Tle C : 2ème séquence en maths

EXERCICE 1 : (4,5 points)

Équation complexe et géométrie du plan

On considère dans $\mathbb{C}$ l’équation : $$ (E):\; e^{2i\theta}z^2-2z+2i\sin\theta=0 \quad \text{où } \theta\in]0;\pi[. $$

1. 1. Montrer que $1-2i\sin\theta\,e^{-i\theta}=e^{-2i\theta}$. 0,5pt
   2. Résoudre alors l’équation $(E)$. 1pt
2. Dans le plan complexe muni d’un repère $(O;\vec{u};\vec{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives $$ z_A=2e^{i\theta},\quad z_B=1+i\theta,\quad z_C=-1+e^{i\theta}. $$
   1. Écrire $z_B$ et $z_C$ sous la forme exponentielle, puis vérifier que : $$ \frac{z_C}{z_B}=i\tan\frac{\theta}{2}. $$ 1,5pt
   2. Montrer que le quadrilatère $OBAC$ est un rectangle. 1pt
   3. Déterminer $\theta$ pour que $OBAC$ soit un carré. 0,5pt

EXERCICE 2 : (5,5 points)

Géométrie dans l’espace – Cube et tétraèdre

Soit le cube $OABCDEFG$ représenté sur la figure ci-contre. L’espace est orienté par le repère orthonormal direct $(O;\vec{OA};\vec{OC};\vec{OD})$. On désigne par $a$ un réel strictement positif. Les points $I$, $M$ et $K$ sont définis par : $$ \vec{OI}=a\vec{OC},\quad \vec{OM}=a\vec{OA},\quad \vec{BK}=a\vec{BF}. $$

1. 1. Déterminer les coordonnées de $\vec{DM}\wedge\vec{DL}$. 0,5pt
   2. En déduire l’aire du triangle $DLM$. 0,5pt
   3. Démontrer que la droite $(OK)$ est orthogonale au plan $(DLM)$. 0,5pt
2. On note $H$ le projeté orthogonal de $O$ sur le plan $(DLM)$.
   1. Démontrer que $$ \vec{OM}\cdot\vec{OK}=\vec{OH}\cdot\vec{OK}. $$ 0,5pt
   2. Les vecteurs $\vec{OH}$ et $\vec{OK}$ étant colinéaires, on note $\lambda$ le réel tel que $$ \vec{OH}=\lambda\vec{OK}. $$ Démontrer que $$ \lambda=\frac{a}{a^2+2}. $$ 0,75pt
   3. En déduire que $H$ appartient au segment $[OK]$. 0,5pt
   4. Déterminer les coordonnées de $H$. 0,5pt
3. Exprimer $HK$ en fonction de $OK$. En déduire que : $$ HK=\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+2}}. $$ 1pt
4. À l’aide des questions précédentes, déterminer le volume du tétraèdre $DLMK$ en fonction de $a$. 0,75pt

Exercice 3 : (2,75 points)

Équation diophantienne

1. Résoudre dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ l’équation : $$ (E):\;2x-3y=5. $$ 0,75pt

Problème d’âges

Les âges sont exprimés en années. En 2009, un père et ses deux fils, Alain et Bosco, ont des âges respectifs $a$ et $b$, et l’âge du père est compris entre $50$ et $55$ ans.

• En 2001, l’âge du père était le double de celui d’Alain.
• En 2006, l’âge du père dépassait de trois ans le triple de l’âge de Bosco.

1. Montrer que $n$, $a$ et $b$ vérifient le système : $$ \begin{cases} n=2a-8,\\ n=3b-3. \end{cases} $$ 0,5pt
2. Vérifier que le couple $(a;-b)$ est solution de l’équation $(E)$. 0,75pt
3. Déterminer les âges $n$, $a$ et $b$ du père et de ses deux fils. 0,75pt

Problème : (7,25 points)

Étude d’une fonction

Soit la fonction définie sur $]-\infty;1]$ par : $$ f(x)=\sqrt{x^2-2x+2}+1. $$

1. Montrer que l’équation $f(x)=4x$ admet une unique solution $\alpha$, puis vérifier que $0<\alpha<1$. 1pt

Étude d’une suite définie par récurrence

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $$ u_0=\frac{1}{2} \quad \text{et} \quad u_{n+1}=\frac{1}{4}f(u_n). $$

1. Établir que pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$ 00,75pt
2. Montrer que pour tout $x\in[0;1]$ : $$ |f'(x)|\le \frac{\sqrt{2}}{2}. $$ 1pt
3. En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$ |u_{n+1}-\alpha| \le \frac{\sqrt{2}}{8}|u_n-\alpha|. $$ 0,75pt
4. Conclure que : $$ |u_n-\alpha|\le\left(\frac{\sqrt{2}}{8}\right)^n, $$ puis montrer que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite. 1,25pt

Fonction associée et bijection

On définit sur $]0;\dfrac{\pi}{2}[$ la fonction : $$ g(x)=f\!\left(1+\frac{1}{\tan x}\right). $$

1. Montrer que pour tout $x\in]0;\dfrac{\pi}{2}[$ : $$ g(x)=\frac{1}{1+\sin x}. $$ 0,75pt
2. Établir que $g$ réalise une bijection de $]0;\dfrac{\pi}{2}[$ vers $]2;+\infty[$. 0,75pt
3. Montrer que $g^{-1}$ est dérivable sur $]2;+\infty[$ et que : $$ (g^{-1})'(x)=\frac{1}{(x-1)\sqrt{x^2-2x}}. $$ 1,25pt

Exercice 1 : (3,75 points)

Équation diophantienne et suites

On considère l’équation : $$ (E):\;x^2-5y^2=1 $$ où $x$ et $y$ sont des entiers strictement positifs. Dans toute cette question, on suppose que $(x_0;y_0)$ est solution de $(E)$.

