Tle C : 1ère séquence en maths

Exercice 1 : (6 points)

Logique, fonctions et arithmétique

1. Donner la négation de chacune des propositions suivantes :
   1. Dans toutes les prisons, tous les détenus détiennent au moins un gardien de prison. 0,5pt
   2. Pour tout réel $x\ge 0$, il existe $a>0$ tel que $|x-a|<4$. 0,5pt
2. On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ par : $$ f(x)=\frac{x}{x-2}. $$
   1. Déterminer $f'(x)$, puis $(f')'$ et donner respectivement la dérivée première et la dérivée seconde de $f$. 0,5pt
   2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n$ : $$ f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n-1}n!}{(x-2)^{n+1}}. $$ 0,75pt
3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ :
   1. $3^{n+2}+2^{n+3}$ est divisible par $7$. 0,75pt
   2. $3^{2n+1}+2^{5n+1}$ est divisible par $11$. 0,75pt
4. Déterminer l’ensemble des diviseurs entiers naturels de $2^8\cdot3^2\cdot7^2$. 0,75pt
5. Déterminer tous les couples $(x,y)$ d’entiers relatifs tels que : $$ x^2-y^2=3^2\times7^2. $$ 0,75pt
6. Déterminer un entier naturel non nul $n$ qui s’écrit : $$ n=xyz^2=zwy^4, $$ où $x,y,z,w$ sont des entiers naturels non nuls. 0,75pt

Exercice 2 : (5,75 points)

Arithmétique modulaire

1. Déterminer les entiers relatifs $n$ tels que $n+1$ soit un diviseur de $7n+13$. 0,5pt
2. Soit $n$ un entier relatif, on pose : $$ 9n+4=y^2=2n-1. $$
   1. Montrer que tout diviseur commun à $n$ et $y$ est un diviseur de $17$. 0,5pt
   2. En déduire les valeurs possibles de $n$ et de $y$. 0,5pt
3. Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs non nuls. Montrer que si $a$ et $b$ sont des diviseurs de $c$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $ab$ est un diviseur de $c$. 0,5pt
4. Démontrer que, pour tout entier $z$ : $$ z^2(z^2-1)\ \text{est un multiple de }12. $$ 0,5pt
5. Soient $a$ et $b$ des entiers relatifs.
   1. Démontrer que si $a\equiv b\,[17]$, alors $a\equiv b\,[17]$ ou $a\equiv16\,[17]$. 0,5pt
   2. En déduire que si $a^2\equiv1\,[17]$, alors $a\equiv1\,[17]$ ou $a\equiv16\,[17]$. 0,5pt
6. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l’équation : $$ 13x-7y=4. $$ 0,75pt
7. En déduire l’ensemble des nombres entiers relatifs $z$ tels que : $$ \begin{cases} z\equiv1\,[13],\\ z\equiv5\,[7]. \end{cases} $$ 0,75pt
8. Un nombre entier $N$ laisse un reste $1$ dans la division par $13$ et un reste $5$ dans la division euclidienne par $7$. Quel est le reste de la division euclidienne de $N$ par $91$ ? 0,5pt
9. Moji a entre $300$ et $500$ billes. Si fait tas de $9$, il reste $3$ billes. S’il fait des tas de $13$ billes, il reste $5$ billes. Déterminer le nombre de billes de Moji. 0,5pt

EXERCICE 1 : (3,5 points)

Nombres complexes – Polynôme

On considère dans $\mathbb{C}$ le polynôme $$ P(z)=z^3+(-7+5i)z^2+(4-12i)z-4+20i. $$

