Tle C : 4ème séquence en maths

Exercice 1 : (3 points)

Analyse – Dérivation, bijection et réciproque

Soit $f$ la fonction définie sur $I=\left[-\dfrac{3\pi}{4}\,;\ \dfrac{\pi}{4}\right]$ par $f(x)=\cos x+\sin x$.

1. Justifier que $f$ est dérivable sur $I$, puis montrer que $$ f'(x)=\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right). $$ 0,5pt
2. Montrer que $f$ réalise une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ à déterminer. 0,5pt
3. Soit $f^{-1}$ la bijection réciproque de $f$.
   1. Justifier que $f^{-1}$ est dérivable sur $]-\sqrt{2}\,;\ \sqrt{2}[$. 0,5pt
   2. Montrer que pour tout $x\in J$ : $$ f^{-1}(x)=\frac{\pi}{4}-\cos^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x\right). $$ 0,5pt
   3. Pour tout $x\in J$, calculer $\cos\!\big(f^{-1}(x)\big)$ et $\sin\!\big(f^{-1}(x)\big)$. 0,5pt
   4. Établir que pour tout $x\in]-\sqrt{2}\,;\ \sqrt{2}[$ : $$ \big(f^{-1}\big)'(x)=\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}. $$ 0,5pt

Exercice 2 : (4,5 points)

Arithmétique – Décomposition, diviseurs et parité

Soit $n$ un nombre entier naturel non nul. On note $n=P_0^{\alpha_0}\times P_1^{\alpha_1}\times\cdots\times P_r^{\alpha_r}$ la décomposition en produit de facteurs premiers de $n$ et $d(n)$ le nombre de ses diviseurs positifs.

1. Montrer que $$ d(n)=(\alpha_0+1)(\alpha_1+1)\times\cdots\times(\alpha_r+1). $$ 0,5pt
2. Montrer que $n$ est un carré parfait si et seulement si $d(n)$ est impair. 0,5pt
3. Soient $\alpha$ et $\beta$ deux entiers naturels non nuls et $n$ le nombre tel que $n=2^{\alpha}\times3^{\beta}$. On suppose que le nombre de diviseurs positifs de $n^2$ est le triple du nombre de diviseurs positifs de $n$.
   1. Démontrer que $$ (\alpha-1)(\beta-1)=3. $$ 0,75pt
   2. En déduire les valeurs de $\alpha$, de $\beta$ et $n$. 0,5pt

Algèbre – Application linéaire dans l’espace

On considère deux vecteurs unitaires orthogonaux $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l’espace orienté $E_3$ et l’application $f$ de $E_3$ dans $E_3$ définie par : pour tout $\vec{w}\in E_3$, $$ f(\vec{w})=(\vec{v}\wedge\vec{w})\wedge\vec{u}. $$

4. Montrer que $f$ est une application linéaire. 0,5pt
5. Déterminer $\ker(f)$. 0,75pt
6. On note $\vec{x}=\vec{u}\wedge\vec{v}$. Calculer $f(\vec{u})$, $f(\vec{v})$ et $f(\vec{x})$, puis déduire la matrice de $f$ dans la base $(\vec{u};\vec{v};\vec{x})$. 0,5pt

Exercice 3 : (2,5 points)

Géométrie complexe

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$. On considère le point $A$ d’affixe $1$ et, pour tout réel $\theta\in[0;2\pi[$, le point $M$ d’affixe $z=e^{i\theta}$. On désigne par $P$ le point d’affixe $1+z$ et par $Q$ le point d’affixe $z-e^{i\theta}$.

1. À partir du point $M$, donner une construction géométrique des points $P$ et $Q$. 0,5pt
2. On désigne par $(x;y)$ les coordonnées du point $P$.
   1. Exprimer $x$ et $y$ en fonction de $\theta$. 0,5pt
   2. Justifier que pour tout $\theta\in[0;2\pi[$, $P$ appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 0,75pt
3. $S$ est le point d’affixe $1+z+z^2$. On désigne toujours l’affixe du point $M$ par $z$ et on suppose que $S$ est différent du point $O$.
   1. Démontrer que, quel que soit $\theta\in[0;2\pi[$, le nombre $$ \frac{1+z+z^2}{z} $$ est réel. 0,5pt
   2. En déduire que les points $O$, $S$ et $M$ sont alignés. 0,5pt

Problème : (10 points)

Partie A : (4 points)

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2e^{\,1-x}$ et $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;I;J)$ d’unité graphique $2$ centimètres.

1. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations. 1pt
2. Construire $(C_f)$. 1pt
3. Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l’intégrale $$ I_n=\int_{0}^{1} x^n e^{\,1-x}\,dx. $$
   1. Établir une relation entre $I_n$ et $I_{n-1}$. 0,75pt
   2. Déterminer la valeur de $I_0$ et en déduire $I_1$ et $I_2$. 0,75pt
4. Déterminer l’aire de la partie du plan délimitée par la courbe de $f$, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation $x=1$. 0,75pt

Partie B : (6 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$. On considère les points $A(-1;2;1)$, $B(1;-6;-1)$, $C(2;2;2)$, $D(0;1;-1)$ et $E(-2;0;0)$.

1. Montrer que le point $D$ appartient au plan $(ABC)$. 1pt
2. Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$, puis calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$. 1pt
3. Soient les plans $(P)$ et $(Q)$ d’équations respectives $x+y-3z+2=0$ et $y=0$.
   1. Montrer que les plans $(P)$ et $(Q)$ sont sécants suivant une droite $(\Delta)$ dont on déterminera un vecteur directeur. 1pt
   2. Soit $M(x,y,z)$ un point de $(\Delta)$. On pose $\overrightarrow{EM}=t\vec{u}$ où $t$ est un paramètre réel. 1pt

Exercice 1 : 4,25 points

Primitives, limites et inéquations

1. Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive $F$ de $f$ sur l’intervalle $K$.
   1. $f(x)=2x-\dfrac{4}{x}$,   $K=]0;+\infty[$. 0,5pt
   2. $f(x)=\dfrac{4x^2-5x+3}{x-1}$,   $K=]1;+\infty[$. 0,5pt
   3. $f(x)=\dfrac{2x^2+5x+1}{x^2+1}$,   $K=\mathbb{R}$. 0,75pt
   4. $f(x)=\sin^5 x$,   $K=\mathbb{R}$. 0,5pt
2. Calculer les limites suivantes : $$ \lim_{x\to0^+}\big(x\ln x-\tfrac1x\big),\quad \lim_{x\to1^+}\frac{\ln x}{x-1},\quad \lim_{x\to-1^-}\frac{\ln(x+1)}{x^2-1}, $$ $$ \lim_{x\to-\infty}\ln\!\left(\frac{x+1}{x-1}\right),\quad \lim_{x\to+\infty}\big(x\ln x-x^2\big). $$ 1,25pt
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $$ \ln(x-2)+\ln\!\left(\frac1x\right)-2\ge0. $$ 0,75pt

Exercice 2 : 3,5 points

Trigonométrie

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $$ \cos x-\cos 2x+\cos 3x=0. $$ 0,75pt
2. Exprimer $\cos5x$ en fonction de $\cos x$. 0,75pt
3. Linéariser $\sin^3x\cos^2x$ et $\sin^2x\cos3x$. 1pt
4. Donner la forme exponentielle de $e^{-i\pi}$ et de $\dfrac{e^{i\alpha}-1}{e^{i\alpha}+1}$, où $\alpha\in]\,\pi;2\pi[$. 1pt

Exercice 3 : 4 points

Nombres complexes et géométrie plane

On considère dans l’ensemble des nombres complexes le polynôme $$ P(z)=z^3-5iz^2-(7-8i)z+24+3i. $$ On considère les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives $2-3i$, $2+3i$ et $2-i$.

1. Montrer que $P$ admet une racine imaginaire pure que l’on déterminera. 0,5pt
2. Déterminer les nombres complexes $a$ et $b$ tels que $$ P(z)=(z-b)(z^2+az+b). $$ 0,75pt
3. En déduire les racines de $P$. 0,75pt
4. Donner la nature exacte du triangle $ABC$. 0,5pt
5. Donner l’écriture complexe de la rotation de centre $C$ et d’angle $-\dfrac{\pi}{3}$. 0,5pt
6. Donner la nature et les éléments caractéristiques de la transformation plane dont l’écriture est $$ z'=-iz+3+i. $$ 0,5pt
7. Déterminer et construire l’ensemble des points $M(z)$ tels que : $$ |z-2-i|=|2-2+3i-z|. $$ 0,75pt