1. 1. Démontrer que $x_0$ et $y_0$ sont premiers entre eux. 0,25pt
   2. Établir que $x_0$ et $y_0$ ne sont pas de même parité. 0,25pt
   3. Démontrer qu’il existe un entier $k$ tel que : $$ x_0=5k+1 \quad \text{ou} \quad x_0=5k-1. $$ 0,25pt
2. En posant, par récurrence, $$ u_n=\frac{(9+4\sqrt{5})^n}{2}, $$ montrer que : $$ (9+4\sqrt{5})^n=a_n+b_n\sqrt{5}. $$ 0,5pt
3. Déterminer $a_1$ et $b_1$, puis exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$. 0,5pt
4. À l’aide d’une récurrence, montrer que les couples $(a_n,b_n)$ sont solutions de $(E)$. 0,5pt
5. En utilisant l’égalité $$ \frac{1}{9+4\sqrt{5}}=\frac{9-4\sqrt{5}}{1}, $$ montrer que : $$ (9-4\sqrt{5})^n=a_n-b_n\sqrt{5}. $$ 0,5pt
6. En déduire les expressions de $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$. 0,5pt

Exercice 2 : (2,5 points)

Suites complexes et applications

1. Soit $(z_n)$ la suite définie dans $\mathbb{C}$ par : $$ z_0=1+i \quad \text{et} \quad z_{n+1}=-\frac{i}{2}z_n. $$
   1. Démontrer que la suite $(v_n)$ définie par $v_n=|z_n|$ est une suite géométrique et préciser son premier terme et sa raison. 0,5pt
   2. En posant $w_n=\arg(z_n)$, montrer que la suite $(w_n)$ est arithmétique. 0,5pt
   3. Exprimer $z_n$ en fonction de $n$, puis en déduire $\arg(z_n)$ en fonction de $n$. 0,5pt
2. On considère l’application $j$ qui à tout complexe $z$ associe : $$ j(z)=\frac{1}{3\sqrt{2}}\,z. $$ On pose : $$ z_0=1,\quad z_1=j(z_0),\quad z_{n+1}=j(z_n). $$
   1. Écrire $\dfrac{1}{3\sqrt{2}}$ sous forme trigonométrique. 0,25pt
   2. Montrer par récurrence que : $$ z_n=\left(\frac{1}{3\sqrt{2}}\right)^n. $$ 0,25pt
   3. En déduire l’écriture trigonométrique de $z_n$. 0,25pt
   4. Déterminer pour quelle valeur de $n$ le nombre $z_n$ est réel. 0,25pt

Exercice 3 : (2,75 points)

Équations diophantiennes

On cherche des entiers relatifs $(x,y)$ solutions de l’équation : $$ (1):\;ax+by=60, $$ où $a$ et $b$ sont des entiers naturels non nuls et $d$ désigne le plus grand commun diviseur de $a$ et $b$.

1. En supposant que l’équation $(1)$ admet une solution $(x_0,y_0)$, montrer que $d$ divise $60$. 0,25pt
2. En supposant que $d$ divise $60$, prouver qu’il existe au moins une solution $(x_0,y_0)$ de l’équation $(1)$. 0,25pt
3. Considérer l’équation : $$ (2):\;25x+36y=60. $$
   1. Déterminer le PGCD de $25$ et $36$, puis simplifier l’équation $(2)$. 0,25pt
   2. Trouver une solution évidente de l’équation $(2)$, puis résoudre cette équation. 0,5pt
4. On note $S$ l’ensemble des couples $(x,y)$ solutions de $(2)$.
   1. Énumérer les couples $(x,y)\in S$ tels que $-10\le x\le 10$. 0,5pt
   2. Parmi eux, déterminer ceux pour lesquels $x$ et $y$ sont multiples de $5$. 0,5pt

Suite de l’exercice 3

Représentation géométrique d’un ensemble de solutions

1. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (unité graphique : $1\ \text{cm}$), représenter l’ensemble $E$ des points de coordonnées $(x,y)$ tels que : $$ \begin{cases} x = 1 + 3t,\\ y = 1 - 2t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}. $$ 0,25pt
2. Montrer que les points ayant pour coordonnées les solutions $(x,y)$ de l’équation $(2)$ appartiennent à $E$. 0,25pt
3. Identifier et caractériser l’ensemble $S$. 0,25pt

Exercice 4 : (1 point)

Transformations du plan complexe

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère l’application $F$ qui, à tout point $M$ d’affixe $z$, associe le point $M'$ d’affixe : $$ z' = uz + u - 1, $$ où $u$ désigne un nombre complexe.

1. Déterminer l’ensemble des nombres complexes $u$ pour lesquels $F$ est une rotation d’angle $\dfrac{\pi}{2}$, puis caractériser $F$ pour chacune des valeurs obtenues. 0,25pt
2. Rechercher les nombres complexes $u$ pour lesquels $F$ est une homothétie de rapport $-2$, et préciser ses éléments caractéristiques. 0,25pt
3. Caractériser l’application $F$ lorsque $u=1-i$. 0,5pt

Problème : (10 points)

Partie A : Limites

1. Calculer la limite suivante : $$ \lim_{x\to1}\frac{\sqrt{2x}-4}{\sqrt{x+1}-3}. $$
2. Déterminer : $$ \lim_{x\to+\infty}\big(\sqrt{x^2+4x+3}-2x\big). $$
3. Évaluer : $$ \lim_{x\to0}(x^2-2\sin x). $$
4. Calculer : $$ \lim_{x\to0}\left(\frac{2x+\sin x}{x}\right). $$ 1,5pt

Partie B : Étude de fonctions

On considère les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $$ f(x)=\frac{2x^3+3}{x^2-1} \quad \text{et} \quad g(x)=x^3-3x-3. $$

1. Étudier la variation de $g$ et montrer qu’elle admet dans $\mathbb{R}$ une unique solution notée $\alpha$. 0,5pt
2. Encadrer $\alpha$ et montrer que $2{,}10<\alpha<2{,}11$. 0,5pt
3. Déterminer le signe de $g$ sur $\mathbb{R}$. 0,5pt
4. Étudier les branches infinies de la courbe de $f$. 1pt

Fonction auxiliaire et bijection

On définit la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$ par : $$ h(x)=x+\frac{1}{x}. $$ On note $(C)$ sa courbe représentative.

