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L’épreuve de mathématiques du BAC C 2008
Exercice 1
1. Résoudre dans ℤ l’équation : $12x-5y=3$.
2. On considère la suite de nombres complexes $Z_n$ définie par :
$\{\,Z_0=i\ ;\ Z_{n+1}=(-\frac{\sqrt3}{2}+\frac12 i)\,Z_n\ \text{pour tout }n\ge 0\,\}$
On désigne par $M_n$ le point image de $z_n$ dans le plan complexe d’origine $O$.
(a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $Z_n=e^{\,i(\frac{\pi}{2}+\frac{5n\pi}{6})}$.
(b) Déterminer l’ensemble des entiers naturels $n$ pour lesquels $M_n$ appartient à la demi-droite $[Ox)$.
Exercice 2 (série E uniquement)
On considère deux suites numériques $u$ et $v$ définies pour tout entier naturel non nul $n$ par :
$u_n=\sum_{i=1}^{n}\sin\left(\frac{i}{n^2}\right)\ ,\ v_n=\sum_{i=1}^{n}\sin\left(\frac{i}{n^2}\right)$
1. Montrer que la suite $v$ converge vers $\frac12$.
2. Soient les fonctions numériques $f$, $g$ et $h$ définies par :
$f(x)=x-\sin x\ ;\ g(x)=-1+\frac{x^2}{2}+\cos x\ \text{et}\ h(x)=-x+\frac{x^3}{2}+\sin x$.
Montrer que pour tout $x$ positif, $f(x)\ge 0$ ; $g(x)\ge 0$ et $h(x)\ge 0$.
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul $n$, $u_n=\sum_{i=1}^{n} i^3 \le n^4$.
4. En déduire que pour tout entier naturel non nul $n$, $v_n-\frac{1}{6n^2}\le u_n\le v_n et$ calculer la limite de la suite $u$.
Exercice 2
On considère l’espace $E$ rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$.
Soient les points $A(3;-2;2)$ ; $B(6;1;5)$ ; $C(6;-2;-1)$ ; $D(0;4;-1)$.
1. Déterminer le produit vectoriel $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$ et en déduire que les points $A$, $B$ et $C$ sont trois points non alignés.
2. a) Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
(b) Ecrire une équation cartésienne du plan $(P_1)$ orthogonal à la droite $(AC)$, passant par $A$.
(c) Vérifier que le plan $(P_2)$ d’équation $x+y+z-3=0$ est orthogonal à la droite $(AB)$ et passe par $A$.
3. Donner l’expression analytique de la projection orthogonale $p$ sur le plan $P_2$.
4. a) Ecrire une équation cartésienne de la sphère $(S)$ de centre $B$ et de rayon $R=5\sqrt3$.
(b) Donner la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble $L=(S)\cap(P_2)$.
5. a) Calculer les produits scalaires $\overrightarrow{AD}\wedge\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}\wedge\overrightarrow{AC}$.
En déduire que la droite $(AD)$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
(b) On rappelle que le volume du tétraèdre $ABCD$ est $V=\frac13\,\text{aire}(ABC)\times AD$.
Déterminer alors la valeur de $V$.
PROBLEME
Le problème comporte trois parties A , B et C indépendantes.
Partie A
On considère trois urnes $U$, $V$ et $W$ contenant chacune des boules portant le numéro $1$ ou le numéro $2$.
La probabilité de tirer une boule numérotée $1$ de $U$ est $p_1=0,4$.
celle de tirer $1$ de $V$ est $P_2=0,5$.
et enfin celle de tirer $1$ de $W$ est $P_3=0,7$.
On tire une boule de $U$, une boule de $V$ et une autre de $W$.
Soient $a$, $b$ et $c$ les numéros respectifs de ces boules.
Soit $(Q)$ le plan d’équation : $ax+by+cz+6=0$, et soit $(E)$ la conique d’équation : $\frac{x^2}{a^2}-(-1)\frac{y^2}{b^2}=1$.
Calculer la probabilité pour que :
a. $(Q)$ soit parallèle au plan $(P)$ : $x+2y+z-4=0$.
b. $(Q)$ contienne le point $M(0,-2,-1)$.
c. $(E)$ soit une ellipse.
d. $(E)$ soit une hyperbole équilatère.
Partie B
On considère la fonction $f$ définie de $[-\pi,\pi]\setminus\{0\}$ vers $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\int_{x}^{3x}\frac{\cos t}{t}\,dt$.
1. Étudier et dresser sur $[-\pi,\pi]$ le tableau de variation de la fonction $g: x\mapsto 1-\frac{x^2}{2}-\cos x$.
2. Démontrer que $\forall t\in[-\pi,\pi],\ 1-\frac{t^2}{2}\le \cos t \le 1$.
3. En déduire que si $x$ est un réel non nul de $[-\pi,\pi]$, alors $\ln 3-2x^2\le \int_{x}^{3x}\frac{\cos t}{t}\,dt \le \ln 3$ où $\ln$ désigne le logarithme népérien.
Vous distinguerez obligatoirement les cas » $x$ positif » et » $x$ négatif ».
4. (a) En déduire $\lim_{x\to 0} f(x)$.
(b) Peut-on prolonger par continuité $f$ en $0$ ? justifier la réponse.
5. Montrer que $f$ est dérivable sur $[-\pi,\pi]\setminus\{0\}$ puis calculer le nombre dérivé de $f$ en $\frac{\pi}{6}$.
On pose $h$ la fonction définie de $]0,+\infty[$ vers $\mathbb{R}$ par : $h(x)=\frac{\cos t}{t}$.
6. La fonction $h$ est-elle deux fois dérivable sur $]0,+\infty[$ ?
7. Vérifier que $h$ est solution de l’équation différentielle $x h »(x)+2h'(x)+x h(x)=0$ pour tout $x$ de $]0,+\infty[$.
Partie C
Le plan étant direct, on considère un carré direct $ABCD$.
$E$ étant le milieu de $[CD]$, $F$ et $G$ sont des points tels que $DEFG$ est aussi un carré direct.
1. Faire une figure.
2. Soit $s$ la similitude de centre $D$ qui transforme $A$ en $B$. Donner le rapport et l’angle de $s$.
3. Déterminer $s(E)$.
4. Soit $\Gamma$ le cercle circonscrit à $ABCD$ et $I$ le point d’intersection des droites $(AE)$ et $(BF)$.
(a) Calculer $mes(\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EB})$. En déduire que $I\in\Gamma$.
(b) Montrer que les droites $(IB)$ et $(DI)$ sont orthogonales.
5. On suppose le plan rapporté au repère orthonormé $(A,\frac{\overrightarrow{AB}}{AB},\frac{\overrightarrow{AD}}{AD})$ et $AB=3$.
(a) Donner l’écriture complexe de $s$.
(b) On pose $\vec i=\frac{\overrightarrow{AB}}{AB}$ et $\vec j=\frac{\overrightarrow{AD}}{AD}$.
Soit $\vec u=\vec i+\vec j$ et $\vec v=\vec i-\vec j$.
Montrer $(\vec u,\vec v)$ est une base et donner la matrice de l’application linéaire associée à $s$ dans cette base.
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Épreuve de mathématiques — BAC C 2008
Conclusion du BAC C 2008
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