D’abord, BAC C 2023 te permet de revoir les notions clés avec méthode sur Ndolomath. Ensuite, BAC C 2023 t’aide à t’entraîner comme au jour J, sans te disperser. Puis, BAC C 2023 te montre le niveau attendu au Cameroun, selon la définition de l’examen. Enfin, BAC C 2023 te rassure : avance question par question, et garde ton calme.
L’épreuve de mathématiques du BACCALAUREAT C 2023
PARTIE A: EVALUATION DES RESSOURCES13,25 points
EXERCICE 14,5 points
On considère les fonctions numériques $f$ et $h$ de la variable réelle $x$ définies sur $D=]1;+\infty[$ par $f(x)=x-2+\ln\sqrt{x}-1$ et $h(x)=\dfrac{2x-2-\ln(x-1)}{2\sqrt{x}-1}$.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.
1. Dresser le tableau des variations de $f$ sur $D$. 0,75 pt
2. Montrer que le réel $2$ est l’unique solution de l’équation $f(x)=0$. 0,5 pt
3. En déduire suivant les valeurs de $x$, le signe de $f(x)$. 0,5 pt
4. Montrer que $\forall x\in]1;+\infty[$, $h'(x)=\dfrac{f(x)}{2(x-1)\sqrt{x}-1}$ puis en déduire les variations de $h$. 0,75 pt
5. On considère la suite $(u_n)_n$ définie par $u_n=\sum_{j=0}^{n}\dfrac{1}{n}\,h\!\left(2+\dfrac{j}{n}\right)$ et on pose $I=\int_{2}^{3}h(x)\,dx$.
a) Calculer $\int_{2}^{3}\dfrac{\ln(x-1)}{2\sqrt{x}-1}\,dx$ à l’aide d’une intégration par parties et en déduire la valeur de $I$. 1,75 pts
b) Soient $n\in\mathbb{N}^*$ et $j$ un entier naturel tel que $0\le j\le n-1$. En utilisant les variations de $h$ sur $[2;+\infty[$, démontrer que $\dfrac{1}{n}h\!\left(2+\dfrac{j}{n}\right)\le \int_{2+\frac{j}{n}}^{2+\frac{j+1}{n}}h(x)\,dx\le \dfrac{1}{n}h\!\left(2+\dfrac{j+1}{n}\right)$. 0,5 pt
c) Déduire de la question précédente que : $u_n-\dfrac{h(3)}{n}\le I\le u_n-\dfrac{h(2)}{n}$. 0,5 pt
d) Calculer la limite de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$. 0,25 pt
EXERCICE 24,25 points
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{i},\vec{j})$.
On considère l’équation $(E)$ : $z^2+(-3\cos\alpha-1+i(3-5\sin\alpha))z+5\sin\alpha-2+i(-3\cos\alpha-1)=0$ d’inconnue complexe $z$ où $\alpha$ est un nombre réel.
1. Montrer que $-i$ est une solution de $(E)$. 0,25 pt
2. En déduire l’autre solution. 0,5 pt
3. Montrer que l’ensemble des points $A_\alpha$ d’affixe $z_\alpha=3\cos\alpha+1+i(-2+5\sin\alpha)$ lorsque $\alpha$ décrit $\mathbb{R}$ est la conique $(\varepsilon)$ d’équation : $25x^2+9y^2-50x+36y-164=0$. 0,5 pt
4. Soit $\Omega(1;-2)$ un point du plan.
a) Déterminer une équation de $(\varepsilon)$ dans le repère $(\Omega;\vec{i},\vec{j})$. 0,5 pt
b) En déduire la nature exacte de $(\varepsilon)$; préciser son excentricité et les cordonnées de ses sommets dans le repère $(\Omega;\vec{i},\vec{j})$. 0,5 pt
c) Construire $(\varepsilon)$ dans le repère $(\Omega;\vec{i},\vec{j})$. 0,75 pt
5. Soient $B$ et $C$ deux points d’affixes respectives $-i$ et $3$.
a) Déterminer l’écriture complexe de la similitude directe $S$ de centre $\Omega$ telle que $S(C)=B$. 0,5 pt
b) En déduire l’angle de $S$. 0,25 pt
EXERCICE 34,5 points
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
Soient $A(-1;-1;0)$; $B(0;0;2)$ et $C(-1;1;2)$ trois points de l’espace.
