Tle C : 5ème séquence en maths

Exercice 1 : 5,5 points

Géométrie de l’espace et endomorphisme

L’espace est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$. On considère les points $A(3;2;1)$, $B(3;1;0)$, $C(1;2;0)$ et $D(0;0;2)$.

1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan $(P)$ dont une équation cartésienne est : $$ x+2y-2z-5=0. $$ 0,75pt
2. Déterminer l’expression analytique de la réflexion du plan $(P)$. 0,75pt
3. Déterminer les coordonnées du point $H$ projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(P)$. 0,5pt
4. Montrer que $ABCD$ est un tétraèdre, puis donner son volume. 0,5pt
5. Dans l’ensemble $W$ des vecteurs de l’espace, on définit l’endomorphisme $\varphi$ par : $$ \varphi(\vec{i})=\vec{i} \quad\text{et}\quad \varphi(\vec{j}-\vec{k})=\vec{j}-\vec{k}. $$
   1. Donner la matrice de $\varphi$ dans la base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. 0,5pt
   2. Déterminer une base de $\ker\varphi$, le noyau de $\varphi$ et une base de $\mathrm{Im}\,\varphi$, l’image de $\varphi$. 1pt
   3. Montrer que $(\vec{i},\vec{a},\vec{b})$ est une base de $W$ avec $\vec{a}=\vec{j}-\vec{k}$ et $\vec{b}=\vec{j}+\vec{k}$. 0,5pt
   4. Donner la matrice $M$ de $\varphi$ dans la base $(\vec{i},\vec{a},\vec{b})$. 0,5pt
   5. Calculer $M^2$, puis en déduire $M^n$ pour tout entier positif $n\ge2$. 0,5pt

Exercice 2 : 3,5 points

Arithmétique

1. Déterminer le reste de la division euclidienne de $1997^{1998}$ par $5$ et de $1992^{234}$ par $7$. 0,75pt
2. Montrer que pour tout entier naturel non nul : $$ 3^{5k+1}+2^{3k+2}\equiv0\ [7]. $$ 0,75pt
3. 1. Déterminer dans $\mathbb{N}$ l’ensemble des diviseurs de $3^2\times5^2$. 0,5pt
   2. Résoudre dans $\mathbb{N}^2$ l’équation $$ x^2-y^2=3^2\times5^2. $$ 0,5pt
4. Déterminer un nombre de trois chiffres dans la base décimale qui s’écrit $\overline{xyz}$ et $\overline{zyx}$. 1pt

Exercice 3 : 2 points

Algèbre linéaire

Soit $E$ un plan vectoriel et $f$ un endomorphisme de $E$ tel que $\mathrm{Im}\,f=\ker f$.

1. Démontrer que $\dim(\mathrm{Im}\,f)=\dim(\ker f)=1$. 0,5pt
2. Soit $\vec{u}$ un vecteur non nul de $\ker f$. Montrer qu’il existe un vecteur non nul $\vec{v}$ de $E$ tel que $f(\vec{v})=\vec{u}$. 0,5pt
3. Démontrer que $(\vec{u},\vec{v})$ est une base de $E$. 0,5pt
4. Écrire la matrice de $f$ dans la base $(\vec{u},\vec{v})$. 0,5pt

Problème : 9 points

Le problème comporte trois parties indépendantes $A$, $B$ et $C$.

Partie A : 2,75 points

Dans le plan orienté, on considère un carré direct $ABCD$ de centre $O$. On désigne par $r$ le quart de tour direct de centre $A$, $t$ la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$, et $h$ l’homothétie de centre $C$ et de rapport $\sqrt{3}$.

Suite de la Partie A

1. Prouver que $r\circ t$ est une rotation et en préciser l’angle. 0,25pt
2. Déterminer les images de $A$ et $B$ par $r\circ t$, puis donner le centre de $r\circ t$. 0,75pt

On pose $f=r\circ h$.

