Exercice 1 : (3 points)
Arithmétique – PGCD et PPCM
Dans tout l’exercice, $x$ et $y$ désignent des entiers naturels non nuls
vérifiant $x<y$.
-
Ces termes considérés comme couples $(x;y)$ tels que
$\text{PGCD}(x;y)=y-x$.
-
Calculer le PGCD de $(363;484)$.
0,25pt
-
Le couple $(363;484)$ appartient-il à $S$ ?
0,25pt
-
Soit $n$ un entier naturel non nul ; le couple $(n;n+1)$
appartient-il à $S$ ? Justifier.
0,25pt
-
Montrer que $(x;y)\in S$ si et seulement s’il existe
un entier naturel $k$ tel que $x=k(y-x)$ et $y=(k+1)(y-x)$.
0,75pt
-
En déduire que, pour tout couple $(x;y)$ de $S$,
on a $\text{PGCD}(x;y)=\text{PPCM}(x;y)=x(y-x)$.
0,25pt
-
Déterminer les entiers naturels diviseurs de $228$.
0,25pt
-
En déduire l’ensemble des couples $(x;y)$ tels que
$\text{PPCM}(x;y)=228$.
1pt
Exercice 2 : (5 points)
Transformations du plan et algèbre linéaire
Le plan complexe est muni du repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$.
On considère la transformation $F$ du plan dans lui-même
d’expression analytique :
$$
\begin{cases}
x'=\dfrac{8}{5}x-\dfrac{6}{5}y+\dfrac{1}{5}\\[6pt]
y'=\dfrac{6}{5}x+\dfrac{8}{5}y-\dfrac{2}{5}
\end{cases}
$$
-
Déterminer l’écriture complexe de $F$.
0,25pt
-
Préciser la nature de $F$. Déterminer le centre $\Omega$
et le rapport de $F$.
0,5pt
-
On note $S$ l’ensemble des points $M(x,y)$ du plan
de coordonnées entières tels que $F(M)=(M')$.
Déterminer $S$.
1pt
-
Déterminer l’image par $F$ de la droite $D$ d’équation $y=x$.
0,25pt
Algèbre linéaire
$E$ désigne un espace vectoriel de dimension $3$
muni d’une base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
On définit l’endomorphisme $f$ de $E$ par :
$$
f(\vec{i})=\vec{i},\quad
f(\vec{j})=\vec{i}+\vec{j},\quad
f(\vec{k})=\vec{i}.
$$
On note $\ker f$ le noyau de $f$
et $\text{Im}\,f$ son image.
-
Donner la matrice de $f$ dans la base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
0,25pt
-
Déterminer une base du noyau de $f$.
0,5pt
-
Déterminer une base $(\vec{u},\vec{v})$ de l’image de $f$.
0,5pt
-
Démontrer que $(\vec{i},\vec{j},\vec{w})$
est une base de $E$.
0,5pt
-
Écrire la matrice de $f$ dans la base $(\vec{i},\vec{w},\vec{u})$.
0,5pt
-
Vérifier que $f\circ f=f$. Quelle est alors la nature de $f$ ?
0,5pt
-
Démontrer que $\text{Im}\,f=\{u\in E\mid f(u)=u\}$
(on utilisera la question a).
0,25pt
Exercice 3 : (3 points)
Étude de fonction rationnelle
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$
f(x)=-\frac12+\frac{2\sqrt{x+1}}{2x+1}.
$$
On note $(C)$ sa courbe représentative dans un plan
muni d’un repère orthonormal.
-
Montrer que $(C)$ admet deux asymptotes horizontales à préciser.
0,5pt
-
Déterminer la dérivée première de $f$
et dresser le tableau de variation de $f$.
1pt
-
Montrer que $f$ admet une bijection réciproque $f^{-1}$
définie sur un intervalle $K$ que l’on précisera.
0,5pt
Suite de l’exercice 3
-
Montrer que l’équation $f(x)=x$ admet une solution unique $\alpha$
et que $\alpha\in[-1;0]$.
0,5pt
-
Déterminer toutes les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$,
puis déduire la primitive $G$.
0,75pt
-
Tracer la courbe $(C)$ de $f$ et la courbe $(C^{-1})$ de $f^{-1}$
dans le même repère.
0,75pt
-
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$
et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
-
Vérifier que pour tout $x\in[-1;0]$, $|f'(x)|\le\dfrac12$.
0,25pt
-
Démontrer que pour tout entier naturel $n$ :
$$
|u_{n+1}-\alpha|\le\dfrac12\,|u_n-\alpha|.
$$
0,5pt
-
Déduire que pour tout entier naturel $n$ :
$$
|u_n-\alpha|\le\left(\dfrac12\right)^n.
$$
0,5pt
-
Déduire que la suite $(u_n)$ converge et préciser sa limite.
0,25pt
Exercice 4 : (3 Points)
Géométrie dans l’espace
On considère l’espace muni du repère orthonormal direct
$(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$.
On considère les points
$A(3;1;0)$, $B(1;2;0)$, $C(3;2;1)$ et $D(0;0;d)$,
où $d$ désigne un réel positif ou nul.
On a ainsi un tétraèdre $ABCD$.
On pose $\vec{N}=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$.
-
Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{N}$.
0,25pt
-
En déduire l’aire du triangle $ABC$.
0,5pt
-
Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
0,5pt
-
On note $H$ le projet orthogonal du point $D$
sur le plan $(ABC)$.
Exprimer $DH$ en fonction de $d$.
0,75pt
-
En déduire l’expression de la distance $DH$.
Montrer que le volume du tétraèdre $ABCD$ est :
$$
V=\frac{2d^2+5}{6}.
$$
0,75pt
-
Déterminer pour quelle valeur de $d$
la droite $(DB)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
0,25pt
-
On suppose que $d=0$. Calculer la distance de $A$ au plan $(OBC)$.
0,25pt
Partie B : Évaluation des compétences (4,5 points)
Situation :
Pour transporter ses marchandises, une agence de location de véhicules
propose trois types de camions à Monsieur ATEBA.
Camion 1 :
Monsieur ATEBA loue chaque camion à $40\,000$ FCFA par heure
(le carburant compris) pendant toute la durée du transport,
y compris les opérations de charge et de décharge.
Camion 2 :
Monsieur ATEBA recrute un certain nombre de manœuvres
qu’il paie à $2\,000$ FCFA chacun par heure
pendant toute la durée des opérations de charge et de décharge.
Camion 3 :
Le carré de la durée des opérations de charge et de décharge
(avant et après le voyage) est inversement proportionnel
au nombre de manœuvres recrutés.
Une seule manœuvre mettrait $2$ heures pour les opérations
de charge et de décharge.
Le premier camion chargé met une heure pour rejoindre le magasin de
Monsieur ATEBA ; le deuxième camion chargé met une fraction de
$\dfrac{11}{27}$ heure pour rejoindre le magasin de Monsieur ATEBA ;
le troisième camion chargé met deux heures pour rejoindre le magasin
de Monsieur ATEBA.
Monsieur ATEBA participe aux opérations de charges et décharges
en vue de réduire ses dépenses.
Tâches
-
Déterminer le nombre de manœuvres pour lequel la dépense est minimale
lorsque Monsieur ATEBA choisit le premier camion.
1,5pt
-
Déterminer le nombre de manœuvres pour lequel la dépense est minimale
lorsque Monsieur ATEBA choisit le deuxième camion.
1,5pt
-
Déterminer le nombre de manœuvres pour lequel la dépense est minimale
lorsque Monsieur ATEBA choisit le troisième camion.
1,5pt
