’espace. Déterminer l’ensemble des points $M$ de l’espace tels que : $$ \overrightarrow{AM}\wedge\overrightarrow{BM} =2\,\overrightarrow{AM}\wedge\overrightarrow{CM}. $$ 0,5pt

Exercice 2 : (03,25 points)

Transformations du plan

$ABCD$ est un carré de sens direct et de centre $K$. Soit $P$ un point de la droite $(BC)$, distinct de $B$. Les droites $(AP)$ et $(CD)$ se coupent en $E$. La perpendiculaire à $(AP)$ passant par $A$ coupe $(BC)$ en $R$ et $(CD)$ en $T$.

1. Soit $r$ la rotation de centre $A$ et d’angle $\dfrac{\pi}{2}$.
   1. Déterminer l’image de la droite $(BC)$ par $r$. 0,5pt
   2. En déduire les images des points $E$ et $R$ par $r$. 0,5pt
2. Soit $s$ la similitude directe de centre $A$, de rapport $\dfrac{\sqrt2}{2}$ et d’angle $\dfrac{\pi}{4}$.
   1. On désigne par $M$ le milieu du segment $[RE]$ et par $N$ le milieu du segment $[PT]$. Déterminer, en le justifiant, les images de $M$ et $N$ par $s$. 0,75pt
   2. Déterminer le lieu géométrique du point $N$ lorsque $P$ décrit la droite $(BC)$ privée de $B$. 0,5pt
3. En déduire que les points $M$, $B$, $K$, $D$ et $N$ sont alignés. 0,5pt

Exercice 3 : (03,5 points)

Géométrie plane et suites numériques

$(C)$ est un cercle de centre $A$ et de rayon $r$. Soit $M$ un point de $(C)$ et $P$ le symétrique de $M$ par rapport à $O$. La parallèle à $(OA)$ passant par $M$ coupe la droite $(AP)$ en $N$.

1. Déterminer le lieu géométrique du point $N$ lorsque $M$ décrit $(C)$. 1pt

On donne l’équation : $$ (E):\ 5x-y=-3. $$

2. Résoudre $(E)$. 0,5pt
3. Soient les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ définies sur $\mathbb{N}$ par : $$ x_0=1,\quad x_{n+1}=4x_n+2, $$ $$ y_0=8,\quad y_{n+1}=4y_n+1. $$
   1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, le couple $(x_n,y_n)$ est solution de $(E)$. 0,5pt
   2. En déduire que $x_n$ et $y_n$ ne sont pas divisibles par $3$ et sont premiers entre eux. 0,5pt
   3. On pose $u_n=x_n+a$ et $v_n=y_n+b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
      1. Trouver les valeurs de $a$ et $b$ pour que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ soient géométriques. 0,5pt
      2. Exprimer $x_n$ et $y_n$ en fonction de $n$ puis étudier la convergence de chacune des suites. 0,5pt

Problème : (10 points)

Le problème comporte trois parties $A$, $B$ et $C$. Les parties $B$ et $C$ sont liées.

Partie A

Soit $z$ un nombre complexe non nul de module $r$ et d’argument $\theta\in]-\pi;\pi]$.

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation : $$ (E):\ z^2+a(1+i)z+ia^2=0. $$ 0,75pt
2. Mettre les solutions sous forme trigonométrique. 0,5pt
3. Déterminer $a$ pour que les solutions de $(E)$ soient conjuguées. 0,75pt

Partie B : (3 points)

Soit la fonction $f$ définie sur $K=]-1;+\infty[$ par : $$ f(x)=\frac{e^x}{1+x}. $$ On note $(C)$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ d’unité graphique $4$ cm.

1. Étudier les variations de $f$ et déterminer ses limites aux bornes de $K$. 0,75pt
2. En déduire que $(C)$ admet une asymptote $(\Delta)$, que l’on précisera. 0,25pt
3. 1. Écrire une équation de la tangente $(T_a)$ à $(C)$ en un point $M_a$ de $(C)$ d’abscisse $a$. 0,5pt
   2. Montrer qu’il existe deux valeurs de $a$ pour lesquelles $(T_a)$ passe par l’origine $O$. 0,5pt
4. Tracer la courbe $(C)$, son asymptote $(\Delta)$ et les tangentes trouvées ci-dessus. 0,5pt
5. On pose, pour $x\in K$ : $$ F(x)=\int_0^x f(t)\,dt. $$ La fonction $F$ est-elle monotone ? Est-elle positive ? 0,5pt

Partie C : (5 points)

On pose : $$ J=\int_0^1 \frac{e^t}{1+t}\,dt. $$ L’objectif de cette partie est d’encadrer $J$. On ne cherchera pas à calculer sa valeur exacte.