1. Montrer que $(C)$ admet deux asymptotes horizontales. 0,5pt
2. Déterminer le domaine de définition et les variations de $h$. 0,5pt
3. Établir que $h$ réalise une bijection sur un intervalle $K$ que l’on précisera. 0,5pt
4. Résoudre l’équation $h(x)=\alpha$ et montrer qu’elle admet une solution unique $\beta\in[-1;0[$. 0,5pt
5. En déduire que $\forall x\in\mathbb{R}$, $$ h(x)+\frac{1}{x}\ge \frac{1}{2}, $$ puis calculer la limite de $h$. 0,5pt
6. Tracer sur un même repère les courbes $(C)$ et $(C')$ associées à $h$ et $h^{-1}$. 0,5pt

Partie C : Étude de polynômes

On considère le polynôme : $$ v(x)=x^3-px-q, $$ où $p$ et $q$ sont deux réels positifs.

1. Montrer que si $\Delta<0$, alors $v$ s’annule trois fois sur $\mathbb{R}$. 0,5pt
2. Examiner le cas où $v$ admet une racine double. 0,5pt
3. En posant $u(x)=x^2-5$ et $w(x)=\dfrac{3}{x}$, montrer que les courbes associées se coupent en trois points. 0,75pt

Exercice 1 : (3,5 points)

Arithmétique – Divisibilité et PGCD

Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs non nuls. On désigne par $E$ l’ensemble des entiers relatifs $z$ tels qu’il existe deux entiers relatifs $x$ et $y$ vérifiant : $$ z=ax+by. $$

1. Démontrer que $E$ contient au moins deux entiers naturels non nuls. 0,25pt
2. On note $d$ le plus petit entier naturel de $E$.
   1. Établir que tout multiple de $d$ appartient à $E$. 0,25pt
   2. Montrer que pour tout élément $z$ de $E$, on peut envisager la division euclidienne de $z$ par $d$. 0,25pt
   3. En déduire que $E$ est l’ensemble des multiples de $d$. 0,25pt
   4. Déterminer ce que représente $d$ par rapport à $a$ et $b$. 0,25pt
3. Application numérique : démontrer que l’ensemble des entiers relatifs de la forme : $$ z=9801x+11664y,\quad (x,y)\in\mathbb{Z}^2 $$ est égal à l’ensemble des multiples de $81$. 0,5pt
4. Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l’équation : $$ 9801x+11664y=81. $$ 1pt

Exercice 2 : (4,5 points)

Équations diophantiennes et géométrie du plan

On cherche des entiers relatifs $x$ et $y$ solutions de l’équation : $$ (1):\;ax+by=60, $$ où $a$ et $b$ sont des entiers naturels non nuls. On note $d$ le plus grand commun diviseur de $a$ et $b$.

1. Supposant que l’équation $(1)$ admet une solution $(x_0,y_0)$, montrer que $d$ divise $60$. 0,5pt
2. En supposant que $d$ divise $60$, prouver qu’il existe au moins une solution $(x_0,y_0)$ de l’équation $(1)$. 0,25pt
3. On considère l’équation : $$ (2):\;24x+36y=60. $$
   1. Déterminer le PGCD de $24$ et $36$ puis simplifier l’équation $(2)$. 0,5pt
   2. Trouver une solution évidente de $(2)$ et résoudre cette équation. 0,75pt
4. On note $S$ l’ensemble des couples $(x,y)$ solutions de $(2)$.
   1. Énumérer les couples $(x,y)\in S$ tels que $-10\le x\le 10$. 0,5pt
   2. Parmi eux, préciser ceux pour lesquels $x$ et $y$ sont des multiples de $5$. 0,5pt
5. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (unité graphique : $1\ \text{cm}$), représenter l’ensemble $E$ des points $M(x,y)$ tels que : $$ \begin{cases} x=1+3t,\\ y=1-2t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}. $$ 0,25pt
6. Montrer que les points ayant pour coordonnées les solutions $(x,y)$ de l’équation $(2)$ appartiennent à $E$. 0,25pt
7. Caractériser l’ensemble $S$. 0,25pt
8. On considère les points $A(1,1)$ et $B(-2,3)$.
   1. Déterminer l’ensemble $F$ des points $M$ du plan de coordonnées entières tels que le triangle $ABM$ soit rectangle en $A$. 0,5pt
   2. Déduire que $F$ est un cercle de centre $A$. 0,25pt

Exercice 3 : (3 points)

Géométrie dans l’espace

On considère quatre points de l’espace : $$ A(4,1,5),\; B(-3,2,0),\; C(1,3,6),\; D(-7,0,4). $$

1. Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan $(P)$. 0,5pt
2. Montrer que le plan $(P)$ admet une équation cartésienne. 0,5pt

