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L’épreuve de mathématiques du BACCALAUREAT C 2013
Exercice 1 série C uniquement2,5 points
$N$ désigne un entier naturel dont l’écriture en base $10$ est $N=a_n a_{n-1}\cdots a_1 a_0$.
1. Démontrer que le reste de la division de $N$ par $100$ est l’entier $r$ dont l’écriture en base $10$ est $r=a_1 a_0$.
2. Application : Démontrer que le chiffre des unités et le chiffre des dizaines du nombre $N=7^{7^{7^{7}}}$ sont respectivement $3$ et $4$.
Exercice 1 Série E uniquement2,5 points
Soit $f$ une fonction numérique continue sur $[0;1]$ et telle que pour tout réel $x\in[0;1]$, $\int_x^1 f(t)\,dt\ge \dfrac{(1-x)^2}{2}$.
Soit $F$ une primitive de $f$ sur $[0;1]$.
1. (a) En intégrant par partie l’intégrale $I=\int_0^1 f(x)\,dx$, montrer que : $F(1)=\int_0^1 x f(x)\,dx+\int_0^1 F(x)\,dx$ 0,75pt
b) En déduire que $\int_0^1 x f(x)\,dx\ge \dfrac{1}{3}$ 0,75pt
2. a) Développer et réduire $(f(x)-x)^2$ 0,5pt
b) Déduire que $\int_0^1 [f(x)]^2\,dx\ge \dfrac{1}{3}$.
Exercice 22,5 point
$\lambda$ désigne un nombre réel strictement positif. On donne dans l’espace un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=2\lambda$ et $AC=\lambda$.
1. Construire le barycentre $G$ des points $A$, $B$ et $C$ affectés respectivement des coefficients $3$, $-1$ et $2$ 0,5 pt
2. Déterminer l’ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ de l’espace vérifiant : $3MA^2-MB^2+2MC^2=5\lambda^2$ 0,5 pt
3. On suppose l’espace rapporté à un repère orthonormé $(A,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On donne $B(0,4,0)$ et $C(0,0,2)$.
(a) Déterminer les coordonnées de $G$.
(b) Ecrire des équations cartésiennes du plan $(ABC)$ et de $(\Gamma)$.
(c) Préciser l’intersection de $(ABC)$ et de $(\Gamma)$ 0,5 pt
Exercice 35 points
$\alpha$ désigne un réel de l’intervalle $]0;\dfrac{\pi}{2}[$. Le plan complexe orienté est rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{u},\vec{v})$. $\mathbb{C}$ désigne l’ensemble des nombres complexes.
1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation : $z^2\cos^2\alpha – z\sin 2\alpha + 1=0$ 1,25 pt
On note $z_1$ et $z_2$ les solutions de cette équation; $z_1$ désigne la solution dont la partie imaginaire est positive. $A$ et $B$ désignent les points d’affixes respectives $z_1$ et $z_2$.
2. Quelle est la nature du triangle $OAB$ ? Justifier votre réponse.
3. a) Calculer une mesure en radians de l’angle $(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA})$.
b) En déduire une mesure en radians de l’angle $(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BO})$.
4. Résoudre l’équation différentielle $(\cos^2\alpha)f »-(\sin 2\alpha)f’+f=0$ sachant que $f$ est une fonction numérique d’une variable réelle $x$ vérifiant $f(0)=1$ et $f'(0)=-\tan\alpha$.
Problème :10 points
Dans tout le problème, on note
$f$ la fonction définie dans l’intervalle $]-2;+\infty[$ par $f(x)=\ln(x+2)$;
$g$ la fonction définie dans l’intervalle $]0;+\infty[$ par $g(x)=\ln x$;
$(C_f)$ et $(C_g)$ les courbes représentatives de $f$ et $g$ dans un repère orthonormé, l’unité de longueur sur les axes étant égale à $2$ cm. On appelle $(D)$ la droite d’équation $y=x$ dans le repère précédent;
$(u_n)$ la suite numérique définie par $u_0=1$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=f(u_n)$;
$(v_n)$ la suite numérique définie par $v_0=2$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}=g(v_n)$.
1. (a) Dresser les tableaux de variation de $f$ et $g$.
(b) Démontrer que $(C_f)$ et $(D)$ se coupent en deux points $M_1$ et $M_2$ dont les abscisses $x_1$ et $x_2$ vérifient $-2<x_1<-1$ et $1<x_2<2$.
(c) Etudier suivant les valeurs de $x$ les positions relatives de $(C_f)$ et $(D)$.
(d) Tracer $(C_f)$, $(C_g)$ et $(D)$ après avoir étudier les branches infinies de $(C_f)$ et $(C_g)$.
2. Démontrer que $(C_f)$ est l’image de $(C_g)$ par la translation de vecteur $-2\vec{i}$.
3. On note $(\Gamma)$ la partie du plan définie par les droites d’équation $x=-1$; $x=1$; $(C_f)$ et $(D)$. Calculer à l’aide d’une integration par parties, la valeur exacte de l’aire de $(\Gamma)$.
4. On note $\alpha$ et $\beta$ deux réels tels que $x_1<\alpha<x_2<\beta$. Démontrer que $x_1<f(\alpha)<x_2<f(\beta)$.
5. (a) Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
(b) Démontrer que la suite $(v_n)$ est décroissante.
(c) Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $1\le u_n<x_2<v_n\le 2$.
6. On note $I$ l’intervalle $[1;2]$.
(a) Démontrer que, pour tout $x$ de $I$, $\dfrac{1}{4}\le f'(x)\le \dfrac{1}{3}$.
(b) En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $0<f(v_n)-f(u_n)<\dfrac{1}{3}(v_n-u_n)$.
7. (a) Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $0<v_n-u_n\le \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$.
(b) En déduire que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont convergentes et ont même limite.
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Épreuve de mathématiques — BACCALAUREAT C 2013
Conclusion du BACCALAUREAT C 2013
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