3. Montrer que $f$ est une similitude directe dont on précisera l’angle et le rapport. 0,5pt
4. Déterminer le centre de $f$, puis construire $(C_f)$. 0,25pt
5. Déterminer et construire l’ensemble $(T)$ des points $M$ du plan tels que : $$ \mathrm{Mes}\left(\overrightarrow{MC},\overrightarrow{MD}\right)=\frac{\pi}{2}. $$ 0,5pt
6. Montrer que $(C_f)$ et $(T)$ sont tangents et que $D=\sqrt{3}\,C$. 0,5pt

Partie B : (2 points)

Équation complexe

Soit $z$ un nombre complexe non nul de module $r$ et d’argument $\theta\in]-\pi;\pi]$.

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation : $$ (E):\ z^2+a(a+i)z+ia^2=0. $$ 1pt
2. Mettre les solutions sous forme trigonométrique. 0,5pt
3. Déterminer $a$ pour que les solutions de $(E)$ soient conjuguées. 0,5pt

Partie C : (4,25 points)

Suite définie par une intégrale

On considère la suite $(U_n)$ définie par : $$ U_n=\int_0^2 \frac{2t+3}{t+2}\,e^{\,\frac{t}{n}}\,dt. $$

1. 1. Étudier les variations de la fonction définie sur $[0;2]$ par : $$ f(t)=\frac{2t+3}{t+2}. $$ 0,75pt
   2. En déduire que pour tout $t\in[0;2]$, $$ \frac{3}{2}\le f(t)\le\frac{7}{4}. $$ 0,5pt
   3. Montrer que : $$ \frac{3}{2}\left(e^{\frac{2}{n}}-1\right) \le U_n \le \frac{7}{4}\left(e^{\frac{2}{n}}-1\right). $$ 0,5pt
   4. Montrer que si $(U_n)$ possède une limite, alors $3\le \ell \le \frac{7}{2}$. 0,5pt
2. 1. Vérifier que pour tout $t\in[0;2]$, $$ \frac{2t+3}{t+2}=2-\frac{1}{t+2}. $$ 0,5pt
   2. En déduire la valeur de : $$ I=\int_0^2 \frac{2t+3}{t+2}\,dt. $$ 0,5pt
   3. Montrer que pour tout $t\in[0;2]$, $$ 1\le e^{\frac{t}{n}}\le e^{\frac{2}{n}}. $$ 0,5pt
   4. En déduire que : $$ I\le U_n\le e^{\frac{2}{n}}I. $$ 0,5pt

Exercice 1 : (3,5 points)

Géométrie analytique du plan

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$. Soit $(D)$ la droite d’équation $x=6$ et $F$ le point de coordonnées $(8;0)$. Soit $\theta\in]0;\frac{\pi}{2}]$. On désigne par $(\Gamma_\theta)$ l’ensemble des points $M$ du plan tels que : $$ MF=\tan(\theta)\,OH $$ où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(D)$.

1. Préciser la nature de $(\Gamma_\theta)$ suivant les valeurs de $\theta$. 1pt
2. Construire la courbe $(\Gamma_0)$ correspondant à $\theta=0$. 0,5pt
3. 1. Écrire l’équation cartésienne de la courbe $(\Gamma_\theta)$ correspondant à $\theta=\dfrac{\pi}{6}$. 0,5pt
   2. Préciser les éléments caractéristiques de $(\Gamma_\theta)$. 1pt
   3. Construire la courbe de $(\Gamma_{\pi/6})$. 0,5pt

Exercice 2 : (7 points)

Transformations du plan

Dans le plan orienté, on considère un carré direct $ABCD$ de centre $O$. On désigne par :

• $r$, le quart de tour de centre $A$ ;
• $t$, la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ ;
• $h$, l’homothétie de centre $C$ et de rapport $\sqrt{3}$.

