D’abord, le BAC C 2020 te permet de t’entraîner avec Ndolomath avant le jour J. Ensuite, le BAC C 2020 t’aide à repérer les types de questions et les points clés. Puis, le BAC C 2020 se comprend mieux en connaissant la définition de l’examen. Enfin, le BAC C 2020 te donne un rythme de travail clair pour réviser avec confiance.
L’épreuve de mathématiques du BAC C 2020
Exercice 13,5 points
Le plan complexe $(E)$ est rapporté à un repère orthonormé $(O;\,\vec{u},\vec{v})$. Soit $\psi$ la transformation qui au point $M(x,y)$ associe le point $M'(x’,y’)$ tel que :
$\left\{\begin{array}{l}x’=\dfrac{12x+5y+1}{13}\\[6pt]y’=\dfrac{5x-12y-5}{13}\end{array}\right.$
I) On note $z=x+iy$ et $z’=x’+iy’$ les affixes respectives des points $M$ et $M’$.
1. Déterminer deux nombres complexes $a$ et $b$ tels que $z’=a\overline{z}+b$ 0,5 pt
2. $z »$ l’affixe du point $M »=(\psi\circ\psi)(M)$. Exprimer $z »$ en fonction de $z$. 0,5 pt
II) Soit $(E_1)$ l’ensemble des points $M$ du plan tels que $\psi(M)=M$.
1. Montrer que $(E_1)$ est la droite d’équation $x-5y=1$. 0,5 pt
2. Soit $M$ un point n’appartenant pas à $(E_1)$ et $M’=\psi(M)$. Montrer que les droites $(MM’)$ et $(E_1)$ sont perpendiculaires. 0,25 pt
3. Montrer que pour tout point $M$ du plan, le milieu du segment $[MM’]$ appartient à $(E_1)$ où $M’=\psi(M)$. 0,25 pt
4. Reconnaitre la transformation $\psi$. 0,25 pt
III) Série $C$ uniquement.
1. Soit $(E_2)$ l’ensemble des points $M$ du plan tels que $\psi(M)$ appartient à l’axe $(O;\vec{v})$. 0,25 pt
a) Vérifier que le point $A\left(0,-\dfrac{1}{5}\right)$ appartient à $(E_2)$.
b) Caractériser les points de $(E_2)$ ayant les coordonnées entières. 0,5 pt
2. On désigne par $(E_3)$ la droite d’équation $y=1$. Déterminer les points $M$ de $(E_3)$ à coordonnées entières tels que $\psi(M)$ ait des coordonnées entières. 0,5 pt
III) Série $E$ uniquement.
1. Calculer $(1+2i)^2$ et déterminer les vecteurs dont les affixes $z$ sont solutions de l’équation $z^2+(-1+2i)z-2i=0$. 0,5 pt
2. Déterminer l’ensemble $(D)$ des points du plan ayant pour affixe les solutions de l’équation : $13z=(12+5i)\overline{z}+1-5i$ 0,75 pt
Exercice 23 points
L’espace est rapporté au repère orthonormé direct $(O;\,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On considère les points $A(1,-1,1)$; $B(0,0,1)$; $C(-2,0,3)$ et $D(-2,0,1)$.
1.a) Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. 0,5 pt
b) Donner une équation du plan $(ABC)$. 0,5 pt
c) vérifier que le point $D$ n’appartient pas au plan $(ABC)$. 0,25 pt
d) Calculer le volume $V$ du tétraèdre $ABCD$. 0,5 pt
2. Soit $(S)$ l’ensemble des points $M(x,y,z)$ tels que $x^2+y^2+z^2+2x+4y-4z-1=0$ et soit $(P)$ le plan d’équation $2x+y-z=0$.
a) Montrer que $(S)$ est une sphère. Préciser son centre et son rayon. 0,75 pt
b) Déterminer l’intersection de $(S)$ et $(P)$. 0,5 pt
Exercice 33,5 points
Une urne contient 2 boules blanches numérotées $1$ et $2$; 3 boules rouges numérotées $1$, $2$ et $3$ toutes indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultanément deux boules de l’urne.
1. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants:
$A$ les deux boules sont de même couleur 0,5 pt
$B$ les deux boules portent le même numéro 0,5 pt
$C$ On a tiré exactement une boule blanche et exactement une boule portant un numéro impair 0,5 pt
2. Un joueur tire simultanément deux boules au hasard de cette urne. Il reçoit $500$ FCFA par boule blanche tirée, $250$ FCFA s’il tire la boule rouge portant le numéro $2$ et perd $250$ FCFA s’il tire la boule rouge portant le numéro $1$. La boule rouge numéro $3$ ne rapporte rien. On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l’issue d’une partie.
a) Donner la loi de probabilité de $X$. 1 pt
b) Calculer l’espérance mathématique de $X$. Ce jeu vous semble-t-il avantageux pour le joueur? Justifier votre réponse. 0,5 pt
Problème10 points
Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;\,\vec{i},\vec{j})$. Unité sur les axes $1$ cm.
I)
1. Etudier les variations de la fonction numérique $f$ définie pour $x\neq -2$ et $x\neq 2$ par $f(x)=\dfrac{4}{4-x^2}$ et tracer sa courbe $(C_0)$. 1 pt
2.a) Déterminer deux réels $m$ et $n$ tels que $f(x)=\dfrac{m}{2+x}+\dfrac{n}{2-x}$, $x\neq -2$ et $x\neq 2$. 0,5 pt
b) En déduire les primitives sur l’intervalle $]-2,2[$ de la fonction $f$. 0,5 pt
3.a) Pour tout $t$ appartenant à $[0,2[$, calculer $F(t)=\int_{0}^{t}\dfrac{4\,dx}{4-x^2}$. 0,5 pt
b) Donner l’interprétation graphique de $F(t)$.
c) Etudier le sens de variations de $F$ sur $[0;2[$. 0,25 pt
d) Calculer la limite de $F$ à gauche en $2$. 0,25 pt
e) Construire la courbe $(C)$ de la fonction $F$. 0,5 pt
4.a) Démontrer que $F$ est une bijection de l’intervalle $[0,2[$ vers un intervalle $J$ de $\mathbb{R}$ que l’on précisera.
b) Expliciter $F^{-1}(x)$ pour tout $x$ de $J$. 0,5 pt
c) Construire la courbe $(C’)$ de la fonction $F^{-1}$.
5. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0\le a<2$ et $0\le b<2$. On pose $c=\dfrac{4(a+b)}{4+ab}$.
a) Montrer que $0\le c<2$. On pourra remarquer que $0<(2-a)(2-b)$.
b) Démontrer que $F(c)=F(a)+F(b)$. 0,75 pt
c) En déduire que pour tous réels $x$ et $y$ positifs, $F^{-1}(x+y)=\dfrac{4\left(F^{-1}(x)+F^{-1}(y)\right)}{4+F^{-1}(x)F^{-1}(y)}$.
II)
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\dfrac{4(3^n+2^n)}{1+4\times 3^n 2^n}$.
1. Calculer et ranger dans l’ordre croissant : $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$. 1 pt
2. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $0\le u_n<2$. 0,75 pt
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Épreuve de mathématiques — BAC C 2020
Conclusion du BAC C 2020
D’abord, le BAC C 2020 te montre clairement ce qu’on attend de toi en mathématiques. Ensuite, prends le temps de refaire chaque question avec méthode, sans te précipiter. Puis, le BAC C 2020 devient plus simple quand tu t’entraînes régulièrement sur Ndolomath. Enfin, reste confiant, révise un peu chaque jour, et arrive serein le jour de l’examen.
