D’abord, l’épreuve du BAC C 2019 est ici pour réviser avec méthode sur Ndolomath. Ensuite, le BAC C 2019 demande rigueur, gestion du temps et lecture attentive des consignes. Puis, le BAC C 2019 se comprend mieux en connaissant la définition de l’examen. Enfin, le BAC C 2019 devient plus accessible si vous vous entraînez question par question.
L’épreuve de mathématiques du BAC C 2019
Exercice 13 points
Dans l’espace orienté et rapporté a un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, A, B, C et D sont 4 points tels que A, B et C soient non alignés. On pose $\vec{u}=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$.
1. Déterminer l’ensemble $(\Gamma)$ des points M de l’espace tels que $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{u}=0$. 0,75 pt
2. On donne pour toute la suite de l’exercice ; $A(1;2;1)$, $B(2;1;1)$, $C(0;1;-1)$ et $D(2;4;1)$. 0,75 pt
a. Montrer que les points A, B, C et D ne sont pas colinéaires. 0,75 pt
b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$. 0,75 pt
c. Déterminer l’expression analytique de la réflexion par rapport au plan $(ABC)$. 0,75 pt
Exercice 24 points
1. Résoudre dans l’ensemble $\mathbb{C}$ des nombres Complexes l’équation : $z^2-(1-2i)z+1+5i=0$. 1 pt
2. On suppose le plan Complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$, A et B sont les points d’affixes respectives $z_A=2-3i$ et $z_B=-1+i$.
a.
Soient $(c)$ le cercle de centre A et de rayon 7 et $(c’)$ le cercle de centre B et de rayon 1.
i. Montrer que tout point du cercle $(c’)$ est intérieur au cercle $(c)$. 0,5 pt
ii. Soit $(c »)$ un cercle de centre $\Omega$, extérieurement tangent à $(c’)$ et intérieurement tangent à $(c)$. Justifier que $\Omega A+\Omega B=8$. 0,5 pt
b.
$O’$ désigne le milieu de $[AB]$ : on pose $\vec{i}=\dfrac{\overrightarrow{BA}}{AB}$ et on désigne par $\vec{j}$ le vecteur unitaire tel que $(O’,\vec{i},\vec{j})$ soit un repère orthonormé direct auquel le plan est maintenant rapporté. On pose $\overrightarrow{O’\Omega}=x\vec{i}+y\vec{j}$ où $x\in[-4,4]$ et on désigne par $(D)$ la droite d’équation : $x=\dfrac{32}{5}$.
i) Justifier que $\Omega A=\sqrt{(x-\dfrac{5}{2})^2+y^2}$, $\Omega B=\sqrt{(x+\dfrac{5}{2})^2+y^2}$. 0,75 pt
ii) Montrer que : $\Omega A+\Omega B=8 \Rightarrow \Omega A=-\dfrac{5}{8}x+4$. 0,75 pt
iii) En déduire que si $\Omega A+\Omega B=8$ alors $\dfrac{\Omega A}{d(\Omega;(D))}=\dfrac{5}{8}$ et donner la nature de la conique à laquelle $\Omega$ appartient. 0,75 pt
Exercice 33 points
Une urne contient 7 boules noires et 7 boules jaunes indiscernables au toucher. On tire au hasard et successivement avec remise, $n$ boules de cette urne avec $n\succ 1$.
1. Calculer la probabilité d’obtenir des boules de même couleur. 0,75 pt
2. Justifier que la probabilité $p$ d’obtenir exactement une boule noire est : $p=\dfrac{n}{2^n}$. 0,75 pt
3. On désigne par $(u_n)$ la suite définie par $u_n=\dfrac{n}{2^n}$ avec $n\succ 1$. Soit $n$ un entier strictement supérieur à 1 :
a. Calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et en déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante. 0,75 pt
b. Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers 0. 0,75 pt
Problème10 points
On considère la fonction $g$ définie dans l’intervalle $]0;+\infty[$ par $g(x)=x^2+\ln x$.
Partie A
$(E_0)$ et $(E)$ sont les équations différentielles définies par : $(E_0): v(x)+xv'(x)=0$
$(E): v(x)+xv'(x)=3x^2+\ln(x)+1$ où $v$ est une fonction définie et dérivable dans l’intervalle $]0;+\infty[$ et $v’$ sa dérivée.
1. Vérifier que $g$ est une solution de $(E)$ et justifier que la fonction $u$ définie dans $]0;+\infty[$ par $u(x)=\dfrac{1}{x}$ est une solution de $(E_0)$. 1 pt
2. Soit $\omega$ une autre solution de $(E_0)$ et $k$ la fonction définie dans l’intervalle $]0;+\infty[$ par $k=\dfrac{\omega(x)}{u(x)}$.
a. Montrer que $k$ est une fonction constante et en déduire toutes les solutions de $(E_0)$. 1 pt
3. Soit $h$ une fonction définie et dérivable dans $]0;+\infty[$.
a. Montrer que $h$ est solution de $(E)$ si et seulement si $h-g$ est solution de $(E_0)$. 0,5 pt
b. Déduire la forme générale des solutions de $(E)$. 0,5 pt
Partie B
1. Étudier les variations de la fonction $g$. 1 pt
2. En déduire que :
a. L’équation $g(x)=0$ admet sur $]0;+\infty[$ une unique solution $\alpha$ et justifier que $\alpha_0=0,65$ est une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près par défaut. 0,5 pt
b. $g(x)\succ 0 \Leftrightarrow x=\alpha$. 0,25 pt
Partie C
Pour toute la suite, $f$ est la fonction définie dans l’intervalle $]0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x^2+\ln^2(x)}$ et on désigne par $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. La fonction $g$ reste la même.
1. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 0,5 pt
2. Déterminer $f’$ et vérifier que pour tout réel $x\succ 0$, $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x f(x)}$. 0,5 pt
3. Dresser le tableau de variation de $f$. 0,5 pt
4. a. Montrer que la droite d’équation $y=x$ est asymptote oblique à $(C_f)$ en $+\infty$. 0,5 pt
b. Tracer $(C_f)$ avec soin l’unités d’axe : 1,5 cm; Prendre $\alpha=0,6$. 1 pt
5. Soit $M(x;y)$ un point de la courbe représentative de la fonction : $x\mapsto \ln(x)$.
a. Justifier que $OM=f(x)$. 0,25 pt
b. En déduire l’abscisse du point $M$ en lequel la distance $OM$ est minimale. 0,25 pt
6. Soit $x$ un réel strictement positif,
a. Justifier que $x\le f(x)$. 0,25 pt
b. Montrer que $\sqrt{x^2+\ln^2(x)}-x\le \dfrac{\ln^2(x)}{2x}$. 0,25 pt
7. a. Déduire que : $\dfrac{3}{2}\le \int_{1}^{2} f(x)\,dx \le \dfrac{1}{6}\ln^3(2)+\dfrac{3}{2}$. 0,25 pt
b. En déduire en unité d’aire, une valeur approchée à $10^{-1}$ près par défaut de l’aire de la portion du plan constituée des points $M(x;y)$ tels que : $\left\{\begin{array}{l}1\le x\le 2\\0\le y\le f(x)\end{array}\right.$. 0,25 pt
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Épreuve de mathématiques — BAC C 2019
Conclusion du BAC C 2019
D’abord, prenez le temps de relire chaque consigne avant de traiter les questions. Ensuite, avancez pas à pas et sécurisez les points faciles. Puis, le BAC C 2019 se prépare mieux en s’entraînant régulièrement sur Ndolomath. Enfin, gardez confiance : le BAC C 2019 récompense la méthode et la précision.