1. 1. Prouver que $r\circ t$ est une rotation dont on précisera l’angle. 0,75pt
   2. Déterminer les images de $A$ et $B$ par $r\circ t$, puis en déduire le centre de $r\circ t$. 0,25pt
2. On se propose d’étudier la transformation $f=r\circ h$.
   1. Montrer que $f$ est une similitude directe dont on précisera l’angle et le rapport. 0,75pt
   2. Soit $I$ le centre de $f$. Déterminer l’image de $C$ par $f$. 0,5pt
   3. Prouver que $\|CI\|=\frac{2}{3}\|ID\|=\sqrt{3}\,CI$. 0,75pt
   4. Déterminer et construire l’ensemble $(T)$ des points $M$ du plan tels que : $$ \mathrm{Mes}\left(\overrightarrow{MC},\overrightarrow{MD}\right) =\frac{\pi}{2}. $$ 0,75pt
   5. Donner une mesure de l’angle $\left(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CI}\right)$. Placer $I$ sur la figure. 0,75pt
3. Prouver que l’ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ du plan tels que $AM^2-3MC^2=0$ est un cercle dont on précisera le centre $G$ et le rayon. 1,25pt
4. Construire $(\Gamma)$. 0,25pt

Exercice 3 : (3,5 points)

Arithmétique

1. Montrer que, pour tout entier naturel non nul $k$ et pour tout entier naturel $n$ : $$ (x-1)(1+x+x^2+\cdots+x^{k-1})=x^k-1. $$ 0,25pt
2. Dans toute la suite de l’exercice, on considère un nombre entier $a$ supérieur ou égal à $2$.
   1. Soit $n$ un entier naturel non nul et $d$ un diviseur positif de $n$. Montrer que $a^d-1$ est un diviseur de $a^n-1$. 1pt
   2. Déduire de la question précédente que $2^{2011}-1$ est divisible par $7$, par $63$ puis par $9$. 0,75pt
3. Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls et $d$ leur PGCD.
   1. On définit $m'=m-d$ et $n'=n-d$. En appliquant le théorème de Bézout, montrer qu’il existe des entiers relatifs $u$ et $v$ tels que : $$ um-vn=d. $$ 0,5pt
   2. On suppose que $u$ et $v$ sont deux entiers relatifs. Montrer que : $$ a^{m-1}-a^{n-1}\equiv0\ [d]. $$ 0,5pt
   3. Montrer ensuite que si $a^{m-1}-a^{n-1}=1$, alors $d=1$. 1pt
   4. Calculer, en utilisant le résultat précédent, le PGCD de $2^{31}-1$ et de $2^{11}-1$. 0,5pt

Problème

Partie A

On donne un entier naturel $a$ strictement positif, et on considère l’équation différentielle : $$ (E_a):\ y'+ay=e^x. $$

1. On fait l’hypothèse que deux fonctions $g$ et $h$, définies et dérivables sur $\mathbb{R}$, vérifient pour tout $x\in\mathbb{R}$ : $$ g(x)=e^x,\qquad h(x)=e^{-ax}. $$
   1. Montrer que $g$ est solution de $(E_a)$ si et seulement si $a=1$. 0,5pt
   2. En déduire la fonction associée à une solution de $(E_a)$ sachant que $h(0)=0$. Quelle est alors la fonction $g$ ? 0,5pt
2. Soit $\psi$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$.
   1. Montrer que $\psi$ est solution de $(E_a)$ si et seulement si $\psi-g$ est solution de l’équation $(F):\ y'+ay=0$. 0,5pt
   2. Résoudre l’équation $(F)$. 0,5pt
   3. Déterminer la solution générale de l’équation $(E_a)$. 0,5pt
   4. Déterminer la solution $f$ de $(E_a)$ vérifiant $f(0)=0$. 0,5pt

Partie B

Le but de cette partie est de montrer que : $$ \lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^n\frac1k=+\infty. $$ (On rappelle que par convention $0!=1$.)

1. On pose, pour tout $x$ réel, $$ f(x)=\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}. $$
   1. Vérifier que $f$ est solution de l’équation différentielle $$ y'+y=f. $$ 0,25pt
   2. Pour tout entier $n$ strictement positif, on définit la fonction $f_n$ solution de l’équation différentielle $$ y'+y=f_n, $$ vérifiant $f_n(0)=0$. En utilisant la partie A, montrer par récurrence que pour tout entier $n\ge1$ : $$ f_n(x)=\sum_{k=1}^n\frac{x^k}{k!}e^{-x}. $$ 0,5pt
2. Pour tout entier naturel $n$, on pose : $$ I_n=\int_0^1 f_n(x)\,dx. $$
   1. En utilisant les questions précédentes, montrer que pour tout $x\in[0;1]$ : $$ 0\le f_n(x)\le\sum_{k=1}^n\frac1{k!}. $$ 0,25pt
   2. En déduire que pour tout $n$ : $$ I_n\le\sum_{k=1}^n\frac1{k!}. $$ 0,25pt
   3. Montrer que : $$ I_n=1-\frac{e^{-1}}{n!}. $$ 0,5pt
   4. Calculer $\lim_{n\to+\infty}I_n$ et déduire de ce qui précède que : $$ \lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^n\frac1{k!}=1. $$ 0,25pt