Problème : 8,25 points

Étude de fonctions logarithmiques et polynomiales

On considère les fonctions numériques d’une variable réelle $x$, définies sur $]1;+\infty[$ par : $$ f(x)=\ln^2x-\ln x,\qquad g(x)=f(x)-x f'(x), $$ et la fonction $u$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ u(x)=x^3-x^2-x-1. $$

1. Calculer les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et à droite en $1$. 1pt
2. Donner le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau des variations. 1pt
3. Calculer $$ \lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-\ln x\big), $$ puis en déduire une interprétation graphique du résultat obtenu. 0,75pt
4. Étudier les positions relatives des courbes des fonctions $f$ et $\ln x$. 1pt
5. Soit $a$ un réel strictement supérieur à $1$. Montrer que la tangente à la courbe de la fonction $f$ au point d’abscisse $a$ passe par l’origine du repère si et seulement si $f(a)-a f'(a)=0$. 0,75pt
6. Montrer que $g(x)=0$ équivaut à $$ \ln^3x-\ln^2x-\ln x-1=0. $$ 0,5pt
7. Étudier les variations de la fonction $u$, dresser son tableau de variations, puis en déduire que le polynôme $u$ admet une unique racine réelle $\alpha$. Donner un encadrement de $\alpha$ par deux nombres décimaux consécutifs d’ordre deux. 1,5pt
8. En déduire qu’il existe une unique tangente à la courbe de la fonction $f$ qui passe par l’origine du repère. Donner un encadrement de l’abscisse $a$ du point d’intersection de cette tangente et de la courbe de la fonction $f$. 0,75pt
9. Tracer dans le même repère les courbes des fonctions $f$ et $\ln x$. 1pt

Exercice 1 : 5,5 points

Géométrie vectorielle et transformations de l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$. On considère les points $A(3;2;1)$, $B(3;1;0)$, $C(1;2;0)$ et $D(0;0;2)$.

1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan $(P)$ dont une équation cartésienne est $$ x+2y-2z-5=0. $$ 0,75pt
2. Déterminer l’expression analytique de la réflexion du plan $(P)$. 0,75pt
3. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(P)$. 0,5pt
4. Montrer que $ABCD$ est un tétraèdre, puis donner son volume. 0,5pt
5. Dans l’ensemble $W$ des vecteurs de l’espace, on définit l’endomorphisme $g$ par $$ \varphi(\vec{v})=\vec{v}\wedge\vec{k}. $$
   1. Donner la matrice de $g$ dans la base $(\vec{i};\vec{j};\vec{k})$. 0,5pt
   2. Déterminer le noyau de $g$, la valeur de $g$ et une base de $\text{Im}\,g$. 0,75pt
   3. Montrer que $(\vec{i},\vec{a},\vec{b})$ est une base de $W$ avec $\vec{a}=\vec{i}-\vec{k}$ et $\vec{b}=\vec{j}+\vec{k}$. 0,5pt
   4. Donner la matrice de $g$ dans la base $(\vec{i},\vec{a},\vec{b})$. 0,5pt
   5. Calculer $M^2$, puis en déduire $M^n$ pour tout entier positif supérieur ou égal à deux. 0,5pt

Exercice 2 : 3,5 points

Arithmétique

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de $1997^{1998}$ par $5$ et de $1992^{234}$ par $7$. 0,75pt
2. Montrer que pour tout entier naturel non nul : $$ 3^{5k+1}+2^{3k+2}\equiv0\ [7]. $$ 0,75pt
3. 1. Déterminer dans $\mathbb{N}^*$ l’ensemble des diviseurs de $3452$. 0,5pt
   2. Résoudre dans $\mathbb{N}$ l’inéquation $$ x^2-y=23x\le52. $$ 0,5pt
4. Déterminer un nombre de deux chiffres dans sa base décimale qui s’écrit $\overline{xyz}$ en base $x$ et $\overline{zyx}$ en base $y$. 1pt

Exercice 3 : 2 points

Algèbre linéaire

1. Soient $E$ un plan vectoriel et $f$ un endomorphisme de $E$ tel que $\text{Im}\,f=\ker f$. Démontrer que $\dim E$ est un entier pair. 0,5pt
2. Soit $\vec{u}$ un vecteur non nul de $\ker f$. Montrer qu’il existe un vecteur non nul $\vec{v}$ de $E$ tel que $f(\vec{v})=\vec{u}$. 0,5pt
3. Démontrer que $(\vec{u},\vec{v})$ est une base de $E$. 0,5pt
4. Écrire la matrice de $f$ dans la base $(\vec{u},\vec{v})$. 0,5pt

Problème : 9 points

Le problème comporte trois parties indépendantes A, B et C.