1. Démontrer que l’équation $P(z)=0$ admet une racine imaginaire pure $z_0$. 0,5pt
2. Déterminer le polynôme $Q$ tel que : $$ P(z)=(z-z_0)Q(z). $$ 0,5pt
3. 1. En déduire les racines de $P(z)=0$. On notera $z_1$ la racine dont la partie imaginaire est positive et $z_2$ l’autre racine. 1pt
   2. Vérifier que $z_1+z_2=7-3i$. 0,25pt
4. Dans le plan complexe, on nomme $A$, $B$ et $C$ les points d’affixes respectives $z_0$, $z_1$ et $z_2$.
   1. Déterminer la nature du triangle $ABC$ (on justifiera). 0,5pt
   2. Déterminer l’affixe du centre $I$ du cercle passant par $A$, $B$ et $C$. 0,5pt
   3. Construire ce cercle. 0,25pt

EXERCICE 2 : (3,75 points)

Étude de fonctions

$f$ et $g$ sont des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ avec : $$ g(x)=x^3-3x+3 \quad \text{et} \quad f(x)=\frac{2x+3}{x^2-1}. $$

1. 1. Dresser le tableau de variations de $g$. 0,75pt
   2. Démontrer qu’il existe un unique réel $\alpha$ tel que $g(\alpha)=0$. 0,5pt
   3. Donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $0,01$. 0,5pt
   4. Préciser le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$. 0,25pt
2. On admet que $\alpha$ est solution de l’équation $f(x)=0$ dans $\mathbb{R}$.
   1. Démontrer que $f(\alpha)=3\alpha$. 0,25pt
   2. Montrer que pour tout $x$ de l’ensemble de définition $D_f$ de $f$, on a : $$ f'(x)=\frac{2xg(x)}{(x^2-1)^2}. $$ 0,5pt
   3. Dresser alors le tableau de variations de $f$. 0,75pt

EXERCICE 3 : (4,25 points)

Nombres complexes et géométrie

1. Déterminer dans $\mathbb{C}$ l’ensemble des nombres complexes dont les racines sixièmes du nombre $1$ sont de forme trigonométrique et sous forme algébrique. 0,75pt
2. Calculer $(1-i)^6$ et en déduire les racines sixièmes du nombre $8i$. 0,75pt
3. Déduire de la question précédente la valeur de $$ \cos\frac{\pi}{12} \quad \text{et} \quad \sin\frac{\pi}{12}. $$ 0,75pt

Transformation dans le plan complexe

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$. À tout nombre complexe $z$ distinct de $(-4i)$, on associe le nombre complexe $z'$ tel que : $$ z'=\frac{z-2i}{z-4}. $$

4. Déterminer et construire l’ensemble $(E)$ des points $M$ d’affixe $z$ tels que : $$ \arg(z')\equiv\frac{\pi}{2}\ [2\pi]. $$ 1pt
5. Déterminer l’ensemble des couples $(a,b)$ d’entiers naturels non nuls tels que : $$ \mathrm{PGCD}(a,b)+\mathrm{PPCM}(a,b)=b+9. $$ 1,25pt

EXERCICE 4 : (3,5 points)

Étude de fonction

$g$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ g(x)=\frac{3(x^2+2)}{x^2+6}. $$

1. Dresser le tableau de variation de $g$ et tracer, avec soin, sa courbe représentative $(C_g)$ dans un repère orthonormé. 1,75pt
2. Soit $h$ la restriction de $g$ à l’intervalle $]-\infty;0]$.
   1. Démontrer que $h$ réalise une bijection de $]-\infty;0]$ sur un intervalle $I$ que l’on précisera. 0,5pt
   2. Soit $h^{-1}$ la bijection réciproque de $h$. Dresser le tableau de variation de $h^{-1}$ et construire la courbe $(C_{h^{-1}})$ dans le même repère. 0,75pt
   3. Déterminer, pour tout $x\in I$, $h^{-1}(x)$. 0,5pt

EXERCICE 5 : (5 points)

Équations trigonométriques

Les parties I et II peuvent être abordées indépendamment. On donne $\theta=\dfrac{\pi}{6}$.