Exercice 1 : (4,5 points)

Arithmétique et probabilités

1. Déterminer tous les couples $(a;b)$ de $\mathbb{N}^2$ qui vérifient la relation : $$ 8\,\mathrm{pgcd}(a;b)=105\,\mathrm{pgcd}(a;b)+30. $$ 1pt
2. Une urne contient des boules noires et des boules blanches. On en prélève $n$ successivement et avec remise.
   1. $A$ : « On obtient des boules de deux couleurs. »
   2. $B$ : « On obtient au plus une boule blanche. »
   1. Calculer la probabilité de l’événement $A$ : « toutes les boules tirées sont de même couleur ». 0,5pt
   2. Calculer la probabilité de l’événement $B$. 0,5pt
   3. En déduire les probabilités $P(A\cap B)$, $P(A)$ et $P(B)$ sachant : $$ P(A)=\frac1{2^{\,n-1}},\quad P(B)=\frac{n+1}{2^n}. $$ 1pt
   4. Montrer que $$ P(A\cap B)=P(A)\times P(B) $$ si et seulement si $$ 2^{n-1}=n+1. $$ 0,5pt
3. Soit $(U_n)$ la suite définie par : $$ U_n=2^{\,n-1}-(n+1),\quad n\ge2. $$
   1. Montrer que la suite $(U_n)$ est strictement croissante. 0,5pt
   2. En déduire la valeur de $n$ pour laquelle les événements $A$ et $B$ sont indépendants. 0,5pt

Exercice 2 : (4,5 points)

Intégrales et coniques

A) Soit $(I_n)$ la suite définie par : $$ I_n=\int_0^1 t^n\sqrt{1+t}\,dt. $$

1. Calculer $I_0$ et $I_1$ à l’aide d’une intégration par parties. 0,5pt
2. Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante. 0,5pt
3. Établir que : $$ \frac1{n+1}\le I_n\le\frac{\sqrt2}{n+1}. $$ 0,5pt
4. Montrer que pour tout $t\in[0;1]$ : $$ 0\le\sqrt{1+t}-1\le\frac12(1-t). $$ 0,5pt
5. En déduire que : $$ \frac{\sqrt2-1}{n+1}\le I_n\le\frac{\sqrt2}{n+1}. $$ 0,5pt
6. Quelle est la limite de la suite $(I_n)$ ? 0,5pt

B) $\theta$ désigne un paramètre réel vérifiant $-\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ et $(E)$ l’équation : $$ Z^2-\frac{2}{\cos\theta}Z+4=0. $$

1. Trouver $Z'$ et $Z''$ les racines de $(E)$. 0,5pt
2. Soient $M'(Z')$ et $M''(Z'')$. Montrer que, quand $\theta$ varie dans $]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}[$, les points $M'$ et $M''$ décrivent deux branches d’une conique dont on donnera la nature. 0,5pt

Partie A

Étude de fonction

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par : $$ f(x)=x\int_1^x \frac{\ln t}{t}\,dt. $$ On note $(\Gamma)$ sa courbe représentative dans le repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$.

