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L’épreuve de mathématiques du BACCALAURÉAT C 2006
Exercice 14 points
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec i,\vec j)$.
Soit $z=x+iy$ et $z’=x’+iy’$ deux nombres complexes.
On considère la transformation $r$ définie par :
à tout point $M$ d’affixe $z$ on associe le point $M’$ d’affixe $z’$ tel que :
$ \begin{array}{l} 2x’=x-y\sqrt{3}+\sqrt{3}\\ 2y’=x\sqrt{3}+y+1 \end{array} $
1. (a) Donner l’écriture complexe de $r$. 1 pt
(b) En déduire la nature exacte et les éléments géométriques de $r$. 1 pt
2. Soit $h$ l’application du plan dans le plan qui à tout point $M$ d’affixe $z$ associe le point $M’$ d’affixe $z’$ définie par $z’$ tel que : $z’=-2z+3i$.
Montrer que $h$ est une homothétie de centre $\Omega(0;1)$. 0,5 pt
3. On considère $s=h\circ r$.
(a) Déterminer la nature et les éléments géométriques de $s$. 1 pt
(b) Donner l’expression exponentielle de $s$. 0,5 pt
Exercice 25 points
Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$. Unité sur les axes $1$ cm.
$(H)$ est l’ensemble des points $M(x;y)$ tels que : $4x^2-9y^2+16x+18y-29=0$.
1. (a) Montrer que $(H)$ est une hyperbole. 0,5 pt
(b) Déterminer respectivement le centre, les axes, les sommets et les asymptotes de $(H)$. 1 pt
2. Soit $\Omega$ le point de coordonnées $(-2;1)$ et $\vec e_1=3\vec i+2\vec j$, $\vec e_2=3\vec i-2\vec j$ deux vecteurs du plan.
(a) Montrer que $(\Omega,\vec e_1,\vec e_2)$ est un repère du plan. 0,5 pt
(b) Montrer que l’équation cartésienne de $(H)$ dans le repère $(\Omega,\vec e_1,\vec e_2)$ est $Y=\dfrac{1}{4}X$. 1 pt
(c) En déduire l’excentricité et les foyers de $(H)$ dans le repère $(\Omega,\vec e_1,\vec e_2)$. 1 pt
3. Représenter graphiquement $(H)$ dans le repère $(O,\vec i,\vec j)$. 1 pt
PROBLEME11 points
Le problème comporte trois parties indépendantes $A$ ; $B$ et $C$, Le candidat se doit de traiter chacune des trois parties
Partie A
Géométrie dans l’espace
L’espace orienté est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$.
On considère les points $A(1;1;-1,5)$, $B(0;1;-1)$, $C(-4;-3;-2)$ et $D(1;1;-1)$.
1. (a) Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. 1 pt
(b) Ecrire une équation cartésienne du plan $(ABC)$. 1 pt
2. Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas colinéaires. 0,5 pt
3. Les trois points $A$, $B$, $C$ et $D$ définissent un tétraèdre $ABCD$. Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$. 0,5 pt
Partie B
Suites numériques et sommes
Soit $(u_n)$ la suite définie par :
$ \begin{array}{l} u_0=2\\ u_{n+1}=1+\dfrac{2}{5}u_n,\ \text{pour tout entier }n \end{array} $
1. On suppose que la suite $(u_n)$ est convergente. Montrer alors que sa limite est $\dfrac{5}{3}$. 1 pt
2. On pose $v_n=u_n-\dfrac{5}{3}$.
(a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le 1er terme $v_0$. 1 pt
(b) En déduire l’expression de $v_n$ puis celle de $u_n$ en fonction de $n$. 0,5 pt
(c) Etudier la convergence de la suite $(v_n)$. 0,5 pt
3. On pose $S_n=v_0+v_1+\cdots+v_{n-1}$ et $S’_n=u_0+u_1+\cdots+u_{n-1}$.
(a) Exprimer $S_n$ en fonction de $v_0$ et $n$. 0,5 pt
(b) Exprimer $S’_n$ en fonction de $v_0$ et $n$. 0,5 pt
Partie C
Équation différentielle, fonction et aire
On considère l’équation différentielle $(E)$ : $y »+4y’+5y=0$.
1. (a) Déterminer la solution générale de $(E)$. 1 pt
(b) Déterminer la solution de $(E)$ dont la courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé passe par le point de coordonnées $(0;1)$ et la tangente en ce point a pour coefficient directeur $-2$. 0,5 pt
2. Soit $f$ la fonction de la variable réelle $x$ définie sur $[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}]$, par : $f(x)=\dfrac{e^{-2x}}{\cos x}$.
On note $C_f$ la courbe de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé.
(a) Ecrire une équation cartésienne de la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $0$. 0,5 pt
(b) Donner le signe de $f$ sur son ensemble de définition. 0,5 pt
3. Soit $F$ la fonction définie par $F(x)=\dfrac{1}{5}e^{-2x}(\sin x-2\cos x)$.
$(\Delta)$ le domaine plan délimité par la courbe $C_f$, l’axe des ordonnées, l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=-\dfrac{\pi}{2}$.
(a) Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}]$. 0,5 pt
(b) En déduire la valeur exacte de l’aire du domaine $(\Delta)$. 1 pt
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Épreuve de mathématiques — BACCALAURÉAT C 2006
Conclusion du BACCALAURÉAT C 2006
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