Suite de l’exercice 3

1. Déterminer l’équation cartésienne du plan $(P)$. 0,75pt
2. Déterminer la distance du point $F$ au plan $(P)$. 0,25pt
3. Le but de cette question est de calculer cette distance par une autre méthode.
   1. On appelle $\Delta$ la droite qui passe par le point $F$ et est perpendiculaire au plan $(P)$.
   2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. 0,25pt
   3. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal de $F$ sur le plan $(P)$. 0,25pt
   4. Retrouver le résultat de la question 1.b. 0,25pt
4. Soit $S$ la sphère de centre $A$ et de rayon $6$.
   1. Justifier que le point $B$ appartient à la sphère $S$. 0,25pt
   2. Préciser le centre et déterminer le rayon du cercle $C$, intersection de la sphère $S$ et du plan $(P)$. 1pt

Exercice 4 : (4 points)

Étude de fonction et asymptotes

On considère la fonction numérique $u$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ u(x)=\sqrt{x^2+1}-x $$ et on désigne par $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Déterminer la limite de $u$ en $-\infty$. 0,25pt
2. Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$ : $$ u(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}. $$ En déduire la limite de $u$ en $+\infty$. 0,25pt
3. Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $$ u'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}-1, $$ puis étudier le signe de $u'(x)$. 0,25pt
4. Interpréter graphiquement ces résultats. 0,25pt
5. Montrer que la dérivée de la fonction $v$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ v(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} $$ est strictement positive. 0,5pt
6. Tracer la courbe $(C)$ et son asymptote oblique. 0,75pt

Partie B : Évaluation des compétences (5 points)

Codage et décodage d’un message

Pour coder un message, on procède de la manière suivante : à chacune des $26$ lettres de l’alphabet, on associe un entier de l’ensemble $\{0;1;2;\ldots;24;25\}$.

Un message est alors codé en associant à chaque lettre le reste de la division euclidienne de $ap+b$ par $26$, où $p$ est le code de la lettre considérée.

Exemple : pour coder la lettre P, on effectue les opérations suivantes :

• Étape 1 : on associe le nombre $15$ à la lettre P.
• Étape 2 : le reste de la division de $2\times15+3=33$ par $26$ est $7$.
• Étape 3 : on associe $7$ à la lettre H.

Le message codé est donc la lettre H. Dans toute la suite de l’exercice, on prend $a=5$ et $b=2$.

1. Décoder la lettre E. 1pt
2. Décoder la lettre P. 1pt
3. Coder l’expression « AVINTIME ». 3pt

Exercice 1 : (5 points)

Limites, fonctions et prolongements

1. Calculer les limites suivantes :
   1. $$ \lim_{x\to+\infty}\big(\sqrt{x^2-2x+x}\big) $$
   2. $$ \lim_{x\to0}\frac{\cos(2x)-1}{x} $$
   3. $$ \lim_{x\to+\infty}\frac{\cos x+\sin x}{x^2} $$
   1,5pt
2. Étudier les branches infinies de la représentation graphique de la fonction définie par : $$ g(x)=e^{3x-2}-x+2. $$ 1pt
3. On considère la fonction $g$ définie par : $$ g(x)=\frac{\sqrt{3x^2+1}-2}{x-1}. $$
   1. Déterminer le domaine de définition de $g$. 0,25pt
   2. La fonction $g$ est-elle prolongeable par continuité en $1$ ? Si oui, définir son prolongement $G$. 0,25pt
4. On considère la fonction $h$ définie par : $$ h(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-2. $$
   1. Montrer que l’équation $h(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[1;2]$. 0,75pt
   2. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$. 0,5pt

Exercice 2 : (2,5 points)

Récurrence et nombres premiers

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul $n$, il existe deux entiers naturels $a_n$ et $b_n$ tels que : $$ (1+\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2}. $$ 1pt
2. Exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$. 0,25pt
3. En déduire que pour tout entier naturel non nul $n$, $a_n$ et $b_n$ sont premiers entre eux. 1pt

Exercice 3 : (2,5 points)

Équations diophantiennes

1. Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l’équation : $$ (d):\;31x-7y=-5. $$ 1pt
2. Soit $N$ un entier naturel.
   • Dans la division euclidienne de $N$ par $7$, le quotient est $q$ et le reste est $2$.
   • Dans la division euclidienne de $N$ par $31$, le quotient est $q'$ et le reste est $7$.
   1. Montrer que le couple $(q,q')$ est solution de l’équation $(d)$. 1pt
   2. En déduire la forme générale de l’entier $N$. 0,5pt

Problème : (10 points)

Partie A : (3 points)

Soit la fonction $h$ définie par : $$ h(x)=x^2-32\sqrt{x}+31. $$

1. En posant : $$ g(x)=\frac{h(x)}{x^2}, $$ calculer la limite de $g$ en $+\infty$, puis celle de $h$ en $+\infty$. 1pt
2. Étudier les variations de $h$ et dresser son tableau de variations. 0,75pt
3. Montrer que l’équation $h(x)=0$ admet exactement deux solutions, dont l’une est entière et l’autre vérifie : $$ 7{,}5<\alpha<7{,}6. $$ 0,75pt
4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation : $$ h(x)<0. $$ 0,5pt

Partie B : (3,5 points)

Lieux géométriques dans le plan complexe

À tout nombre complexe $z$ distinct de $i$, on associe le nombre complexe $Z$ défini par : $$ Z=\frac{2z-4}{z-i}. $$ On pose $z=x+iy$ avec $(x,y)\in\mathbb{R}^2$.