1. Justifier que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et calculer $f'(x)$. 0,5pt
2. En déduire le sens de variation de $f$. 0,5pt
3. 1. Pour tout $x>0$, on considère : $$ f(x)=\frac{x(\ln x)^2}{2}. $$ En déduire une intégration par parties. 0,5pt
   2. Démontrer que pour tout $x>1$ : $$ \frac{x}{2}\left(1-\frac{1}{x}\right) \le \int_1^x \frac{\ln t}{t}\,dt \le \frac{x}{2}\left(1-\frac{1}{x^2}\right). $$ 0,5pt
   3. En déduire que pour tout $x>1$ : $$ \frac12\left(x-\frac1x\right) \le f(x) \le \frac12\left(x-\frac1{x^2}\right). $$ 0,5pt
   4. On admet que $$ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. $$ Encadrer $f(x)$. 0,5pt
4. Soit $g$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par : $$ g(x)=f(x)-\frac{x}{2}. $$
   1. Démontrer que $g$ est continue sur $]0;+\infty[$. 0,5pt
   2. En déduire la limite de $g$ en $+\infty$. 0,5pt

Partie B

Équations et géométrie plane

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation : $$ (E):\ z^2-4\sqrt2(1+i)z+4=0 $$ et donner les solutions sous forme algébrique. 0,75pt
2. On désigne par $A$, $B$ et $C$ les images dans le plan complexe des solutions de $(E)$. La droite $(D)$ a pour équation $x=3$ et $(T)$ l’ensemble des points $M(x,y)$ tels que : $$ MA^2+MB^2+MC^2=12. $$
   1. Déterminer la distance du point $M$ à la droite $(D)$. 0,5pt
   2. Déterminer l’équation cartésienne de $(T)$. 1pt
3. Dans le plan muni du repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$, on considère les points $A$ et $B$ tels que $AB=6$ cm. On désigne par $C$ l’image de $B$ par la rotation de centre $A$ d’angle $\frac{\pi}{2}$. Le point $I$ tel que $A\vec{I}=3\vec{AB}$.
   1. Soit $f$ la similitude qui transforme $A$ en $B$ et $C$ en $D$. On note $I$ son centre. 0,75pt
   2. Déterminer le rapport de la similitude $(AIB)$. 0,5pt
   3. Construire le point $I$. 0,5pt
   4. Démontrer que $I$ appartient au cercle circonscrit au triangle $ADC$. 1pt

Partie C

Géométrie de l’espace

$ABCD$ est un tétraèdre tel que $AB=AC=AD=a$ avec $a>0$. Les triangles $ABC$, $ABD$ et $ACD$ sont rectangles en $A$.

1. Quelle est la nature du triangle $BCD$ ? 0,5pt
2. Soit $H$ le centre de gravité du triangle $BCD$.
   1. Justifier que $(AH)$ est orthogonale au plan $(BCD)$. 0,5pt
   2. Démontrer que $AH=\dfrac{a\sqrt3}{3}$. 0,5pt
   3. Déterminer le réel $\lambda$ tel que $\widehat{BC\wedge BD}=\lambda\,\widehat{AM}$. 0,5pt
3. Soit $(P)$ le plan d’équation : $$ 2x-y+3z+1=0. $$ Donner l’expression analytique de la projection orthogonale sur $(P)$. 1pt

Exercice 1 : (4 points)

A – Congruences et divisibilité

1. Démontrer que pour tous entiers $K$ et $r$ : $$ 5^{4K+r}\equiv 5^r\ (13). $$ (0,5pt)
2. En déduire les restes possibles de $5^n$ modulo $13$. (0,5pt)
3. Soit $A_n=5^{3n}+5^{2n}+5^n+1$, avec $n\ge1$. Montrer que $A_n$ est divisible par $13$ si et seulement si $n$ n’est pas multiple de $4$. (1pt)

B – Suite de points d’affixes

Soit $M_0$ le point d’affixe $i$ et $(M_n)$ la suite des points dont les affixes $Z_n$ sont données par :

$$ Z_{n+1}=\frac{1+i}{2}\,Z_n-\frac12+\frac{i}{2}. $$

1. Déterminer $\Omega$, le point invariant par $(M_n)$. (0,5pt)
2. Exprimer $Z_{n+1}-\omega$ en fonction de $Z_n-\omega$ et donner la nature de $(M_n)$. (0,75pt)
3. Calculer $\Omega M_{n+1}$ en fonction de $\Omega M_n$. (0,75pt)

Exercice 2 : (6 points)

A – Étude d’un polynôme du troisième degré

Soit $p$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ p(x)=x^3+ax+b, $$ où $a$ et $b$ sont des réels.