1. On considère l’équation : $$ (E):\;2z^3+(1+4\sin\theta)z^2+(2+2\sin\theta)z+1=0 \quad \text{dans } \mathbb{C}. $$
   1. Démontrer que $i^2=-1$ est solution de $(E)$, alors $z_0=i$ en est une autre. 0,25pt
   2. Démontrer que l’équation $(E)$ admet au moins une solution réelle. 0,25pt
2. On considère l’équation : $$ (E'):\;z^2+2\sin\theta+1=0 \quad \text{dans } \mathbb{C}. $$
   1. Démontrer que les solutions de $(E')$ sont aussi des solutions de $(E)$. 0,5pt
   2. Résoudre l’équation $(E')$, puis l’équation $(E)$. 1pt
   3. Écrire les solutions de $(E)$ sous forme trigonométrique. 0,75pt
3. Résoudre aussi l’équation : $$ (E''):\;z^2+2(\cos\theta+i\sin\theta)z+2^2=0 \quad \text{dans } \mathbb{C}. $$ 0,75pt

Géométrie dans le plan complexe

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$. $A$ et $B$ sont des points d’affixes respectives $2e^{i\frac{\pi}{6}}$ et $2e^{-i\frac{\pi}{6}}$. $I$ est le milieu du segment $[AB]$.

1. Construire une bonne figure. 0,25pt
2. Démontrer que les droites $(OI)$ et $(DE)$ sont perpendiculaires et que $DE=2OI$. 0,75pt
3. Déterminer la nature du triangle $OAB$. Montrer qu’il est rectangle isocèle en $O$. 0,75pt

Exercice 1 : (6,5 points)

Arithmétique – Nombres premiers et équations diophantiennes

Soit $p$ un nombre premier.

1. Démontrer que pour tout entier $k\in\{1,\ldots,p-1\}$, on a : $$ \gcd(k,p)=1. $$ 0,75pt
2. En déduire que pour tous entiers relatifs $a$ et $b$, on a : $$ p\mid(a+b)\ \Longleftrightarrow\ p\mid a\ \text{et}\ p\mid b. $$ 0,75pt
3. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $$ a^n-a\equiv0\ [p]. $$ 0,75pt
4. En déduire que pour tout entier naturel $a$ tel que $\gcd(a,p)=1$, on a : $$ a^{p-1}\equiv1\ [p]. $$ 1pt
5. On veut résoudre dans $\mathbb{Z}$ le système d’équations : $$ \begin{cases} x\equiv5\ [13],\\ x\equiv12\ [84]. \end{cases} $$
   1. Déterminer le couple d’entiers relatifs $(a,b)$ solution de l’équation $(E):\;13x-84y=7$. 0,5pt
   2. Montrer que pour toute solution $(a,b)$ de $(E)$, on a : $$ \gcd(a,b)=1\ \text{ou}\ \gcd(a,b)=7. $$ 0,25pt
   3. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l’équation $(E):\;13x-84y=0$. 0,25pt
   4. Déduire la solution générale de l’équation $(E)$. 0,25pt
   5. Déterminer les solutions $(a,b)$ de $(E)$ telles que $a$ et $b$ soient premiers entre eux. 0,5pt
   6. Déterminer les solutions $(a,b)$ de $(E)$ telles que $\gcd(a,b)=7$. 0,5pt
6. Déterminer tous les couples $(x,y)$ d’entiers naturels tels que : $$ \begin{cases} x+y=27,\\ \mathrm{PPCM}(x,y)=60. \end{cases} \qquad \begin{cases} \mathrm{PGCD}(x,y)=14,\\ x\times y=2940. \end{cases} $$ 1pt
7. Soit $N\in\mathbb{N}$. Démontrer que $6^{n+1}-1$ est divisible par $7$. 0,5pt

Exercice 2 : (6,25 points)

