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L’épreuve de mathématiques du BAC C 2009
Exercice 1 (série E uniquement)4 points
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les points : $A(-4; 6; -1); B(1; 2; 2); C(-1; 4; 3)$.
1. (a) Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés 0,5 pt
(b) Calculer l’aire du triangle $ABC$ 0,5 pt
2. Écrire une équation cartésienne du plan $(ABC)$ 1 pt
3. Soit $I$ le milieu de $[AC]$, et $D=S_I(B)$ où $S_I$ désigne la symétrie de centre $I$.
(a) Démontrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires 1 pt
(b) Donner la nature du quadrilatère $ABCD$ et puis calculer son aire. 1 pt
Exercice 2 (série C uniquement)4 points
L’entier naturel $S$ désigne la somme des diviseurs positifs de $p^4$, où $p$ est un nombre premier plus grand que $2$.
1. Exprimer $S$ en fonction de $p$.
2. Démontrer que : $(2p^2+p)^2 < 4S < (2p^2+p+2)^2$. 0,5 pt
On suppose que $S$ est un carré parfait et on pose $S=n^2$, où $n$ est un entier naturel.
(a) Établir l’existence et l’unicité de $n$ lorsque $p$ est fixé.
(On pourra utiliser la question 2) 0,5 pt
(b) Exprimer $n$ en fonction de $p$.
(c) Établir que $p$ vérifie la relation : $3+2p-p^2=0$ 1 pt
(on utilisera le fait que $4S=4n^2$)
(d) Déduire de c) $p$ et puis $n$. 0,5 pt
Exercice 3 :5 points
Un dé cubique pipé est tel que :
Deux faces sont marquées $2$ ;
trois faces sont marquées $4$ et une face est marquée $6$.
La probabilité $p_i$ d’apparition de la face marquée $i$ est proportionnelle au nombre $i$
1. Calculer $p_2$, $p_4$, $p_6$.
2. On suppose dans la suite que $p_2=\dfrac{1}{6}$ ; $p_4=\dfrac{1}{3}$ et $p_6=\dfrac{1}{2}$
On lance deux fois de suite le dé précédent,
Soit $i$ le résultat du premier lancer et $j$ le résultat du 2ème lancer.
On définit a variable aléatoire $X$ qui au couple $(i;j)$ associe le nombre $i$
(a) Déterminer l’univers image de $X$ 1 pt
(b) Déterminer la loi de probabilité de $X$.
Problème :11 points
Le problème comporte trois parties $A$, $B$ et $C$ obligatoires. La partie $C$ est indépendante.
Partie A
On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie par : $f(x)=\dfrac{e^x+1}{e^x-1}$ et $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ du plan.
1. (a) Calculer la dérivée $f’$ de $f$ et dresser le tableau de variation de $f$. 0,75 pt
(b) Étudier le signe de la dérivée seconde et en déduire la position relative de $(C_f)$ par rapport à sa tangente $T_O$ en $O$. 0,75 pt
(c) Démontrer que l’origine $O$ du repère est un point d’inflexion pour la courbe $(C_f)$.
2. (a) Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ vers un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ que l’on précisera.
(b) Soit $g$ la bijection réciproque de $f$ et $(C_g)$ sa courbe représentative.
Montrer que pour tout $x$ de $I$, $g(x)=\ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)$.
3. Construire dans le même graphique les courbes $(C_f)$ et $(C_g)$.
(on prendra $2$ cm comme unité sur les axes de coordonnées) 1,5 pt
4. Pour tout entier naturel $n$ strictement positif, on définit la suite numérique $(U_n)$ par : $U_n=\int_0^{\frac{n-1}{n}}[\ln(x+1)-\ln(x-1)]\,dx$
(a) En utilisant l’intégration par parties, montrer que pour tout entier naturel non nul, $U_n=\left(\dfrac{2n-1}{n}\right)\ln\left(\dfrac{2n-1}{n}\right)-\dfrac{\ln n}{n}$. 1 pt
(b) Calculer la limite de la suite $U_n$ et interpréter graphiquement le résultat. 0,75 pt
Partie B
1. Soit $S$ la symétrie orthogonale d’axe $(\Delta)$ : $y=x$ et $T$ la translation de vecteur $\overrightarrow{OA}=3\vec{i}+\vec{j}$.
On pose : $\varphi=T\circ S$.
(a) Donner la nature de l’application $\varphi$. 0,5 pt
(b) Construire l’image par $\varphi$ de la courbe $(C_f)$.
2. On considère :
les vecteurs : $\vec{e_1}=\vec{i}+\vec{j}$ ; $\vec{e_2}=\vec{i}-\vec{j}$
la droite $(\Delta’)$ : $x-y-1=0$,
et $S’$ la symétrie orthogonale d’axe $(\Delta’)$
(a) Vérifier que le triplet $(O;\vec{e_1},\vec{e_2})$ forme un repère orthogonal du plan. 0,25 pt
(b) Montrer que dans la base $(\vec{e_1},\vec{e_2})$, le vecteur $\overrightarrow{OA}$ se décompose de façon unique sous la forme $\overrightarrow{OA}=\vec{V_1}+\vec{V_2}$, où $\vec{V_1}$ et $\vec{V_2}$ sont des vecteurs colinéaires à $\vec{e_1}$ et à $\vec{e_2}$ que l’on précisera.
(c) On désigne par $H$ et $H’$ les projetés orthogonaux respectifs de $A$ sur $(\Delta)$ et sur $(\Delta’)$.
Montrer que $\vec{V_2}=2\overrightarrow{HH’}$.
En déduire que $T=T_1\circ S’\circ S$ 1 pt
où $T_1$ est une translation dont on donnera le vecteur.
(d) Montrer que $\varphi=T_1\circ S’$ 0,25 pt
Partie C
Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Soit $(D)$ la droite d’équation $x=2$. Les points $M$ et $F$ du plan $(P)$ ont pour affixes respectives $z$ et $1-i$.
1. Exprimer en fonction de $z$, la distance de $M$ à la droite $(D)$. 0,5 pt
2. On suppose $z+\overline{z}-4\ne 0$.
Pour tout réel $m$ strictement positif, $(F_m)$ est l’ensemble des points $M$ dont l’affixe $z$ est solution de l’équation $(\Gamma_m)$ suivante : $|z-1+i|=m|\overline{z}+z-4|$.
(a) Déterminer suivant les valeurs de $m$ la nature de $(\Gamma_m)$.
(b) Pour $m=1$, donner les éléments caractéristiques de $(\Gamma_m)$
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Épreuve de mathématiques — BAC C 2009
Conclusion du BAC C 2009
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