1. Montrer que : $$ \Re(Z)=\frac{2x^2+2y^2-4x-2y}{x^2+(y-1)^2} \quad \text{et} \quad \Im(Z)=\frac{2x+4y-4}{x^2+(y-1)^2}. $$ 1pt
2. Déterminer l’ensemble $(C)$ des points $M(z)$ tels que $Z$ soit réel. 0,75pt
3. Déterminer l’ensemble $(D)$ des points $M(z)$ tels que $Z$ soit imaginaire pur. 0,75pt
4. Déterminer l’ensemble $(\Delta)$ des points $M(z)$ tels que $|Z|=2$. 1pt

Partie C : (4,5 points)

Nombres complexes et géométrie du triangle

On pose : $$ a=\sqrt{3}+i,\quad b=-1+i\sqrt{3},\quad c=-2i \quad \text{et} \quad h=a+b+c. $$

1. Donner la forme trigonométrique de chacun des nombres complexes $a$, $b$ et $c$. 0,75pt
2. Soient les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives $a$, $b$ et $c$.
   1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{u};\vec{v})$ (prendre une unité graphique adaptée). 1pt
   2. Démontrer que $H$ est l’orthocentre du triangle $ABC$. 1pt
   3. On note $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$. Déterminer l’affixe de $G$. 0,5pt
   4. Démontrer que les points $O$, $H$ et $G$ sont alignés. 0,5pt
   5. On désigne par $K$ le symétrique de $H$ par rapport au milieu du segment $[AC]$. Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $K$ sont cocycliques. 0,75pt

Exercice 1 : (8 points)

Suites numériques et congruences

1. On considère, pour tout $n\in\mathbb{N}$, la suite $(u_n)$ d’entiers naturels définie par : $$ \begin{cases} u_0=14,\\ u_{n+1}=5u_n-6. \end{cases} $$
   1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$, puis émettre une conjecture concernant les deux derniers chiffres de $u_n$. 0,5pt
   2. Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}$, $u_{n+2}\equiv u_n\ [4]$, puis en déduire que $\forall k\in\mathbb{N}$ : $$ u_{2k}\equiv2\ [4] \quad \text{et} \quad u_{2k+1}\equiv0\ [4]. $$ 0,5pt+0,25pt+0,25pt
   3. Montrer par récurrence que $\forall n\in\mathbb{N}$ : $$ 2u_n=5^{\,n+2}+3, $$ puis en déduire que : $$ 2u_n\equiv28\ [100]. $$ 0,5pt+0,25pt+0,25pt
   4. Déterminer les deux derniers chiffres de l’écriture décimale de $u_n$ suivant les valeurs de $n$. 0,25pt+0,25pt
   5. Montrer que le $\mathrm{PGCD}(u_n,u_{n+1})$ est constant et préciser sa valeur. 0,5pt+0,5pt
2. Il s’agit de résoudre dans $\mathbb{Z}$ le système : $$ (S): \begin{cases} n\equiv13\ [19],\\ n\equiv6\ [12]. \end{cases} $$
   1. Montrer qu’il existe un couple $(u,v)\in\mathbb{Z}^2$ tel que $19u+12v=1$. 0,5pt
   2. Montrer que le nombre $N=13\times12+6\times19u$ est une solution de $(S)$. 0,5pt
   3. Soit $n_0$ une solution de $(S)$. Vérifier que le système $(S)$ est équivalent à : $$ \begin{cases} n\equiv n_0\ [19],\\ n\equiv n_0\ [12]. \end{cases} $$ 0,5pt
   4. Montrer que le système précédent est équivalent à : $$ n\equiv n_0\ [12\times19]. $$ 0,5pt
   5. Trouver un couple $(u,v)$ solution de $19u+12v=1$ et calculer la valeur correspondante de $N$. 0,5pt+0,5pt
   6. Déterminer l’ensemble des solutions de $(S)$ et en donner une écriture paramétrique. 0,5pt
   7. Un entier naturel $n$ laisse comme reste $6$ dans la division par $12$ et $13$ dans la division par $19$. On divise $n$ par $228=12\times19$. Déterminer le reste de cette division. 0,75pt

Exercice 2 : (6,25 points)

Géométrie dans l’espace

Dans l’espace muni du repère orthonormal direct $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les points : $$ A(4,0,0),\; B(2,4,0),\; C(0,6,0),\; S(0,0,4),\; E(6,0,0),\; F(0,8,0). $$

1. Réaliser une figure en complétant les points nécessaires. 0,5pt
2. Montrer que $E$ est le point d’intersection des droites $(BC)$ et $(OA)$. 0,5pt
3. On admettra que $F$ est le point d’intersection des droites $(AB)$ et $(OC)$.
   1. Déterminer les coordonnées du produit vectoriel $\vec{SE}\wedge\vec{EF}$. 0,5pt
   2. En déduire les coordonnées du vecteur normal $\vec{n}$ au plan $(SEF)$. 0,5pt
   3. Calculer les coordonnées du point $A'=\mathrm{bar}\big((A,1),(S,3)\big)$. 0,5pt
   4. Considérer le plan $(P)$ parallèle au plan $(SEF)$ et passant par $A'$. Vérifier qu’une équation cartésienne de $(P)$ est : $$ 4x+3y+6z-22=0. $$ 0,5pt

Suite de l’exercice 2

Géométrie dans l’espace – Section d’une pyramide

4. Le plan $(P)$ coupe les arêtes $[SE]$, $[SA]$, $[SB]$ et $[SC]$ de la pyramide $SEABC$ respectivement aux points $O'$, $A'$, $B'$ et $C'$. 0,5pt
5. Déterminer les coordonnées de $O'$. 0,5pt
6. Vérifier que $C'$ a pour coordonnées : $$ \left(0\; ;\; 2\; ;\; \frac{8}{3}\right). $$ 0,5pt
7. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(SB)$, puis en déduire les coordonnées du point $B'$. 1pt
8. Prouver que le quadrilatère $O'A'B'C'$ est un parallélogramme. 0,5pt

Problème : (8 points)

Les parties A et B sont dépendantes

Partie A : (3,5 points)

Soit la fonction définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par : $$ f(x)=\int_{1}^{x}\frac{\ln t}{t}\,dt. $$ On désigne par $(C_f)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$.