Partie A : 2,75 points

Dans le plan orienté, on considère un carré direct $ABCD$ de centre $O$. On désigne par $r$ le quart de tour.

Suite de la Partie A

1. Prouver que $r\circ r'$ est une rotation dont on précisera l’angle. 0,25pt
2. Déterminer les images de $A$ et $B$ par $r'$, puis donner le centre de $r'$. 0,75pt
3. Montrer que $r'$ est une similitude directe dont on précisera l’angle et le rapport. 0,5pt
4. On note $I$ le centre de $r'$. Déterminer et construire l’ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ du plan tels que : $$ \text{Mes}(\overrightarrow{MC},\overrightarrow{MD})=\frac{\pi}{2}. $$ 0,25pt
5. Montrer que $(\Gamma)$ est le cercle de diamètre $[CD]$ et que $ID=\sqrt{3}\,IC$. 0,5pt

Partie B : 2 points

Nombres complexes

Soit $\alpha$ un nombre réel de module $r$ et d’argument $\theta$. On considère l’équation $(E)$ : $$ z^2+\alpha(a+i)z+a^2=0. $$

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $(E)$. 1pt
2. Mettre les solutions sous forme trigonométrique. 0,5pt
3. Déterminer $\alpha$ pour que les solutions de l’équation $(E)$ soient conjuguées. 0,5pt

Partie C : 4,25 points

Suites et inégalités

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $$ u_n=\frac{2^n+3}{2^n+2}. $$

1. 1. Étudier les variations de la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par : $$ f(t)=\frac{2^t+3}{2^t+2}. $$ 0,75pt
   2. En déduire que pour tout $t\in[0;+\infty[$, $$ f(t)\le\frac74. $$ 0,5pt
   3. Montrer que : $$ \frac32\le f(t)\le\frac74,\quad \forall t\in[0;+\infty[. $$ 0,5pt
   4. En déduire que la suite $(u_n)$ possède une limite et que : $$ \frac32\le\lim u_n\le\frac74. $$ 0,5pt
2. 1. Vérifier que pour tout $t\in[0;2]$ : $$ \frac{2t+3}{t+2}-\frac12\le t^2. $$ 0,5pt
   2. En déduire que : $$ \frac{2^n+3}{2^n+2}-\frac12\le\frac1{4^n}. $$ 0,5pt
   3. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$ 1\le e^{-u_n}\le e^{-\frac12}. $$ 0,5pt
   4. En déduire que la suite $(e^{-u_n})$ converge. 0,5pt

Exercice 1 : 5 pts

Géométrie complexe – Transformation du plan

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{i};\vec{j})$. Soit $S$ la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d’affixe $z$, associe le point $M'$ d’affixe $z'$ tel que : $$ z'=5iz+6i+4. $$ On note $x$ et $y$ les parties réelles et imaginaires respectives de $z$, et $x'$ et $y'$ celles de $z'$.

1. Déterminer la nature de $S$ et montrer que : $$ \begin{cases} x'=-5y+4\\ y'=5x+6 \end{cases} $$ 1pt
2. On suppose que les coordonnées $x$ et $y$ du point $M$ sont des entiers relatifs tels que $-3\le x\le5$ et $-3\le y\le5$.
   1. Déterminer l’ensemble des couples $(a;b)$ d’entiers relatifs tels que $4a+3b=5$. 0,5pt
   2. En déduire l’ensemble des points $M$ de coordonnées $(x;y)$ tels que $-3x+4y=37$. 0,5pt
3. Soit $M$ un point de l’ensemble $E$ et $M'$ son image par $S$.
   1. Démontrer que $x'+y'$ est un multiple de $5$. 0,5pt
   2. Démontrer que $x'-y'$ et $x'+y'$ sont congrus modulo $2$. En déduire que si $x'^2-y'^2$ est un multiple de $2$, alors $x'^2+y'^2$ l’est également. 1pt
   3. Déterminer l’ensemble des points $M$ et $M'$ tels que $x'^2-y'^2=20$. 1pt

