D’abord, le BACCALAURÉAT C 2004 est présenté clairement sur Ndolomath pour vous entraîner sereinement.
Ensuite, le BACCALAURÉAT C 2004 suit le cadre de la définition de l’examen et vos révisions gagnent en confiance.
Puis, le BACCALAURÉAT C 2004 vous aide à travailler méthode, calculs et rédaction comme le jour J.
Enfin, le BACCALAURÉAT C 2004 vous permet de vérifier votre niveau et d’ajuster votre stratégie.
L’épreuve de mathématiques du BACCALAURÉAT C 2004
Exercice 14 points
Dans un plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec e_1,\vec e_2)$, on considère la parabole $(P)$ d’équation : $y^2=-2x+1$.
1. (a) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de $(P)$ et de l’axe $(O,\vec e_1)$. 0,5 pt
(b) Déterminer les équations cartésiennes des tangentes à $(P)$ en ces points. 0,5 pt
(c) Déterminer les coordonnées du foyer de $(P)$ et une équation de sa directrice. 1 pt
2. On prendra $2cm$ comme unité de longueur sur les axes.
Tracer $(P)$ ainsi que ses tangentes. 1 pt
3. Soit l’application $s$ du plan définie analytiquement par :
$ \begin{cases} x’=-\dfrac{3}{5}x+\dfrac{4}{5}y+4\\ y’=\dfrac{4}{5}x+\dfrac{3}{5}y-2 \end{cases} $
(a) Montrer que $s$ est une symétrie orthogonale dont on déterminera l’axe. 0,5 pt
(b) Déterminer une équation cartésienne de l’image $(P’)$ de $(P)$ par $s$ et construire $(P’)$. 0,5 pt
Exercice 25 points
Dans cet exercice, $p$ désigne un nombre complexe dont la partie imaginaire est non nulle. Le plan orienté est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$.
L’équation $z^2-2pz+1=0$ a deux solutions $z_1$ et $z_2$ appartenant à l’ensemble des nombres complexes.
On considère les points $A$, $B$, $P$, $M’$ et $M »$ d’affixes respectives $1$, $-1$, $p$, $z_1$ et $z_2$.
1. Démontrer sans calculer $z_1$ et $z_2$ que :
(a) $P$ est milieu de $[M’M »]$. 0,5 pt
(b) $OM’\times OM »=OA^2=OB^2$. 0,5 pt
(c) La droite $(xx’)$ de repère $(O,\vec u)$ est la bissectrice intérieure de l’angle $\widehat{M’OM »}$. 1 pt
2. Démontrer que les points $A$, $B$, $M’$ et $M »$ sont cocycliques. 1 pt
3. (a) Calculer $(z_1-p)^2$ et $(z_2-p)^2$ en fonction de $p$. 0,5 pt
(b) En déduire que : $PA\times PB=PM’^2=PM »^2$. 0,5 pt
La droite $(M’M »)$ est la bissectrice extérieure de l’angle $\widehat{APB}$.
4. Le point $P$ étant donné, donner un programme de construction des points $M’$ et $M »$. 1 pt
PROBLEME11 points
Données et repère
Soit la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+3x+6}{2x-4}$ et $t$ un nombre réel.
$(C_f)$ désigne la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$. Unités de longueur sur les axes : $1cm$.
Mise sous forme et premiers résultats
1. Montrer qu’il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout réel $x$ différent de $2$ : $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-2}$. 1 pt
Étude de la courbe $(C_f)$
2. (a) Étudier les variations de la fonction $f$. 1 pt
(b) Montrer que la courbe $(C_f)$ admet une asymptote oblique dont on déterminera une équation cartésienne et un centre de symétrie $\Omega\left(2;\dfrac{7}{2}\right)$. 1 pt
(c) Construire la courbe représentative $(C_f)$ de $f$ dans le repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$. 1 pt
Changement de repère et position relative
3. (a) Déterminer l’équation $Y=F(X)$ de la courbe $(C_f)$ dans le repère $(\Omega,\vec i,\vec j)$. 0,5 pt
(b) Montrer que le produit $XY$ des coordonnées d’un point de $(C_f)$, par rapport au repère $(\Omega,\vec i,\vec j)$, est strictement supérieur à $8$. 0,5 pt
(c) Discuter, selon les valeurs du paramètre $t$, l’intersection de la droite $(D_t)$ d’équation $Y=tX$ et la courbe $(C_f)$. 0,5 pt
Coordonnées des points d’intersection
4. Exprimer en fonction de $t$ les coordonnées $(X;Y)$ des points d’intersection quand ils existent de $(D_t)$ et $(C_f)$. 0,5 pt
Aires entre courbes et sommes
5. $H$ désigne la courbe qui a pour équation $y=\dfrac{8}{x-2}$ dans le repère $(O,\vec i,\vec j)$. Soit $V_n$ l’aire de la portion du plan limitée par les droites d’équations $x=6$ ; $x=6+n$, $(n)\in\mathbb{N}^*$ et les courbes $(C_f)$ et $(H)$.
(a) Exprimer $V_n$ en fonction de $n$. 0,5 pt
(b) Montrer que la somme des carrés des $n$ premiers entiers naturels non nuls est égale à $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ et déduire la somme $S_n=V_1+V_2+\cdots+V_n$ en fonction de $n$. 0,5 pt
(c) Montrer que le plus petit entier naturel $n$ satisfaisant à la condition $S_n>100$ est $6$. 0,5 pt
Suite $(U_n)$ et convergence
6. On considère la suite $(U_n)$ définie par $U_0=10$ et $U_{n+1}=\dfrac{4}{5}f(U_n)$.
(a) Calculer $U_1$ et exprimer $U_{n-2}$ en fonction de $U_{n-1}$. 0,5 pt
(b) Montrer alors que $(U_{n-2}-2)(U_{n-1}-2)$ est positif pour tout entier naturel non nul. 0,5 pt
(c) Déduire que pour tout entier naturel $n$, $(U_n-2)$ est positif. 0,5 pt
7. (a) Calculer $(U_n-6)$ et montrer que pour tout entier naturel, $(U_n-6)$ est positif. 0,5 pt
(b) Démontrer l’inégalité : $\dfrac{U_n-6}{U_n-10}\le \left(\dfrac{6}{5}\right)^n$ pour tout entier naturel non nul. 0,5 pt
(c) En raisonnant par récurrence, montrer que $\left|U_n-6\right|\le 5\left(\dfrac{6}{5}\right)^n$ pour tout entier naturel. 0,5 pt
(d) Déduire que la suite $(U_n)$ converge et calculer la limite de $U_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$. 0,5 pt
Télécharger l’épreuve de maths du BACCALAURÉAT C 2004
Épreuve de mathématiques — BACCALAURÉAT C 2004
Conclusion du BACCALAURÉAT C 2004
D’abord, le BACCALAURÉAT C 2004 vous entraîne à lire vite et répondre avec une méthode solide.
Ensuite, vous progressez en refaisant chaque exercice calmement, puis en comparant vos démarches.
Puis, Ndolomath vous aide à garder confiance et à réviser de façon régulière et efficace.
Enfin, le BACCALAURÉAT C 2004 devient un excellent test final avant l’examen.
