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L’épreuve de mathématiques du BAC C 2011
Exercice 13points
Pour tout entier naturel $n$, on considère $I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-\frac{nx}{2}}\sin x$ et $J_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-\frac{nx}{2}}\cos x$.
1. En utilisant une intégration par parties montrer que $2I_n+nJ_n=2$ et $nI_n-2J_n=-2e^{-\frac{n\pi}{4}}$. 1.5 pt
2. Déduire de 1 . les expressions de $I_n$ et $J_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
3. Les suites $(I_n)$ et $(J_n)$ sont-elles convergentes ?
Exercice 23 points
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. On donne les points $A(-1,2,1)$; $B(1,-6,-1)$; $C(2,2,2)$; $I(0,1,-1)$.
1. a) Calculer $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$.
b) Déterminer une équation cartésienne du plan $(P)$ contenant les points $A$, $B$ et $C$.
2. a) Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal de $I$ sur le plan $(P)$.
b) $(S)$ est la sphère de centre $I$ et de rayon $3$ ; déterminer l’intersection du plan $(P)$ et de la sphère $(S)$. 1.25 pt
Exercice 34 points
Le plan complexe est muni d’un repère orthogonal $(O,\vec{e_1},\vec{e_2})$. $A$ et $B$ sont deux points du plan tels que $AB=6$ cm. $r_1$ est la rotation de centre $A$ et d’angle $\frac{\pi}{3}$; $r_2$ est la rotation de centre $B$ et d’angle $-\frac{2\pi}{3}$, $r_2^{-1}$ est la transformation réciproque de $r_2$.
Si $M$ est un point du plan, on note $M_1$ l’image du point $M$ par $r_1$ et $M_2$ l’image du point $M$ par $r_2$.
1. On pose $f=r_1\circ r_2^{-1}$.
(a) Montrer que $f$ est une symétrie centrale et déterminer $f(M_2)$.
(b) En déduire que le milieu $I$ du segment $[M_1M_2]$ est le centre de la symétrie $f$.
2. On suppose que $A$ et $B$ ont pour affixes respectives $-3$ et $+3$ ; on note $z$, $z_1$ et $z_2$ les affixes respectives des points $M$, $M_1$ et $M_2$.
1. (a) Exprimer $z_1$ et $z_2$ en fonction de $z$.
(b) Montrer que si $M$ est distinct de $A$ et de $B$, on a : $\dfrac{z_2-z}{z_1-z}=i\sqrt{3}\dfrac{z-3}{z+3}$.
(c) En déduire que : $(\overrightarrow{MM_1};\overrightarrow{MM_2})\equiv (\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB})+\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]$.
(d) Déterminer et construire l’ensemble $(T)$ des points $M$ du plan tels que $M$, $M_1$ et $M_2$ soient alignés.
Problème :10 points
On considère la famille de fonctions $f_\lambda$ définies par $f_\lambda(x)=1+\ln(1+\lambda x)$ où $\lambda$ est un réel non nul ; $\ln$ désigne le logarithme népérien, $(C_\lambda)$ la courbe de $f_\lambda$ et $(D)$ la droite d’équation $y=x$ dans le plan muni du repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.
Partie A: 4points. Recherche des points d’intersection de $(C_\lambda)$ et $(D)$
1. Déterminer l’ensemble de définition de $f_\lambda$.
On pose $\varphi_\lambda(x)=f_\lambda(x)-x$.
2. On suppose $\lambda<0$. Etudier les variations de $\varphi_\lambda$ et dresser son tableau de variations. En déduire le nombre de points d’intersection de $(C_\lambda)$ et $(D)$.
3. (a) On suppose $\lambda>0$. Etudier les variations de $\varphi_\lambda$ et dresser son tableau de variations. Etablir que la plus grande valeur prise par $\varphi_\lambda$ quand $x$ décrit l’ensemble de définition est $m(\lambda)=\dfrac{1}{\lambda}+\ln\lambda$. 1pt
(b) Etudier les variations de $m$ sur $]0;+\infty[$ ; en déduire le signe de $m(\lambda)$.
(c) Déterminer le nombre de points communs à $(C_\lambda)$ et $(D)$ lorsque $\lambda$ est positif.
Partie B : 2.75 points.
Etude du cas particulier $\lambda=1$.
1. (a) Soit $(\Gamma)$ la courbe de la fonction logarithme népérien; trouver une translation qui transforme $(\Gamma)$ en $(C_1)$.
(b) Représenter graphiquement $(C_1)$ et la droite $(D)$. On prendra pour unité $3$ cm sur les axes. 0.75 pt
2. On appelle $P$ et $Q$ les points d’intersection de $(C_1)$ et $(D)$; $P$ est le point d’abscisse négative $p$ et $Q$ est le point d’abscisse positive $q$.
Démontrer que $2<q<3$. 0.75 pt
3. L’unité d’aire étant le cm$^2$, calculer en fonction de $p$ et $q$ l’aire du domaine compris entre $(C_1)$, $(D)$ et les droites d’équations $x=p$, $x=q$. On pourra utiliser une intégration par parties.
Partie C: 3 points
Valeur approchée de $q$.
On se propose de calculer une valeur approchée de $q$; on définit la suite $(u_n)$ par $\left\{\begin{array}{l}u_0=2\\u_{n+1}=f_1(u_n)\end{array}\right.$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
1. Représenter à l’aide de la courbe $(C_1)$ les termes $u_1$ et $u_2$ sur $(O,\vec{i})$. 0.5 pt
2. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $q$. 0.75 pt
3. Montrer en utilisant l’inégalité des accroissements finis que $q-u_{n+1}\le \dfrac{1}{3}(q-u_n)$ pour tout entier naturel $n$. 0.75 pt
4. En déduire que pour tout entier naturel $n$: $q-u_n\le \dfrac{q-u_0}{3^n}$, et que la suite $(u_n)$ converge vers $q$. 0.75 pt
5. Déterminer une valeur approchée $u_k$ de $q$ à $10^{-2}$ près en utilisant la suite $(u_n)$. 0.75 pt
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Épreuve de mathématiques — Baccalauréat C 2011
Conclusion du BAC C 2011
D’abord, révisez tranquillement en suivant la logique des questions, sans brûler les étapes. Ensuite, sur BAC C 2011, gardez un brouillon propre et vérifiez chaque calcul. Puis, Ndolomath vous aide à réviser régulièrement, même quand la confiance baisse. Enfin, avec BAC C 2011, entraînez-vous au temps, et vous serez prêt le jour J.