Exercice 2 : 4 pts

Suites numériques

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites numériques définies telles que $0\le u_0\le v_0$ et : $$ \forall n\in\mathbb{N},\quad \begin{cases} u_{n+1}=\sqrt{u_nv_n}\\ v_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2} \end{cases} $$

1. Démontrer par récurrence que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont strictement positives. 0,5pt
2. 1. Calculer $v_1^2-u_1^2$, puis en déduire que $\forall n\in\mathbb{N}$, $u_n\le v_n$. 0,5pt
   2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante et que la suite $(v_n)$ est décroissante. 0,5pt
3. Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}$, $u_0\le u_n\le v_n\le v_0$. 0,5pt
4. En déduire que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont convergentes. 0,5pt
5. Démontrer par récurrence que $\forall n\in\mathbb{N}$ : $$ v_n-u_n\le\left(\frac12\right)^n\,(v_0-u_0). $$ 0,5pt
6. En déduire que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ ont la même limite et conclure. 0,5pt

Exercice 3 : 5 pts

Étude de fonction

On considère la fonction $f$ définie par : $$ f(x)=\frac{2x}{4-x}-\ln(1+x). $$

1. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 0,75pt
2. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations. 0,75pt
3. Démontrer que l’équation $f(x)=0$ admet sur l’intervalle $]1;+\infty[$ une solution unique notée $\alpha$ et vérifier que $10^{-1}<\alpha<3{,}9$. 0,75pt
4. Calculer $f(0)$ et préciser, suivant les valeurs de $x$, le signe de $f(x)$. 0,5pt
5. Soit $g$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par : $$ g(x)=\frac{f(x)}{x}\quad (x>0). $$
   1. Démontrer que $g$ est continue et strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$. 0,5pt
   2. Étudier la dérivabilité de $g$ et dresser son tableau de variations. 0,75pt
   3. En déduire la représentation graphique $(C_g)$ en déduisant graphiquement les variations de $g$. 1pt

Problème : 6 pts

Le problème comporte deux parties indépendantes.

Partie A : 2 pts

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;I;J)$. On considère l’application $f$ du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d’affixe $z$, associe le point $M'$ d’affixe : $$ z'=\frac{z-2i}{1-i}. $$ On admet que $f$ est une application affine.

1. Déterminer l’expression analytique de $f$. 0,5pt
2. Déterminer l’ensemble des points invariants par $f$. 0,5pt
3. Montrer que tous les vecteurs $\overrightarrow{MM'}$ ont une direction fixe que l’on déterminera. 0,5pt
4. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de $f$. 0,5pt

Partie B : 4 pts

Pour tout réel $x>0$, on considère la fonction $f$ définie par : $$ f(x)=\ln(e^x+kx)-x. $$ $(C_f)$ est la courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormé $(O;I;J)$.

1. Montrer que l’on peut définir sur $]0;+\infty[$ la fonction $g(x)=\ln(e^x+kx)$. En déduire que $f(x)=\ln(1+xe^{-x})$. 1pt
2. Étudier la dérivabilité de $f$. 0,5pt
3. Calculer $f'(x)$ et en déduire le sens de variation de $f$. 0,5pt
4. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 0,5pt
5. En déduire le signe de $f(x)$ et dresser son tableau de variations. 0,5pt
6. Calculer $f''(x)$ et en déduire la variation de $f'(x)$. 0,5pt
7. Montrer que pour tout $x>0$, $f'(x)\le k$, déterminer une équation de la tangente à $(C_f)$ en $O$. 0,5pt
8. Étudier la position relative des courbes $(C_f)$ et $(C_h)$ où $h(x)=kx$. 0,5pt

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (15 pts)

Exercice 1 : 5 pts

Géométrie de l’espace et transformations affines

Dans l’espace rapporté à un repère orthogonal $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$, $s$ est une réflexion de plan $(P)$ d’équation : $$ y+3z-5=0. $$