1. Justifier que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et calculer $f'(x)$. 0,5pt
2. Pour $x>0$, calculer : $$ \int_{1}^{x}\frac{\ln t}{t}\,dt $$ à l’aide d’une intégration par parties. 0,5pt
3. 1. Montrer que pour tout $t\ge1$ : $$ \frac{1}{2t}\le\frac{\ln t}{t}\le\frac{1}{t}. $$ 0,25pt
   2. En déduire que pour tout $x\ge1$ : $$ \frac{1}{2}(x-1)\le f(x)\le \ln x. $$ 0,25pt
   3. Montrer que : $$ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty. $$ 0,25pt
4. Soit la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par : $$ g(x)=f(x)-\ln x. $$
   1. Déterminer le signe de $g(x)$ pour $x>0$. 0,5pt
   2. Étudier la limite de $g(x)$ lorsque $x\to+\infty$. 0,5pt
   3. En déduire l’allure de la courbe $(C_f)$. 0,5pt

Partie B : (4,5 points)

1. Pour tout entier naturel $n$, on pose : $$ u_n=\int_{0}^{1}x^n\ln(1+x)\,dx. $$
   1. Montrer que : $$ 0\le u_n\le \frac{\ln2}{n+1}. $$ 0,25pt
   2. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite. 0,25pt
   3. En remarquant que pour tout $x\in[0;1]$ : $$ \frac{x^n}{n+1}=x^{n+1}-\frac{1}{n+1}, $$ calculer : $$ \int_{0}^{1}\frac{x^n}{n+1}\,dx $$ à l’aide d’une intégration par parties. 0,5pt
2. Pour tout $x\in]0;1[$ et pour tout $n\ge0$, on pose : $$ S_n(x)=1-x+x^2-\cdots+(-1)^nx^n. $$
   1. Montrer que : $$ S_n(x)=\frac{1-(-x)^{n+1}}{1+x}. $$ 0,25pt
   2. Montrer que : $$ 1-\frac{1}{2^{n+1}} = \int_{0}^{1}\frac{1-(-x)^{n+1}}{1+x}\,dx. $$ 0,75pt
   3. En déduire que : $$ u_n=\frac{\ln2}{n+1} \left[ 1-\frac{1}{2^{n+1}} \right]. $$ 1pt
   4. En déduire la valeur exacte de : $$ \int_{0}^{1}\frac{x^n\ln(1+x)}{n+1}\,dx. $$ 0,75pt
3. Déterminer : $$ \lim_{n\to+\infty} \left( 1-\frac{1}{2^{n+1}} \right). $$ 0,75pt

Exercice 1 : (5,75 points)

Suites, récurrence et arithmétique

On considère les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ définies par $\forall n\in\mathbb{N}$ :

$$ \begin{cases} x_0=1,\; y_0=8,\\ x_{n+1}=\dfrac{2}{3}x_n+\dfrac{1}{3}y_n-1,\\ y_{n+1}=\dfrac{2}{3}x_n+\dfrac{1}{3}y_n-2. \end{cases} $$

1. Montrer par récurrence que les points $M_n(x_n,y_n)$ sont sur la droite $(\Delta)$ d’équation : $$ 5x-y+3=0. $$ 0,75pt
2. Donner l’expression de $x_{n+1}$ en fonction de $x_n$ et de $y_n$. 0,5pt
3. Montrer par récurrence que $x_n\in\mathbb{N}$. En déduire que $y_n\in\mathbb{N}$. 0,5pt
4. Montrer que $x_n\equiv0\ [3]$ et $y_n\equiv0\ [3]$. 0,5pt
5. Montrer par récurrence que : $$ x_n=\frac{1}{3}\big(4^n\times5-2\big). $$ 1pt
6. Déterminer quatre entiers naturels $a$, $b$, $c$ et $d$ tels que : $$ \frac{142}{3}=a+\frac{b}{5}+\frac{c}{5^2}+\frac{d}{5^3}. $$ 1pt
7. Soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $n\ge2$. Démontrer que : $$ \sum_{k=0}^{n}k(k+1)=(n+1)!-1. $$ 0,75pt
8. On donne : $$ A=\frac{(2n-1)(2n+3n-1)}{2n-1}. $$ Montrer que $n+2$ divise $2n-1$ si et seulement si $n+2$ divise $5$. 0,75pt
9. On définit $E=\{n\in\mathbb{N}\;:\;n=ababab,\;a\neq0,\;a,b\in\{0,1,\ldots,9\}\}$. Montrer que $n$ est un multiple de $1001$. 0,75pt

Exercice 2 : (4,25 points)

Transformations dans le plan complexe et suites

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{u};\vec{v})$. On prendra pour unité graphique $2\ \text{cm}$. On considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d’affixes respectives $z_A=1$, $z_B=1+2i$, $z_C=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{6}}$ et $z_D=3+2i$.

On transforme $A$ en $B$ et $C$ en $D$. Soit $M$ un point d’affixe $z$ et $M'$ d’affixe $z'$ son image par $s$.