1. En utilisant l’étude de la fonction $f$ réalisée dans la partie B, montrer que : $$ 1\le J\le \frac e2. $$ 0,5pt
2. On pose, pour tout entier naturel $n$ : $$ U_n=(-1)^n\int_0^1 t^n e^t\,dt. $$
   1. Calculer $U_0$. 0,25pt
   2. Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que : $$ U_{n+1}=(-1)^{n+1}e+(n+1)U_n. $$ 0,5pt
   3. Calculer successivement $U_1$ et $U_2$, puis donner les réponses sous la forme $ae-b$, où $a$ et $b$ sont des entiers naturels. 0,75pt
3. 1. Montrer que : $$ U_0+U_1+\cdots+U_n =\int_0^1 \frac{1-(-t)^{\,n+1}}{1+t}\,e^t\,dt. $$ 0,5pt
   2. En déduire que : $$ J=U_0+U_1+\cdots+U_n+R_n, \quad R_n=(-1)^{n+1}\int_0^1 \frac{t^{\,n+1}e^t}{1+t}\,dt. $$ 0,5pt
4. 1. Prouver que : $$ |R_n|\le \frac e{2(n+2)}. $$ 0,5pt
   2. Trouver le plus petit entier naturel $n$ tel que : $$ \frac e{2(n+2)}<0,05. $$ 0,5pt
5. 1. Calculer $S_6=U_0+U_1+\cdots+U_6$ sous la forme $ae-b$, où $a$ et $b$ sont des entiers naturels. 0,5pt
   2. Montrer que : $$ \frac56-\frac e{16}\le J\le \frac56-\frac e{8}. $$ 0,5pt
   3. En déduire un encadrement de $J$ d’amplitude $0,05$ par deux nombres décimaux. 0,5pt

Exercice 1 : (05,00 points)

Partie I – Géométrie plane

$ABCD$ est un carré de côté $1$. $F$ et $E$ sont tels que $\overrightarrow{AF}=\dfrac12\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}$. On note $G$ le point d’intersection des droites $(AE)$ et $(BF)$.

1. Démontrer que $G$ est le centre du carré $ABCD$. 0,5pt
2. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude qui transforme $A$ en $B$ et $B$ en $C$. 0,5pt
3. Montrer que $A$ est le centre de l’homothétie de rapport $2$ qui transforme $F$ en $C$. 0,5pt
4. Démontrer que le centre $S$ est le point d’intersection des droites $(BE)$ et $(AC)$. 0,5pt
5. Soit $I$ le point d’intersection des droites $(BD)$ et $(BC)$. Soit $H$ le point d’intersection des droites $(AC)$ et $(CF)$. 0,5pt
6. Calculer $(AC)$ et $(CF)$. Montrer que $BFHD$ est un carré. 1pt
7. La plan est muni du repère $(A;\vec{i};\vec{j})$. Déterminer l’écriture complexe de $E$. 0,5pt

Partie II – Probabilités

Sur les faces d’un tétraèdre $PQRS$, on marque respectivement les numéros $4,-1,2,0$. On lance ce tétraèdre.

1. Calculer la probabilité pour que $S(\omega)=2$. 0,5pt
2. Déterminer la probabilité pour que $S(\omega)$ soit un diviseur de $4$. 0,5pt
3. Déterminer la probabilité pour que $S(\omega)$ soit un entier strictement négatif. 0,5pt
4. Montrer que la transformation associée est une translation. 0,5pt

Exercice 2 : (04,50 points)

Géométrie analytique

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$. On désigne par $(P)$ le plan d’équation : $$ 3x+4z-5=0. $$ On désigne par $(D)$ la droite d’équation paramétrique : $$ \begin{cases} x=2+5t\\ y=5-2t\\ z=2t \end{cases} $$ où $t\in\mathbb{R}$.