Équations et nombres complexes

1. On se propose de résoudre l’équation : $$ (E):\;2z^4-9z^3+14z^2-9z+2=0. $$
   1. Vérifier que $0$ n’est pas solution de $(E)$. 0,25pt
2. On désigne par $(E_1)$ l’équation : $$ z^2+(z^2+\bar{z})-9(z+\bar{z})+14=0. $$
   1. Montrer que $(E_1)$ et $(E)$ sont équivalentes. 0,75pt
3. On pose $u=z+\dfrac{1}{z}$.
   1. Montrer que $(E_1)$ est équivalente à : $$ (E_2):\;2u^2-9u+10=0. $$ 0,75pt
4. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $(E_2)$ et en déduire les solutions de $(E)$. 1pt
5. Le plan complexe est muni du repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j})$. On considère l’application $f$ du plan complexe dans lui-même qui, à un point $M$ d’affixe $z$, associe le point $M'$ d’affixe $z'$ tel que : $$ z'=(1+i)z+2. $$ Soit $A$ le point d’affixe $2i$. 1,5pt

Exercice 1 : (7,25 points)

Suite de points complexes

1. On considère la suite des points $A_0,A_1,A_2,\ldots,A_n,\ldots$ telle que :
   • $A_0$ est d’affixe $z_0=-4i$ ;
   • $A_{n+1}=iA_n$ pour tout entier naturel $n$.
   1. Exprimer $z_n$ en fonction de $n$. 0,25pt
   2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : $$ z_n=-4i(i)^n. $$ 0,75pt
   3. Prouver que, pour tout entier naturel $n$ : $$ \frac{z_{n+1}-z_n}{z_n-z_{n-1}}=i. $$ 0,75pt
   4. En déduire la nature précise du triangle $A_nA_{n+1}A_{n+2}$. 0,25pt
2. On considère la suite $(U_n)$ définie par : $$ U_n=|A_0A_n| $$ (distance du point $A_0$ au point $A_n$).
   1. Exprimer $U_n$ en fonction de $n$ et justifier que la suite $(U_n)$ est géométrique. 0,75pt
   2. On pose : $$ S_n=U_0+U_1+U_2+\cdots+U_n. $$ Calculer la longueur de la ligne brisée $$ A_0A_1+A_1A_2+\cdots+A_{n-1}A_n. $$ 0,75pt

Problème : (7,25 points)

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A 2,5 points

On considère la fonction polynomiale $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ g(x)=2x^3-3x^2-1. $$

1. Étudier les variations de $g$ et dresser son tableau de variation. 1pt
2. Montrer que l’équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ et que $\alpha\in]1;2[$. 0,5pt
3. Donner une valeur approchée de $\alpha$ d’amplitude $10^{-1}$ par dichotomie ou balayage. 0,5pt
4. Préciser le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$. 0,5pt

Partie B 2,75 points

Soit $f$ la fonction définie sur $]-1;+\infty[$ par : $$ f(x)=\frac{1-x}{1+x}. $$ On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé (on prendra comme unité $4$ cm sur les axes).

1. Calculer les limites de $f$ en $-1$ et en $+\infty$. 0,5pt
2. Démontrer que $f$ est dérivable. 0,25pt
3. Montrer que, pour tout $x>-1$ : $$ f'(x)=\frac{g(x)}{(1+x)^2}. $$ 0,5pt
4. Dresser le tableau de variation de $f$. 0,5pt
5. Montrer que $f$ réalise une bijection de $]-1;+\infty[$ sur un intervalle à préciser. 0,5pt
6. Écrire une équation de la droite $(\Delta)$ tangente à la courbe $(C_f)$ au point d’abscisse $0$. 0,5pt

Partie C 2 points

On définit la fonction $h$ par : $$ h(x)=g(x)+x-1. $$

1. Étudier le signe de $h(x)$ dans l’intervalle $]-1;+\infty[$. 0,5pt
2. En déduire la position de la courbe $(C_f)$ par rapport à la droite $(\Delta)$. 0,5pt
3. Tracer $(C_f)$ et $(\Delta)$ dans le repère défini plus haut. 1pt

Exercice 1 : (5,5 points)