1. Déterminer l’expression analytique de $s$. 1,5pt
2. On considère l’application affine $f$ de l’espace dans lui-même qui, à tout point $M(x,y,z)$, associe le point $M'(x',y',z')$ défini par : $$ \begin{cases} x'=x\\ y'=\dfrac13(-4x+3y-3)\\ z'=\dfrac13(3y+4z+1) \end{cases} $$
   1. Déterminer l’ensemble $(Q)$ des points invariants par $f$. 0,5pt
   2. Montrer que $s\circ f$ est une réflexion de plan $(Q)$. 1pt
   3. En étudiant les positions relatives des plans $(P)$ et $(Q)$, préciser la nature et les éléments caractéristiques de $f\circ s$. 1pt
   4. Déterminer l’expression analytique de $f\circ s$. 1,5pt

Exercice 2 : 3 pts

Analyse – Dérivées et primitives

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par : $$ f(x)=x\cos^2x \quad \text{et} \quad g(x)=x\sin^2x. $$

1. Déterminer une primitive de $f+g$ sur $\mathbb{R}$. 0,5pt
2. En déduire les formules d’Euler : $$ \cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2} \quad\text{et}\quad \sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}. $$ 0,5pt
3. Déterminer toutes les primitives réelles de la fonction $$ h(x)=\arcsin(2x)+\cos(2x) $$ sur $\mathbb{R}$. 1pt

Exercice 3 : 7 pts

Étude de fonction logarithmique

Soit la fonction $f$ définie sur $$ D=]-\infty;0[\ \cup\ ]0;+\infty[ $$ par : $$ f(x)=-2x+1+\frac{2\ln|x|}{x}. $$ $(C_f)$ est sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;I;J)$.

Partie A

1. Soit $g$ la fonction définie par : $$ g(x)=-2x+2-\ln(x^2). $$ Déterminer les limites de $g$ aux bornes de $D$. 1pt
2. Déterminer la fonction dérivée de $g$ et dresser son tableau de variations. 1pt
3. Calculer $g(1)$ et $g(-1)$, puis en déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. 0,75pt

Partie B

4. Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D$. 0,75pt
5. Calculer la dérivée de $f$ et vérifier que : $$ f'(x)=\frac{g(x)}{x^2}. $$ 0,75pt
6. Dresser le tableau de variations de $f$ (on utilisera la partie A). 1pt
7. Montrer que la droite $(D)$ d’équation $$ y=-2x+1 $$ est asymptote à $(C_f)$. 0,75pt

5. Préciser l’autre asymptote. 0,25pt
6. Étudier la position relative des courbes $(C_f)$ et $(D)$. 0,5pt
7. Construire soigneusement $(C_f)$. 0,75pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (4,5 pts)

Situation :
Monsieur NDA a observé au jour $j_0$ le corps céleste $A$, qui apparaît périodiquement dans le ciel tous les $105$ jours. Six jours plus tard, il observe le corps $B$, dont la période d’apparition est de $81$ jours. On désigne par $j_1$ le jour de la prochaine apparition simultanée des deux objets astronomiques observés par Monsieur NDA. Sachant que le jour $j_0$ était samedi $7$ décembre $2019$ et que l’année $2020$ est une année bissextile, Monsieur NDA aimerait connaître la date exacte de $j_1$.

Tâches

1. Déterminer le nombre de jours qui s’écoulent entre les jours $j_0$ et $j_1$. 1,5pt
2. Déterminer la date exacte du $73^\text{ième}$ jour après le samedi $7$ décembre $2019$. 1,5pt
3. Monsieur NDA ne pouvant honorer ce rendez-vous le jour $j_1$, déterminer la date de la prochaine apparition simultanée après le $11$ décembre $2021$. 1,5pt

Exercice 1 : (05 points)