1. Étudier les variations de $p$ et dresser son tableau de variation. (1pt)
2. On suppose $a$ strictement négatif.
   1. Prouver que le polynôme $p(x)$ admet une unique racine réelle si $4a^3+27b^2>0$. (0,75pt)
   2. Établir que le polynôme $p(x)$ admet trois racines réelles si $4a^3+27b^2<0$. (0,75pt)
   3. Montrer que le polynôme $p(x)$ admet deux racines réelles distinctes et que l’on peut écrire : $$ p(x)=(x-\alpha)^2(x-\beta) $$ si $4a^3+27b^2=0$. (1pt)

B – Application numérique

Dans cette partie : $$ p(x)=x^3-2x+4. $$

1. Montrer que le polynôme $p(x)$ admet une racine réelle. (0,75pt)
2. Soit $U$ et $V$ les complexes distincts.
   1. Montrer que si $U$ et $V$ sont des complexes tels que leurs réels vérifient $U^3+V^3=-4$ et $UV=\frac23$, alors $U+V$ est une racine de $p(x)$. (0,75pt)
   2. En déduire que $U^3$ et $V^3$ sont solutions de l’équation : $$ x^2+4x+\frac{8}{27}=0. $$ (0,75pt)

Problème : (10 points)

Le problème comporte trois parties A, B et C indépendantes.

PARTIE A : Étude d’une fonction (3,5 points)

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_n$ définie par : $$ f_n(x)=x-n+\frac{n}{x}\ln x. $$

1. Étudier les variations de $f_n$ et dresser son tableau de variation. 0,75pt
2. Montrer qu’il existe une unique solution $\alpha_n$ de l’équation $f_n(x)=0$. 0,75pt
3. Démontrer que : $$ 1\le \alpha_n\le e^2 \quad \text{et} \quad \ln \alpha_n=2-\frac{n}{\alpha_n}. $$ 0,75pt
4. Exprimer $f_{n+1}$ en fonction de $f_n$, puis étudier les variations de la suite $(\alpha_n)$. 0,75pt
5. Montrer que la suite $(\alpha_n)$ converge et calculer sa limite. 0,5pt

PARTIE B : Géométrie dans l’espace (3 points)

On considère un cube $ABCDEFGH$ d’arête $1$ cm. Dans le repère $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$, on note :

• $I(1,0,0)$,
• $O\left(\frac12,\frac12,\frac12\right)$,
• $K(0,1,0)$.

Les points $M$ et $N$ sont les milieux des segments $[BM]$ et $[HN]$. Le point $D$ est tel que $KILJ$ soit un parallélogramme.

1. Faire la figure. 0,5pt
2. Justifier que $(IL)$ est parallèle à $(JK)$. 0,5pt
3. Donner les représentations paramétriques des droites $(IL)$ et $(CD)$. 0,5pt
4. Justifier que $(IL)$ et $(AB)$ sont sécantes et démontrer que leur point d’intersection $S$ a pour abscisse $\dfrac{17}{15}$. 0,5pt
5. Donner la nature des triangles $ILN$ et calculer leur surface. 0,5pt

PARTIE C : Nombres complexes et géométrie plane (4 points)

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. On considère l’ensemble $(\mathcal{C})$ d’équation : $$ 3(x+1)^2+4y^2=12. $$

1. Caractériser $(\mathcal{C})$. 1pt
2. À chaque point $M(x,y)$, on associe le nombre complexe $Z=x+iy$, affixe de $M$. Démontrer que : $$ |Z|^2=\frac{4}{3}x^2+y^2. $$ 1pt
3. En déduire : $$ |Z|=\frac{3}{2+\cos\theta} \quad \text{et} \quad \theta=\arg(Z). $$ 1pt
4. Soient $M$ et $M'$ deux points de $(\mathcal{C})$ ayant pour affixes $z$ et $z'$, d’arguments respectifs $\theta$ et $\theta+\pi$. Calculer $|MM'|$ en fonction de $\theta$. 1pt