1. Montrer que les plans $(P)$ et $(Q)$ sont sécants en une droite $(\Delta)$ dont on donnera une représentation paramétrique. 0,75pt
2. Déterminer l’expression analytique de la projection orthogonale du point $M(x,y,z)$ sur le plan $(P)$. 0,75pt
3. On désigne par $(\Gamma)$ l’ensemble des points $M(x,y,z)$ tels que $M'$ soit le projeté orthogonal de $M$ sur $(P)$ et vérifiant : $$ (MM')^2=5. $$ 1pt
4. Montrer que $(\Gamma)$ est l’ensemble des points $M$ tels que : $$ \frac{MM'}{5}=1. $$ 0,75pt
5. En déduire que $(\Gamma)$ est une conique de foyer $O$ dont on précisera l’équation. 0,75pt
6. Préciser l’axe focal et les sommets de $(\Gamma)$. Donner les coordonnées de ces points dans le repère $(O;\vec{i};\vec{j})$. 0,75pt
7. Représenter $(\Gamma)$ dans ce repère. 0,5pt

Problème : (10,50 points)

Partie A

On considère l’espace $E$ rapporté au repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$. On définit l’application $r$ de $E$ dans $E$ qui, à tout point $M(x,y,z)$, associe le point $M'(x',y',z')$ tel que :

$$ \begin{cases} x'=-\dfrac12x-\dfrac12y+z+2\\[4pt] y'=-\dfrac12x+\dfrac12y+z+1\\[4pt] z'=x+y+z-1 \end{cases} $$

1. Déterminer l’ensemble $(P)$ des points invariants par $r$. 0,5pt
2. Montrer que pour tout point $M$ de l’espace, la droite $(MM')$ est parallèle à une droite $(D)$ dont on donnera un vecteur directeur $\vec{u}=2\vec{i}-\vec{j}-\vec{k}$. 0,5pt
3. 1. Vérifier que $(D)$ est orthogonale au plan $(P)$. 0,5pt
   2. Montrer que le milieu $I$ de $[MM']$ appartient à $(P)$. 0,5pt
4. En déduire la nature de $r$. 0,5pt
5. Soit $f$ l’endomorphisme associé à $r$. Déterminer la matrice $M_f$ de $f$ dans la base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, puis calculer $M_f^2$. Pouvez-vous en déduire le résultat ? 1pt

Partie B

On considère sur $]0;+\infty[$ les fonctions $f$ et $g$ définies par :

$$ f(x)=\ln(x+1)-\frac{x}{x+1}, \qquad g(x)=\int_1^x \ln(t+1)\,dt. $$

1. Étudier le sens de variation des fonctions $f$ et $g$. 1pt
2. Calculer : $$ \lim_{x\to+\infty}\ln(x+1)-\ln x. $$ 0,5pt
3. Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $$ 0\le \ln(n+1)-\ln n \le \frac1n. $$ 0,5pt
4. Justifier que la suite $(\ln n)$ est croissante. 0,5pt
5. Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $$ \frac1{n+1}\le \ln(n+1)-\ln n. $$ 0,5pt
6. En déduire la limite de la suite $(\ln n)$. 0,25pt

Partie C

On considère deux droites parallèles $(D_1)$ et $(D_2)$ et un point $A$ situé entre ces deux droites et n’appartenant à aucune d’elles. L’objectif de cet exercice est la construction d’un triangle équilatéral $ABC$ tel que $B$ et $C$ appartiennent respectivement aux droites $(D_1)$ et $(D_2)$, et la calcul de son aire. Pour cela, on considère la rotation $R$ de centre $A$ et d’angle $-\dfrac{\pi}{3}$.

1. Soit $(D)$ l’image de $(D_1)$ par $R$. Montrer que $(D)$ coupe $(D_2)$ en un point $C$ que nous noterons $C_0$. 0,5pt
2. Soit $B=R^{-1}(C_0)$. Montrer que le triangle $ABC$ est équilatéral. 0,5pt
3. Soit $(\Delta)$ la droite orthogonale à $(D_1)$ passant par $A$. Le plan est rapporté au repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ où $(D_1)$ est l’axe des abscisses et $(D_2)$ la droite d’équation $y=d$. Soit $B$ et $C$ les points d’affixes respectives $z_B=x_B$ et $z_C=x_C+iy_C$.
   1. Montrer que : $$ z_C=\frac12z_B+\frac{\sqrt3}{2}i(z_B-z_A). $$ 0,75pt
   2. En déduire que $B$ appartient à $(D_2)$ si et seulement si : $$ z_B=\frac{2}{\sqrt3}(y_C-y_A). $$ 0,5pt
   3. Exprimer $AB^2$ en fonction de $a$ et $b$. 0,5pt
   4. Montrer que l’aire du triangle $ABC$ est : $$ \mathcal{A}=\frac{\sqrt3}{4}(a^2+ab+b^2). $$ 0,75pt