Arithmétique

1. Soit $n$ un entier naturel. On considère le naturel $A_n=2^n+2^{2n}+2^{3n}$.
   1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $$ A_{n+3}\equiv A_n\ [7]. $$ 0,5pt
   2. En déduire l’ensemble des entiers naturels $n$ pour lesquels $A_n$ est divisible par $7$. 0,5pt
2. Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls tels que $$ a=1110,\quad b=1010100. $$
   1. Calculer les $1001000$ en base $10$ puis déterminer s’ils sont divisibles par $7$. 0,75pt
   2. Déterminer les diviseurs communs à $4625$ et $440$ en résolvant le système : $$ \begin{cases} a^2+b^2=4625\\ \gcd(a,b)=440 \end{cases} $$ 1,25pt
3. Soit $N$ un entier relatif impair.
   1. Montrer que $N^2\equiv1\ [8]$. 0,5pt
   2. Montrer que si un entier relatif $M$ est tel que $M^2\equiv1\ [8]$, alors $M$ est impair. 0,5pt
   3. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l’équation $$ x^2\equiv8y+1. $$ 1pt

Exercice 2 : (07 points)

Géométrie du plan

Dans le plan $P$ muni du repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$, on considère l’application $f$ d’écriture complexe $$ z'=i z+6. $$ L’application $g$ du plan dans lui-même est définie par : à tout point $M(x,y)$, elle associe le point $M'(x',y')$ tel que : $$ \begin{cases} 3x'=5x-12y+24\\ 3y'=12x-5y+36 \end{cases} $$

1. Montrer que $f=r\circ s$, où $s$ est la réflexion d’axe $(Ox)$ et $r$ la rotation de centre $O$ d’angle à préciser, suivie de la translation de vecteur $\vec{u}$ à déterminer. 1pt
2. En déduire que $r\circ s$ est une symétrie orthogonale d’axe $(D)$ à déterminer. 1pt
3. Vérifier que $f$ est une symétrie glissée et en préciser les éléments caractéristiques. 1pt
4. Démontrer que l’ensemble des points invariants par $g$ est une droite $(D)$ d’équation à préciser. 0,5pt
5. Soit $L$ le milieu de $[MM']$. Montrer que $L$ appartient à la droite $(D)$. 0,5pt
6. Soit $M$ tel que le vecteur $\overrightarrow{MM'}$ a une direction fixe orthogonale à celle de $

Partie B : 6,5 points

I. Géométrie plane et transformations

Dans le plan orienté muni du repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$, on considère les vecteurs : $$ \vec{e_1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{i}+\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{j}, \quad \vec{e_2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{i}+\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{j}. $$

1. Démontrer que $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$ est un repère orthonormé du plan. 0,25pt
2. Déterminer les éléments caractéristiques de la rotation qui transforme $(O,\vec{i},\vec{j})$ en $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$. 0,5pt
3. Une conique dans le repère $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$ a pour équation : $$ 13X^2+7Y^2+6\sqrt{3}XY=16. $$
   1. Écrire l’équation cartésienne de cette conique dans le repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. 0,75pt
   2. En déduire sa nature et son excentricité. 0,75pt

II. Fonctions et géométrie analytique

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés de l’espace et $k$ un réel de l’intervalle $]0;+\infty[$. On désigne par $G_k=\text{bar}(A;1+k^2),(B;k^2)$.

1. Montrer que pour tout réel $k$ de $]0;+\infty[$ : $$ \overrightarrow{AG_k}=\frac{k^2}{1+k^2}\overrightarrow{AB}. $$ 0,5pt
2. Construire les points $G_k$ et $G_{k+1}$. 0,5pt
3. Soit $f$ définie par : $$ f(x)=\frac{x}{1+x^2}. $$ Établir le tableau de variation de $f$. 0,75pt
4. En déduire l’ensemble des points $G_k$ quand $k$ décrit l’intervalle $]0;+\infty[$. 0,75pt
5. Déterminer l’ensemble des points $M$ de l’espace tels que : $$ \|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\| =\|2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\|. $$ 0,5pt

III. Géométrie de l’espace

Dans l’espace muni du repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$, on considère les points $A(1;-1;0)$, $B(3;0;1)$, $C(1;2;-1)$ et $D(1;0;0)$.

1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ déterminent un plan. 0,25pt
2. Déterminer une équation du plan $(ABC)$. 0,5pt
3. Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont non coplanaires. 0,25pt
4. Calculer $\sin(\widehat{BAC})$ et le volume du tétraèdre $ABCD$. 0,5pt
5. Soit $(P)$ un plan d’équation $x+2y+z-3=0$. Étudier la position relative des plans $(P)$ et $(ABC)$ et préciser une équation de leur droite d’intersection. 0,5pt