1. Exprimer $z'$ en fonction de $z$, puis donner les éléments caractéristiques de $s$. 1pt
2. On considère, pour tout $n\in\mathbb{N}$, la suite $(u_n)$ définie par : $$ \begin{cases} u_0=0,\\ u_{n+1}=2u_n+1. \end{cases} $$
   1. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. 0,5pt
   2. Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}$, $u_n\in\mathbb{N}$. 0,25pt
   3. Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}$, $u_n$ et $u_{n+1}$ sont premiers entre eux. 0,25pt
   4. Interpréter géométriquement le cas $u_n=2^n-1$ en utilisant la similitude $s$. 0,25pt
   5. Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}$ : $$ u_n\,p^n \in \mathbb{N}^* \quad \text{avec} \quad p=\frac{1}{2}. $$ 0,25pt
   6. Démontrer que pour tout $n\ge1$ : $$ \gcd(u_n,u_{2n})=1 \quad \text{et} \quad \gcd(u_n,u_{2n+1})=\gcd(u_n,u_{n+1}). $$ 0,75pt
   7. Déterminer le $\mathrm{PGCD}(u_{2012},u_{2015})$. 0,75pt

Exercice 3 : (5 points)

Congruences et suites

Soit $n$ un entier naturel. On considère : $$ A_n=2^n+2^{2n}+2^{3n}. $$

1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ : $$ A_{n+3}\equiv A_n\ [7]. $$ 0,5pt

Suite de l’exercice 3

Congruences, divisibilité et équations

2. En déduire l’ensemble des entiers naturels $n$ tel que $A_n$ soit divisible par $7$. 0,5pt
3. Soit les entiers naturels $a$, $b$ et $c$ tels que : $$ a=1110,\quad b=1001011,\quad c=1001001000 $$ (ces nombres sont en base deux). Ces nombres sont-ils divisibles par $7$ ? 0,75pt
4. Déterminer tous les diviseurs de : $$ 4625 \quad \text{et} \quad 440. $$ 0,5pt
5. Déterminer tous les couples $(a,b)\in\mathbb{N}^2$ solutions du système : $$ \begin{cases} a+b=4625,\\ \mathrm{PPCM}(a,b)=440. \end{cases} $$ 1,25pt
6. Soit $N$ un entier naturel.
   1. Montrer que $N^2\equiv1\ [8]$. 0,5pt
   2. Montrer que si $N$ est impair, alors $N^2\equiv1\ [8]$. 0,5pt
   3. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l’équation : $$ x^2=8y+1. $$ 1pt

Problème : (9 points)

Partie A

Soit $g$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par : $$ g(x)=\frac{x^2}{x+1}. $$ On considère l’équation : $$ (E):\;g(x)=1-\frac{1}{\sqrt{x}}. $$

1. Prouver que l’équation $(E)$ admet une solution unique $\alpha\in]1;2[$. 0,75pt
2. Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près par dichotomie. 0,75pt
3. Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par : $$ f(x)=1-x-\frac{1}{\sqrt{x}}. $$
   1. Montrer que $\forall x>0$, $f(x)\le0$. 0,75pt
   2. Montrer que pour tout $x\in]1;+\infty[$ : $$ |f'(x)|\le \frac{1}{2}. $$ 0,5pt
   3. En déduire que pour tout $x\in]1;+\infty[$ : $$ |f(x)-f(\alpha)|\le \frac{1}{2}|x-\alpha|. $$ 0,5pt
4. On pose pour tout entier naturel $n$ : $$ u_{n+1}=f(u_n). $$
   1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ : $$ |u_{n+1}-\alpha|\le \frac{1}{2}|u_n-\alpha|. $$ 0,75pt
   2. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $$ |u_n-\alpha|\le\left(\frac{1}{2}\right)^n. $$ 0,75pt
   3. Conclure que la suite $(u_n)$ converge vers $\alpha$. 0,5pt

Partie B : (5,75 points)

Dans l’espace muni du repère orthonormal direct $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les points : $$ A(4,0,0),\; B(2,4,0),\; C(0,6,0),\; S(0,0,4),\; E(6,0,0),\; F(0,8,0). $$ On complètera la figure au fur et à mesure.

1. Montrer que $E$ est le point d’intersection des droites $(BC)$ et $(OA)$. 0,5pt
2. On admettra que $F$ est le point d’intersection des droites $(AB)$ et $(OC)$.
   1. Déterminer les coordonnées du produit vectoriel $\vec{SE}\wedge\vec{EF}$. 0,5pt
   2. En déduire une équation cartésienne du plan $(SEF)$. 0,5pt
   3. Calculer les coordonnées du point $A'=\mathrm{bar}\big((A,1),(S,3)\big)$. 0,5pt
   4. Considérer le plan $(P)$ parallèle au plan $(SEF)$ et passant par $A'$. Vérifier qu’une équation cartésienne de $(P)$ est : $$ 4x+3y+6z-22=0. $$ 0,5pt
3. Le plan $(P)$ coupe les arêtes $[SE]$, $[SA]$, $[SB]$ et $[SC]$ de la pyramide $SEABC$ respectivement aux points $O'$, $A'$, $B'$ et $C'$.
   1. Déterminer les coordonnées de $O'$. 0,5pt
   2. Vérifier que $C'$ a pour coordonnées : $$ \left(0\; ;\; 2\; ;\; \frac{8}{3}\right). $$ 0,5pt
   3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(SB)$, puis en déduire les coordonnées du point $B'$. 1pt
   4. Prouver que le quadrilatère $O'A'B'C'$ est un parallélogramme. 0,5pt

Exercice 1 : (3 Points)

Identités et divisibilité

1. Démontrer que $\forall a,b\in\mathbb{C}^*$ et $\forall n\in\mathbb{N}^*$ : $$ (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{\,n-k}. $$ 1pt
2. Établir que $\forall a,b\in\mathbb{C}^*$ et $\forall n\in\mathbb{N}^*$ : $$ a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{\,n-k-1}b^{\,k}. $$ 0,5pt
3. Déterminer le chiffre des unités de $3\times10^n-1$ en fonction de $n\in\mathbb{N}^*$. 0,75pt
4. Démontrer que $\forall n\in\mathbb{N}$, $23^n+1$ est divisible par $3^n$. 0,75pt

Exercice 2 : (3,5 Points)

