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L’épreuve de mathématiques du Baccalauréat C 2002
Exercise 13 points
X est une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé fini de probabilité $p$ sachant que $X$ prend les valeurs $0,1,2$ et $3$, et que $P(X>2)=\dfrac{1}{3}$ ; $P(X<2)=0.5$; $P(X=0)=P(X=1)$.
1. Recopier et compléter le tableau suivant qui donne la loi de probabilité de $X$ 1 pt
$\begin{array}{c|cccc} x & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline P(X=x) & \; & \; & \; & \; \end{array}$
2. En déduire l’espérance mathématique et l’écart type de $X$. 2 pts
Exercice 23 points
Le plan orienté est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\vec e_1,\vec e_2)$.
A tout point $M$ d’affixe $Z$ non nulle, on associe le point $M’$ d’affixe $Z$ telle que : $Z=\dfrac{z}{2+1}{2z}$.
On note $z=x+iy$; $Z=X+iY$; $x,y,X$ et $Y$ sont des nombres réels.
1. Exprimer $X$ et $Y$ en fonction de $x$ et $y$. 1 pt
2. $R$ étant un nombre réel strictement positif différent de $1$, on suppose que le point d’affixe $z=x+iy$ est un point du cercle $C$ de centre $O$ et de rayon $R$; $\theta$ est un nombre réel de l’intervalle $[0,2\pi]$ désignant la mesure en radian de l’angle $(\vec e_1,\overrightarrow{OM})$
(a) Vérifier que $x=R\cos\theta$ et $y=R\sin\theta$. 0,5 pt
(b) Déduire de la question 1) les expressions de $X$ et $Y$ en fonction de $\theta$ et de $R$. 0,5 pt
3. (a) Ecrire entre $X$ et $Y$ une relation indépendante de $\theta$. 0,5 pt
(b) En déduire que, lorsque $M$ décrit $C$, l’ensemble des points $M’$ d’affixe $Z$ est une conique dont on précisera la nature. On suppose dans cette question que $R=2$, tracer la conique obtenue en faisant apparaître ses foyers et directrices. 0,5 pt
Exercice 33 points
Sur la figure ci-contre, $O,A,B$ et $C$ désignent quatre points non coplanaires de l’espace affine euclidien ; $P$ et $Q$ les milieux respectifs des segments $[AC]$ et $[OB]$.
On note $D$ le barycentre des points $O,A,B$ et $C$ affectés des coefficients $3,2,3$ et $-2$.
1. Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{DQ}$ et $\overrightarrow{AP}$ sont colinéaires; 1 pt
placer le point $D$ sur la figure.
Dans toute la suite de l’exercice, on note :
$M$ un point de l’espace ;
$v=\overrightarrow{MO}-\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$ et $\vec w=3\overrightarrow{MO}+2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}$ .
$\Delta$ l’ensemble des points $M$ de l’espace tels que $v$ et $\vec w$ soient colinéaires ;
$S$ est l’ensemble des points $M$ de l’espace tels que $v=\vec w$ .
2. (a) Vérifier que $v=2\overrightarrow{PQ}$ et que $\vec w=6\overrightarrow{MD}$. 1 pt
(b) En déduire la nature de $\Delta$ ainsi que celle de $S$. 0,5 pt
3. On suppose (pour cette question) l’espace muni d’un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$ et que les points $A,B$ et $C$ ont pour coordonnees $(2;0;0)$, $(0;2;0)$ et $(0;0;1)$ respectivement.
Ecrire une équation cartésienne de $S$ et un système d’équations paramétriques de $\Delta$. 0,5 pt
PROBLEME11 points
Le problème comporte trois parties dépendantes $A$, $B$ et $C$
Dans tout le problème, $f$ désigne la fonction de la variable réelle $x$ définie dans l’intervalle $[0,+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{\ln(x+1)}{x}$ pour $x\ne 0$; $f(0)=1$
I
1. Démontrer que $f$ est continue en $0$. 1 pt
2. Démontrer que $f$ est dérivable dans l’intervalle $]0,+\infty[$ et calculer sa dérivée première dans cet intervalle. 1 pt
La recherche du signe de la dérivée de $f$ conduit à l’étude d’une fonction auxiliaire $g$.
II
La fonction $g$ est définie dans l’intervalle $[0,+\infty[$ par: $g(x)=\dfrac{-2x}{x+2}+\ln(x+1)$
(a) Démontrer que, pour tout $x$ de $[0,+\infty[$, $g(x)\le \ln(x+1)-\dfrac{x}{x+1}$. 1 pt
(b) En déduire que pour tout $x$ de $]0,+\infty[$, $x^2 f'(x)\le -g(x)$. 1 pt
Partie A : Etude du signe de $g$.3 points
1. Démontrer que $g$ est dérivable dans $[0,+\infty[$ et calculer $g'(x)$. 1 pt
2. (a) Démontrer que pour tout $x$ de $[0,+\infty[$, $0\le g'(x)\le \dfrac{x^2}{4}$. 1 pt
(b) Démontrer que, pour tout $x$ de $[0,+\infty[$, $0\le g(x)\le \dfrac{x^3}{12}$. 0,5 pt
(c) En déduire le signe de $g$ et le sens de variation de $f$ dans l’intervalle $]0,+\infty[$. 0,5 pt
Partie B : Etude de dérivabilité de $f$ en $0$.2 points
1. (a) A partir de A-2-b), vérifier que : pour tout $x$ de $[0,+\infty[$, $-\dfrac{x^3}{12}+\dfrac{x^2}{x+2}\le x-\ln(x+1)\le \dfrac{x^2}{x+2}$. 0,5 pt
(b) En déduire que, pour tout $x$ de $[0,+\infty[$, $-\dfrac{x}{12}+\dfrac{1}{x+2}\le \dfrac{x-\ln(x+1)}{x^2}\le \dfrac{1}{x+2}$. 0,5 pt
2. Démontrer que $f$ est dérivable en $0$ et calculer son nombre dérivé en $0$. 1 pt
Partie C : Tracer la courbe $f$.2 points
1. (a) Dresser le tableau de variation de $f$. 0,5 pt
(b) Tracer la courbe de $f$ dans un repère orthonormé du plan; 0,5 pt
(on prendra $1$ cm pour un unité de longueur sur les axes).
2. $D$ désigne la partie du plan définie par les droites d’équation $x=\dfrac{1}{2}$ ; $x=1$; $y=0$ et la courbe de $f$. 1 pt
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Épreuve de mathématiques — Baccalauréat C 2002
Conclusion du Baccalauréat C 2002
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