Équations, suites et récurrence

1. Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l’équation : $$ x^2-y^2-x+3y=30. $$ 1,5pt
2. Déterminer le chiffre des unités du nombre entier naturel $$ A=7^{7^7}. $$ 1pt
3. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ : $$ \sum_{p=1}^{n}2p(-1)^{p-1}=\frac{1-(2n+1)(-1)^n}{2}. $$ 1pt
   2. En déduire la valeur exacte de la somme : $$ S=34-38+40-\cdots+402. $$ 0,5pt
4. On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel non nul $n$, par : $$ u_n=2n+3\times7^n+14^n-1. $$
   1. Calculer $u_3$. 0,25pt
   2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est pair. 0,5pt
   3. On pose $P$ l’ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite $(u_n)$. Les entiers $2$, $3$, $5$ et $7$ appartiennent-ils à l’ensemble $P$ ? 1pt
   4. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante. 0,5pt

Exercice 2 : (4,5 points)

Étude d’une suite numérique

On considère, pour tout $n\in\mathbb{N}$, la suite $(u_n)$ d’entiers naturels définie par : $$ \begin{cases} u_0=14,\\ u_{n+1}=5u_n-6. \end{cases} $$

1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$, puis émettre une conjecture concernant les deux derniers chiffres de $u_n$. 1,5pt
2. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a $u_{n+2}\equiv u_n\ [4]$. En déduire que pour tout $k\in\mathbb{N}$ : $$ u_{2k}\equiv2\ [4] \quad \text{et} \quad u_{2k+1}\equiv0\ [4]. $$ 0,5pt+0,25pt
3. Montrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$ 2u_n=5^{n+2}+3. $$ En déduire que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$ 2u_n\equiv28\ [100]. $$ 0,5pt+0,25pt
4. Déterminer les deux derniers chiffres de l’écriture décimale de $u_n$ suivant les valeurs de $n$. 0,25pt+0,25pt
5. Montrer que le $\mathrm{PGCD}(u_n,u_{n+1})$ est constant et préciser sa valeur. 0,5pt+0,5pt

Exercice 3 : (5 points)

Numération et polynômes

1. Un nombre $N$ s’écrit $\overline{abc}_5$ en base $5$ et $\overline{abc}_{12}$ en base $12$, où $a$, $b$ et $c$ sont des entiers naturels tels que $(a,b,c)\in]0;5[^3$.
   1. Démontrer que $a+b$ est un multiple de $4$. 0,75pt
   2. Déterminer les entiers $a$, $b$ et $c$. 1,25pt
2. Soit le polynôme $P$ défini par : $$ P(x)=x^4+x^3+x^2+x. $$ Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose : $$ A_n=5^{4n}+5^{3n}+5^{2n}+5^n. $$
   1. Mettre $P(x)$ sous la forme d’un produit de trois facteurs. 0,5pt

Exercice 3 (suite)

Divisibilité et congruences

2. 1. Déterminer, suivant les valeurs de $n$, les restes de la division euclidienne de $5^n$ par $13$. 1pt
   2. Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $A_n$ est divisible par $13$. 1pt
   3. Quel est le reste de la division de $$ B=5^{500}+5^{375}+5^{250}+5^{125} $$ par $13$ ? 0,5pt

Exercice 4 : (5 points)

Loi de composition interne et numération

1. Dans $\mathbb{N}$, on définit la loi de composition interne notée $\star$ par : $$ \forall a,b\in\mathbb{N},\quad a\star b=a+b+ab. $$ On définit également : $$ a^{(1)}=a \quad \text{et} \quad \forall n\in\mathbb{N}\setminus\{0,1\},\; a^{(n)}=a^{(n-1)}\star a. $$
   1. Exprimer $a^{(2)}$, $a^{(3)}$, $a^{(4)}$ et $a^{(5)}$ en fonction de $a$. 0,75pt
   2. Faire une conjecture sur l’expression de $a^{(n)}$. 0,5pt
   3. À l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer la conjecture formulée en b). 0,75pt
2. Vérifier que le couple $(4k+5,\;4k+4)$, avec $k\in\mathbb{Z}$, est solution dans $\mathbb{Z}^2$ de l’équation : $$ (E):\;-4x+5y=4. $$ 0,5pt
3. Un nombre $a$ s’écrit $47$ en base $x$ et $53$ en base $y$. Un nombre $b$ s’écrit $144$ en base $x$ et $171$ en base $y$.
   1. Déterminer les entiers naturels $a$, $b$, $x$ et $y$. 2pt