Équations polynomiales

1. On pose $Q(z)=2z^4-6z^3+9z^2-6z+2$ et $(E):Q(z)=0$.
   1. Après avoir vérifié que $Q(1)=0$ n’est pas une solution de $(E)$, justifier que $z_0=\dfrac12$ est une solution de $(E)$. 0,75pt
   2. Justifier que $1+i$ est une solution de $(E)$ et en déduire une résolution entière de $(E)$ dans $\mathbb{C}$. 1pt
2. On considère l’équation $(E'):\ a z^4+b z^3+c z^2+b z+a=0$ où $a,b,c\in\mathbb{C}$ et $a\ne0$.
   1. Déterminer les quadruplets de complexes $(a,b,c)$ pour lesquels l’équation $(E')$ est équivalente à $$ (E''):\ a\left(z+\frac1z\right)^2+b\left(z+\frac1z\right)+c-2a=0. $$ 0,5pt
   2. Déduire dans $\mathbb{C}$ une résolution de $(E')$ par une méthode autre que celle de 1.b). 1,25pt

Exercice 3 : (3,5 Points)

Arithmétique modulaire et codage

1. Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l’équation $23x-26y=1$, puis déterminer $t\in\mathbb{Z}$ tel que $0\le t\le25$ et $23t\equiv1\ [26]$. 1pt
2. On veut coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante :

   Étape 1 : Les lettres $A,B,C,\ldots,X,Y,Z$ sont respectivement remplacées par $0,1,2,\ldots,23,24,25$. On obtient un couple $(x_1;x_2)$ où $x_1$ et $x_2$ sont les entiers correspondant respectivement à la première puis à la deuxième lettre du mot.

   Étape 2 : $(x_1;x_2)$ est transformé en $(y_1;y_2)$ tel que : $$ (S_1)\ \begin{cases} y_1\equiv11x_1+3x_2\ [26]\\ y_2\equiv7x_1+4x_2\ [26] \end{cases} \qquad 0\le y_1\le25,\ 0\le y_2\le25. $$

   Étape 3 : $(y_1;y_2)$ est transformé en un mot par l’étape 1. Exemple : $OR\leftrightarrow(14;10)\leftrightarrow(28;8)\leftrightarrow CI$.

   1. Coder le mot EU. 0,75pt
   2. On veut déterminer la procédure de décodage d’un mot codé. Montrer que tout couple $(x_1;x_2)$ vérifiant $(S_1)$ vérifie aussi : $$ (S_2)\ \begin{cases} 23x_1\equiv4y_1+23y_2\ [26]\\ 23x_2\equiv19y_1+11y_2\ [26] \end{cases} $$ 0,75pt

Suite de l’exercice 3

3. Déduire de 1.a que tout couple $(x_1;x_2)$ vérifiant $(S_1)$ vérifie aussi : $$ \begin{cases} x_1\equiv16y_1+4y_2\ [26]\\ x_2\equiv11y_1+5y_2\ [26] \end{cases} $$ et que tout couple $(x_1;x_2)$ vérifiant $(S_2)$ vérifie aussi $(S_1)$. 0,75pt
4. Démontrer le mot OK. 0,5pt

PROBLEME : (10 Points)

PARTIE A : (5 Points)

Soit $ABCD$ un carré de sens direct. $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[AC]$ et $[AJ]$.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques des applications $S_{ABD}$ et $T$ définies par : $$ \begin{cases} T(A)=\dfrac{A+B}{2},\quad T(B)=\dfrac{B+C}{2},\quad T(C)=\dfrac{C+A}{2}\\ S_{ABD}(X)=R_{ABD}\circ S_{ABD}\circ R_{ABD}^{-1}(X) \end{cases} $$ 0,25pt×4 + 0,5pt×2 = 2pts
2. Soit $f$ la similitude directe d’axe $AI$ et de centre $A$ telle que $f(A)=I$ et $f(B)=J$.
   1. Déterminer le rapport et l’angle de $f$. 0,5pt
   2. Déterminer $(C)$ et $f(D)$. 0,5pt
   3. Construire avec précision le centre $O$ de $f$. 0,5pt

PARTIE B : (2,5 Points)

1. Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l’équation $35x-27y=2$. 0,5pt
2. On astronomes observent le 2 novembre 2019 un corps céleste $A$ qui apparaît tous les $105$ jours. Le 8 novembre 2019, ils observent le même corps céleste $B$ qui apparaît tous les $81$ jours.
   1. Déterminer le premier jour de rencontre simultanée des deux corps $A$ et $B$. 1pt
   2. Si l’astronome marque ces rendez-vous, quand pourra-t-il revoir simultanément pour la prochaine fois les deux corps ? 0,5pt

PARTIE C : (4 Points)

On considère l’application $g$ du plan dans lui-même d’expression analytique : $$ \begin{cases} x'=-2x+2y-9\\ y'=-2x-2y+7 \end{cases} $$ Soit $(D)$ l’ensemble des points $M(z)$ tels que $|z+1-i|=|z-2+i|$.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $g$. 1pt
2. Caractériser $(D)$ et son image $(D')$ par $g$. 1pt
3. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose $$ M_0(3i),\quad M_n(z_n)\ \text{tel que}\ z_{n+1}=(-2-2i)z_n-9+7i $$ et on note $d_n=M_{n+1}M_n$.
   1. Placer $M_0$ et $M_1$ dans un repère orthonormé complexe. 0,5pt
   2. Soit $N\in\mathbb{N}$. Exprimer $z_n$ en fonction de $n$. 0,25pt
   3. Soit $N\in\mathbb{N}$. Calculer $d_n$ en fonction de $n$, puis en déduire la longueur $L_n$ de la ligne brisée joignant les points $M_0,M_1,\ldots,M_n$. 0,25pt
   4. Démontrer que $\forall n\in\mathbb{N}$, $$ L_n=(2\sqrt2)^n\,|z_1-z_0|+1+3i. $$ 0,75pt