Exercice 1 : (4,5 points)

Transformation du plan

Le plan $(P)$ est muni d’un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$. On considère l’application $f$ du plan dans lui-même qui, à tout point $M(x,y)$, associe le point $M'(x',y')$ tel que :

$$ \begin{cases} 2x' = x - y\sqrt3,\\ 2y' = x\sqrt3 + y. \end{cases} $$

On note $(\Gamma)$ l’ensemble des points $M(x,y)$ du plan tels que :

$$ 31x^2 + 21y^2 + 10xy\sqrt3 + (36\sqrt3-16)x + (16\sqrt3+36)y = 12. $$

1. Déterminer l’écriture complexe de $f$. 0,5pt
2. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de $f$. 0,5pt
3. 1. Déterminer une équation de $(\Gamma)$. 0,5pt
   2. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $(\Gamma)$. 0,5pt
4. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de $(\Gamma')$, image de $(\Gamma)$ par $f$. 0,5pt
5. Construire $(\Gamma)$ et $(\Gamma')$ dans le repère $(O;\vec{i};\vec{j})$. 0,5pt
6. Soit $M$ le point d’affixe $z$.
   1. Montrer que l’ensemble des points $M(z)$ tels que $z+\overline z-6=0$ est une droite $(D)$. 0,25pt
   2. Montrer que la distance du point $M$ à la droite $(D)$ est : $$ \frac{|z+\overline z-6|}{2\sqrt2}. $$ 0,5pt
   3. Montrer que l’ensemble des points $M(z)$ tels que $$ \frac{|z+z'-4|}{|z+2-6|}=\sqrt3 $$ est une conique dont on déterminera la nature, un foyer, une directrice et l’excentricité. 0,75pt

Exercice 2 : (1,5 point)

Arithmétique

1. Déterminer les entiers $x$ et $y$ tels que : $$ 14x-31y=3. $$ 0,75pt
2. En déduire les couples $(x,y)$ d’entiers premiers entre eux solutions de $$ 14x-31y=3. $$ 0,25pt
3. Trois paires $A$, $B$ et $C$ lancent simultanément leurs signaux lumineux respectivement toutes les $25$ secondes, $30$ secondes et $35$ secondes. Un signal simultané se produit à $22$ heures. À quelle heure se produira le premier signal simultané après minuit ? 0,5pt

Exercice 3 : (2,5 points)

Probabilités

Une urne contient trois boules blanches et cinq boules noires. Ces huit boules sont indiscernables au toucher.

1. On effectue quatre tirages successifs d’une boule sans remise.
   1. Calculer la probabilité de tirer, dans l’ordre, une boule noire, une boule noire, une boule noire et une boule blanche. 0,5pt
   2. Calculer la probabilité de tirer une seule boule blanche au cours de ces quatre tirages. 0,5pt
2. On note $P_n$ la probabilité d’obtenir, au cours de $n$ tirages successifs d’une boule avec remise, une boule blanche uniquement au dernier tirage.
   1. Calculer $P_1$, $P_2$, $P_3$ et $P_4$. 0,5pt
   2. Soit $S_n=P_1+P_2+\cdots+P_n$. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$ puis déterminer la limite de $S_n$. 0,5pt

Problème : (11,5 points)

Partie A : Résolution d’équations différentielles

On considère l’équation différentielle : $$ (1)\ :\ y' - 2y = xe^x. $$

1. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l’équation différentielle : $$ (2)\ :\ y' - 2y = 0. $$ 0,25pt
2. Soient $a$ et $b$ deux réels et $u$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=(ax+b)e^x$.
   1. Déterminer $a$ et $b$ pour que $u$ soit solution de l’équation $(1)$. 0,5pt
   2. Montrer que $u$ est une solution de l’équation $(2)$ si et seulement si $u+v$ est solution de $(1)$. 0,5pt
   3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation $(1)$. 0,5pt
3. Déterminer la solution de l’équation $(1)$ qui passe par l’origine du repère. 0,5pt

Partie B : Étude d’une fonction auxiliaire

Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ g(x)=2e^x-x-2. $$ On pose $h(x)=2(e^x-1)$ et on définit la suite $(u_n)$ par $u_0=2$ et $u_{n+1}=h(u_n)$ pour tout entier $n$.