EXERCICE 1 : (1 point)

1. Démontrer, pour tout entier naturel non nul $n$, l’une des assertions suivantes (le candidat traitera la question a) ou b)) :
   1. $$\sum_{k=1}^{n} k(n-k)=\frac{n(n-1)(n+1)}{6}.$$
   2. Montrer que $3^n-1$ est un nombre pair.

EXERCICE 2 : (3 points)

Série D uniquement

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$, en utilisant le pivot de Gauss, le système : $$ (S)\; \begin{cases} 5x-y+2z=12\\ 2x-y+3z=2\\ x+y+z=1 \end{cases} $$
2. Un capital de $463\,500$ F est scindé en trois parts $x$, $y$ et $z$, placées à taux différents pendant une année. Les taux d’intérêt sont respectivement $6{,}5\%$, $7{,}5\%$ et $9\%$. Le montant des intérêts acquis à l’issue de l’année est $3\,159$ F. Les intérêts acquis par les parts $x$ et $y$ sont égaux à ceux acquis par la part $z$. Déterminer le système d’équations mettant en relation les parts $x$, $y$ et $z$.

EXERCICE 3 : (4,5 points)

1. On donne les nombres complexes suivants : $$ z_1=(\sqrt{6}+i\sqrt{2})\left(\frac14+i\frac{\sqrt{3}}{4}\right), \qquad z_2=\left(\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i}\right)^{20}. $$
   1. Mettre $z_1$ sous forme algébrique.
   2. Déterminer le module et un argument de $z_2$.
2. On donne les expressions suivantes, pour tout $x\in\mathbb{R}$ : $$ (E_1):\;\sin^4 x \qquad\text{et}\qquad (E_2):\;\cos(4x). $$
   1. Transformer $(E_1)$ en un polynôme en $\cos x$.
3. Soit le polynôme $P$ défini dans $\mathbb{C}$ par : $$ P(z)=z^3-z^2+(5+7i)z+10-2i. $$
   1. Montrer que $P$ possède une racine imaginaire pure.
   2. En déduire une factorisation de la forme $$P(z)=(z-2i)Q(z),$$ où $Q$ est un polynôme du second degré à coefficients complexes.
   3. Résoudre alors l’équation $P(z)=0$.

EXERCICE 4 : (4,5 points)

1. Soient $A$ et $B$ deux points du plan complexe d’affixes respectives $z_A=1+i$ et $z_B=4+3i$.
   1. Placer les points $A$ et $B$ dans le repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.
   2. Déterminer l’affixe du point $C$ pour que le triangle $ABC$ soit équilatéral direct.
2. Déterminer l’ensemble des points $M$ du plan d’affixe $z$ tels que :
   1. $$\frac{z+1}{z-1}\in\mathbb{R}.$$
   2. $$\frac{z+1}{z-1}\in i\mathbb{R}.$$
   3. $$\left|\frac{z+1}{z-1}\right|=1.$$

   NB : Les questions (i), (ii) et (iii) sont au choix du candidat.