1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ definissent un plan. 0,5 pt
2. Déterminer une équation cartésienne de ce plan. 0,5 pt
3. Soit $(P)$ le plan d’équation: $x+y-z+z=0$.
Déterminer l’expression analytique de la réflexion $f$ de plan $(P)$. 0,75 pt
4) Soit $g$ la transformation de l’espace d’expression analytique
$\left\{\begin{array}{l}x’=\dfrac{1}{3}(-x+2y-2z+4)\\[2pt]y’=\dfrac{1}{3}(2x-y-2z+4)\\[2pt]z’=\dfrac{1}{3}(-2x-2y-z+8)\end{array}\right.$
a) Montrer que l’ensemble $(D)$ des points invariants par $g$ est la droite passant par $E$ dont un vecteur directeur est $\hat{v}(-1;-1;1)$. 0,75 pt
b) Soient $M$ et $M’$ deux points de l’espace tels que $g(M)=M’$.
i) Montrer que $\overrightarrow{MM’}$ est un vecteur normal a la droite $(D)$. 0,5 pt
ii) Montrer que le milieu du segment $[MM’]$ appartient à $(D)$. 0,5 pt
c) En déduire que $g$ est un demi-tour. 0,25 pt
5) a) Montrer que $(P)\perp(D)$. 0,25 pt
b) En déduire que $f\circ g$ est une symétrie centrale dont on précisera le centre. 0,5 pt
PARTIE B: EVALUATION DES COMPETENCES6,75 points
Situation :
KEMO vend des marchandises qu’ll pèse sur une balance très contestée par sa clientèle ces derniers jours.
Pour la conquérir, il envisage d’acquérir une nouvelle balance constituée d’un ressort que fon suspend verticalement pouvant s’étirer ou s’allonger d’au plus de $7$ cm, et, voudrait investir $130000$FCFA dans la publicité.
II fui faut cependant convaincre ses deux fournisseurs qui lui rendent visite à des fréquences différentes.
Pour cela, il a besoin de connaitre : la masse maximale que peut peser la balance sollicitée, le chiffre d’affaires que cette publicité pourrait permettre de réaliser et la prochaine date de coïncidence de la visite des deux fournisseurs.
Données:
a) Du ressort de la balance : Une étude expérimentale montre que le ressort est indéformable et s’allonge de $2$ cm lorsqu’on accroche une masse de $4$ kg.
Par ailleurs, lorsqu’on l’étire de sa position d’équilibre et l’abandonne sans vitesse initiale, son élongation $x(t)$ vérifie l’équation $x »(t)+\dfrac{k}{3}x(t)=0$ où $k$ est la constance de raideur du ressort.
De plus, on a l’égalité $mg=k\Delta l_0$, où $m$ est la masse du corps accroché au ressort et $\Delta l_0$ l’allongement au repos.
Après une minute, le centre de gravité du solide repasse pour la première fois au point initial.
$g=9,5$ N/kg; $\pi=3,14$.
b) Chiffre d’affaires en fonction des frais de publicité: Le tableau ci-dessous montre ses dépenses en publicité exprimées en dizaine de milliers et son chiffre d’affaires pour la même période, sur les dix dernières années (exprimé en dizaine de millions).
On admettra que le chiffre d’affaires suit un ajustement linéaire par rapport au frais de publicité.
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Frais de publicité }(x_i) & 6 & 6,5 & 6,8 & 7 & 7,8 & 9 & 10,5 & 11 & 11,3 & 11\\ \hline \text{Chiffre d’affaires }(y_i) & 220 & 229 & 225 & 237 & 235 & 247 & 250 & 268 & 258 & 264\\ \hline \end{array} $
c) Le premier fournisseur lui rend visite tous les $21$ jours et le $20$ décembre $2020$, il était au marché.
Quant au second fournisseur, il lui rend visite tous les $16$ jours et était au marché le $27$ décembre $2020$.
Tâches :
1- Déterminer la masse maximale que cette balance peut peser. 2,25 pts
2- Estimer le chiffre d’affaires qu’il pourra espérer des frais de publicité investis. 2,25 pts
3- Donner la date de la prochaine coïncidence des deux fournisseurs. 2,25 pts
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Épreuve de mathématiques — BACCALAUREAT C 2023
Conclusion du BACCALAUREAT C 2023
D’abord, relis calmement l’énoncé, puis attaque chaque question avec une méthode simple. Ensuite, BACCALAUREAT C 2023 te rappelle l’importance de bien gérer ton temps à chaque exercice. Puis, note tes erreurs et reviens dessus, c’est comme ça qu’on progresse vraiment. Enfin, garde confiance et utilise Ndolomath pour t’entraîner encore sur BACCALAUREAT C 2023.