1. Déterminer la limite de $g$ en $-\infty$ et sa limite en $+\infty$. 0,5pt
2. Étudier les variations de $g$ et dresser son tableau de variations. 0,5pt
3. Justifier que l’équation $g(x)=0$ admet exactement deux solutions réelles dont l’une est $0$. 0,5pt
4. On note $\alpha$ l’autre solution.
   1. Montrer que $g(x)=0$ équivaut à $x=h(x)$. 0,5pt
   2. Montrer que $-1,60<\alpha<-1,59$. 0,5pt
   3. Montrer que $h([-2;-1])\subset[-2;-1]$. 0,5pt
   4. Montrer que pour tout $x\in[-2;-1]$, $|h'(x)|\le0,8$. 0,25pt
   5. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $|u_{n+1}-\alpha|\le0,8|u_n-\alpha|$. 0,25pt
   6. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $|u_n-\alpha|\le(0,8)^n$. 0,25pt
   7. Déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite. 0,25pt
   8. Déterminer un entier $n$ tel que $u_n$ soit une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près. 0,5pt
5. Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. 0,25pt

Partie C : Étude de la fonction principale

Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ f(x)=e^{2x}-(x+1)e^x. $$ On note $(C)$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé d’unité graphique $2$ cm.

1. Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ et la limite de $f$ en $+\infty$. 0,5pt
2. Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ et $g(x)$ ont le même signe. Étudier le sens de variation de $f$. 0,5pt
3. Montrer que : $$ f(\alpha)=\frac{\alpha^2-2\alpha}{e^\alpha}. $$ 0,5pt
4. En déduire un encadrement de $f(\alpha)$. 0,5pt
5. Dresser le tableau des variations de $f$. 0,5pt
6. Étudier les branches infinies de la courbe $(C)$. 0,5pt

Exercice 1 : (3,5 points)

Probabilités – Loi et espérance

Une urne contient deux boules rouges et $m$ boules noires ($m$ est un entier naturel non nul). On effectue des tirages avec remise, chaque boule ayant la même probabilité d’apparition.

1. On tire trois boules successivement avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées.
   1. Donner la loi de probabilité de $X$. 0,75pt
   2. Calculer $E(X)$ et déterminer $m$ pour que $E(X)=1{,}2$. 1pt
2. Dans la suite de l’exercice, on prend $m=3$. On tire maintenant les $5$ boules de l’urne successivement sans remise. On désigne par $Y$ la variable aléatoire égale au rang de la première boule noire.
   1. Donner la loi de probabilité de $Y$. 0,75pt
   2. Calculer l’espérance mathématique et la variance de $Y$. 1pt

Exercice 2 : (4,5 points)

Transformations complexes

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O;\vec{u};\vec{v})$. On considère l’application $f$ qui, à tout point $M$ d’affixe $z$, associe le point $M'$ d’affixe $z'$ tel que :

$$ z'=\frac{3+4i}{5}\,z+\frac{1-2i}{5}. $$

1. On note $x=\Re(z)$ et $y=\Im(z)$. Exprimer les parties réelles et imaginaires de $z'$ et de $z$. Montrer que : $$ x'=\frac{3x-4y+1}{5} \quad\text{et}\quad y'=\frac{4x+3y-2}{5}. $$ 1pt
2. Déterminer l’ensemble des points invariants par $f$. 1pt
3. Préciser la nature de l’application $f$. 0,5pt
4. On cherche à déterminer les points $D$ dont les coordonnées sont entières.
   1. Donner une solution particulière $(x_0,y_0)$ appartenant à $\mathbb{Z}^2$ de l’équation $4x-3y=2{,}05$. 0,5pt
   2. Déterminer l’ensemble des solutions appartenant à $\mathbb{Z}^2$ de l’équation $4x-3y=2$. 0,5pt
5. On considère les points $M$ d’affixe $z=x+iy$ tels que $x$ et $y$ soient entiers. Le point $M'=f(M)$ a pour affixe $z'$. Montrer que $\Re(z')$ et $\Im(z')$ sont entiers. 1pt