3. Identifier trois transformations complexes suivantes :
   1. $f : z \mapsto z+1+i$
   2. $f : z \mapsto e^{i\pi/3}z+1$
   3. $f : z \mapsto 2z+1-i$
   4. $f : z \mapsto \bar{z}$
   5. $f : z \mapsto (1+i)z+i$
   6. $f : z \mapsto (1+i\sqrt{3})z+1$
4. On considère le point $D$ du plan complexe d’affixe $z_D=1+2i$.
   • l’homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $2$ ;
   • la rotation de centre $\Omega$ et d’angle $\dfrac{\pi}{4}$ ;
   • la transformation du plan complexe $z\mapsto\rho h(z)$.
   1. Donner l’écriture complexe de ces transformations.
   2. On pose : $$z=\sqrt{2}(1+i)z+1+\sqrt{2}+i(2-3\sqrt{2}).$$ Déterminer l’image par cette transformation du point $D$ d’affixe $z_D$.

EXERCICE 5 : (2 points)

Limites et fonction réciproque

1. Déterminer une des limites suivantes :
   1. $$\lim_{x\to 0}\left(2x-1+\frac{\sqrt{x^2}}{x}\right)$$
   2. $$\lim_{x\to +\infty}\frac{x^4+2x^2+1}{x^2-1}$$
   3. $$\lim_{x\to -\infty}\frac{x\cos x}{x^2+1}$$
2. Étudier les branches infinies de la courbe représentative de la fonction $$K:\;x\mapsto \sqrt{\frac{x^3}{x^2-1}}.$$
3. Soit $U$ la fonction de $]-\pi,\pi[$ dans $\mathbb{R}$ définie par : $$U(x)=\tan\left(\frac{x}{2}\right).$$
   1. Montrer que $U$ admet une bijection réciproque $U^{-1}$.
   2. Montrer que $U^{-1}$ est dérivable sur son ensemble de définition et déterminer la dérivée de $U^{-1}$.

EXERCICE 6 : (3 points)

Série C uniquement

Écriture sexagésimale

La numération sexagésimale (base $60$) exigerait une utilisation de soixante chiffres distincts. En pratique, on décide d’écrire chacun de ces chiffres en utilisant le codage en base $10$ du nombre qu’il représente et d’écrivant entre parenthèses. Par exemple, $2(19)(51)$ est l’écriture sexagésimale du nombre qui s’écrit $8391$ en base $10$ : $$ 8391=2\times3600+19\times60+51. $$

1. Écrire en base $10$ le nombre dont l’écriture en base sexagésimale est $$3(0)(17)(48).$$
2. Trouver l’écriture sexagésimale du nombre qui s’écrit $54\,325\,432$ en base $10$.
3. Soit $N$ un entier naturel dont l’écriture sexagésimale est $(a)(b)(ba)$, où $a$, $b$ et $ba$ sont deux chiffres de notre système de numération en base $10$.
   1. Quelles conditions doivent vérifier $a$ et $b$ pour que l’écriture $(a)(b)(ba)$ soit correcte ?
   2. On suppose que $N$ est multiple de $5$. Qu’en déduisez-vous ?
   3. On sait de plus que $N=\overline{b21a}$ en base $10$. Déterminer $a$ et $b$, puis $N$.

PROBLÈME

PARTIE A : (2 points)

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. On considère la fonction $g$ définie par : $$ g(x)= \begin{cases} f(x)=\dfrac{\sin 3x}{x}, & \text{pour tout } x\ne 0,\\ g(0)=3, & \end{cases} $$

1. Montrer que $g$ est continue en $0$.
2. Montrer que $g$ est dérivable dans $\mathbb{R}^*$.
3. Peut-on dire que la fonction $g$ est le prolongement par continuité de $f$ en $0$ ? (Justifier votre réponse.)

PARTIE B : (4,5 points)

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ h(x)=\frac{x^3+x^2-x-1}{x^3-3x-2}. $$

1. Déterminer l’ensemble de définition $D_h$ de la fonction $h$.
2. Calculer les limites aux bornes de $D_h$ et en déduire les asymptotes à la courbe $(C_h)$.
3. Calculer la dérivée $h'(x)$, puis dresser le tableau de variation de $h$.
4. Montrer que l’équation $h(x)=0$ admet une solution dans l’intervalle $[0;2[$.
5. Tracer la courbe $(C_h)$.