Exercice 3 : (2 points)

Géométrie analytique

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;I;J)$. Soit $(C)$ l’ensemble des points $M(x,y)$ du plan tels que :

$$ x^2+y^2+2x-4y=0. $$

1. Déterminer l’équation analytique de la projection orthogonale et de la droite $(\Delta)$ d’équation : $$ y=2. $$ 1pt
2. Déterminer la distance d’un point $M$ de $(C)$ à la droite $(\Delta)$. 1pt

Fin exercice précédent

2. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $(C)$. 0,5pt
3. Montrer que l’image $(C')$ de $(C)$ par $f$ est une conique dont on précisera l’équation réduite et l’excentricité. 0,75pt

Problème : (10 points)

Le problème comporte trois parties indépendantes $A$, $B$ et $C$.

Partie A : (4,5 points)

1. Soit $x$ un réel strictement positif. Justifier l’existence de l’intégrale : $$ \int_1^x \frac{\ln t}{1+t^2}\,dt. $$ 0,25pt
2. Soit $F$ l’application définie sur $\mathbb{R}^+$ par : $$ F(x)=\int_1^x \frac{\ln t}{1+t^2}\,dt. $$
   1. Montrer que $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}^+$. 0,5pt
   2. Étudier les variations de $F$ sur $\mathbb{R}^+$. 0,5pt
3. Soit $G:x\mapsto\int_{1/2}^x \frac{\ln t}{1+t^2}\,dt$. Calculer $G'(x)$. 0,75pt
4. Montrer que pour tout $x>0$ : $$ F(x)<\int_1^x \frac{\ln t}{t^2}\,dt. $$ 0,5pt
5. Soit $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par : $$ U_n=\int_1^n \frac{\ln t}{1+t^2}\,dt. $$
   1. Donner le sens de variation de la suite $(U_n)$. 0,5pt
   2. Soit $n\in\mathbb{N}^*$, calculer : $$ \int_1^n \frac{\ln t}{t^2}\,dt. $$ 0,5pt
   3. Montrer que : $$ \forall n\in\mathbb{N}^*,\quad U_n<1+\ln n. $$ 0,5pt
   4. En déduire que la suite $(U_n)$ est convergente et que $\lim U_n\le1$. 0,5pt

Partie B : (3 points)

Soit $E$ le plan vectoriel rapporté à la base $(\vec{i},\vec{j})$. Un endomorphisme $h$ de $E$ est défini par :

$$ h(x\vec{i}+y\vec{j})=(-x-\tfrac12 y)\vec{i}+(2x+y)\vec{j}. $$

1. Montrer que $h\circ h$ est un endomorphisme nul. En déduire que $h$ est un isomorphisme. 0,25pt
2. Déterminer $\ker h$ et $\operatorname{Im}h$. 0,25pt
3. Soit $\vec{u}$ un vecteur non nul de $\ker h$.
   1. Montrer qu’il existe un vecteur $\vec{v}$ de $E$ tel que $h(\vec{v})=\vec{u}$. 0,25pt
   2. Montrer que $(\vec{u},\vec{v})$ est une base de $E$. 0,5pt
   3. Écrire la matrice de $h$ dans la base $(\vec{u},\vec{v})$. 0,5pt

Partie C : (2,5 points)

Soit $ABCDEFGH$ un cube d’arête $1$. On note $R=(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$ un repère orthonormé de l’espace. On désigne par $I$ le milieu de $[EF]$ et par $G$ le centre du carré $ADHE$.

1. Vérifier que $\overrightarrow{IG}\cdot\overrightarrow{IA} =\overrightarrow{IG}\cdot\overrightarrow{IB}$. 0,5pt
2. En déduire l’aire du triangle $BIGA$. 0,5pt
3. Déterminer une équation cartésienne du plan $(IGA)$ dans le repère $R$. 0,5pt
4. Calculer le volume du tétraèdre $ABIG$, puis, de deux manières différentes, calculer la distance du point $B$ au plan $(IGA)$. 1pt