D’abord, le BAC C 2000 te permet de cibler l’essentiel avec Ndolomath pour réviser efficacement.
Ensuite, le BAC C 2000 t’entraîne sur des questions classiques et progressives, avec une définition de l’examen claire.
Puis, le BAC C 2000 t’aide à gérer le temps grâce aux points indiqués exercice par exercice.
Enfin, le BAC C 2000 te rassure : en t’exerçant régulièrement, tu gagnes en méthode et en confiance.
L’épreuve de mathématiques du BAC C 2000
Exercice 12 points
$X$ est une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé fini de probabilité $p$ sachant que $X$ prend les valeurs $0,1,2$ et $3$, et que $P(X>2)=\dfrac{1}{3}\,;\;P(X<2)=0.5\,;\;P(X=0)=P(X=1)$.
1. Recopier et compléter le tableau suivant qui donne la loi de probabilité de $X$1 pt
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline P(X=x) & \; & \; & \; & \;\\ \hline \end{array}$
2. En déduire l’espérance mathématique et l’écart type de $X$.1 pt
Exercice 23 points
Le plan orienté est muni d’un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})$.
A tout point $M$ d’affixe $z$ non nulle, on associe le point $M’$ d’affixe $Z$ telle que : $Z=\dfrac{z^2+1}{2z}$.
On note $z=x+iy\,;\;Z=X+iY\,;\;x,y,X$ et $Y$ sont des nombres réels.
1. Exprimer $X$ et $Y$ en fonction de $x$ et $y$.0,5 pt
2. $R$ étant un nombre réel strictement positif différent de $1$, on suppose que le point d’affixe $z=x+iy$ est un point du cercle $C$ de centre $O$ et de rayon $R$; $\theta$ est un nombre réel de l’intervalle $[0,2\pi]$ désignant la mesure en radian de l’angle $(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{OM})$.
(a) Vérifier que $x=R\cos\theta$ et $y=R\sin\theta$.0,5 pt
(b) Déduire de la question 1) les expressions de $X$ et $Y$ en fonction de $\theta$ et de $R$.0,5 pt
3. (a) Ecrire entre $X$ et $Y$ une relation indépendante de $\theta$.0,5 pt
(b) En déduire que, lorsque $M$ décrit $C$, l’ensemble des points $M’$ d’affixe $Z$ est une conique dont on précisera la nature. On suppose dans cette question que $R=2$, tracer la conique obtenue en faisant apparaître ses foyers et directrices. 1 pt
Exercice 34 points
Sur la figure ci-contre, $O,A,B$ et $C$ désignent quatre points non coplanaires de l’espace affine euclidien; $P$ et $Q$ les milieux respectifs des segments $[AC]$ et $[OB]$. On note $D$ le barycentre des points $O,A,B$ et $C$ affectés des coefficients $3,2,3$ et $-2$.
1. Démontrer que les vecteurs $DQ$ et $AP$ sont colinéaires; placer le point $D$ sur la figure.1 pt
Dans toute la suite de l’exercice, on note :
$M$ un point de l’espace;
$\vec{v}=\overrightarrow{MO}-\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$ et $\vec{w}=3\overrightarrow{MO}+2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}$.
$\Delta$ l’ensemble des points $M$ de l’espace tels que $\vec{v}$ et $\vec{w}$ soient colinéaires;
• $S$ est l’ensemble des points $M$ de l’espace tels que $\vec{v}=\vec{w}$.
2. (a) Vérifier que $\vec{v}=2\overrightarrow{PQ}$ et que $\vec{w}=6\overrightarrow{MD}$.1 pt
(b) En déduire la nature de $\Delta$ ainsi que celle de $S$.1 pt
3. On suppose (pour cette question) l’espace muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ et que les points $A,B,$ et $C$ ont pour coordonnées $(2;0;0)$, $(0;2;0)$ et $(0;0;1)$ respectivement. Ecrire une équation cartésienne de $S$ et un système d’équations paramétriques de $\Delta$. 1 pt
PROBLEME11 points
Le problème comporte trois parties dépendantes $A$, $B$ et $C$
Dans tout le problème, $f$ désigne la fonction de la variable réelle $x$ définie dans l’intervalle $[0,+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{\ln(x+1)}{x}$ pour $x\ne 0$; $f(0)=1$
I
1. Démontrer que $f$ est continue en $0$.0,5 pt
2. Démontrer que $f$ est dérivable dans l’intervalle $]0,+\infty[$ et calculer sa dérivée première dans cet intervalle.0,5 pt
La recherche du signe de la dérivée de $f$ conduit à l’étude d’une fonction auxiliaire $g$.
II- La fonction $g$ est définie dans l’intervalle $[0,+\infty[$ par : $g(x)=\dfrac{-2x}{x+2}+\ln(x+1)$
(a) Démontrer que, pour tout $x$ de $[0,+\infty[$, $g(x)\le \ln(x+1)-\dfrac{x}{x+1}$.0,5 pt
(b) En déduire que pour tout $x$ de $]0,+\infty[$, $x^2 f'(x)\le -g(x)$.0,5 pt
Partie A : Etude du signe de $g$.2 points
1. Démontrer que $g$ est dérivable dans $[0,+\infty[$ et calculer $g'(x)$.0,5 pt
2. (a) Démontrer que pour tout $x$ de $[0,+\infty[$, $0\le g'(x)\le \dfrac{x^2}{4}$.0,5 pt
(b) Démontrer que, pour tout $x$ de $[0,+\infty[$, $0\le g(x)\le \dfrac{x^3}{12}$.0,5 pt
(c) En déduire le signe de $g$ et le sens de variation de $f$ dans l’intervalle $]0,+\infty[$0,5 pt
Partie B : Etude de dérivabilité de $f$ en $0$.3 points
1. (a) A partir de A-2-b), vérifier que : pour tout $x$ de $[0,+\infty[$, $-\dfrac{x^3}{12}+\dfrac{x^2}{x+2}\le x-\ln(x+1)\le \dfrac{x^2}{x+2}$. 1 pt
(b) En déduire que, pour tout $x$ de $[0,+\infty[$, $-\dfrac{x}{12}+\dfrac{1}{x+2}\le \dfrac{x-\ln(x+1)}{x^2}\le \dfrac{1}{x+2}$ 1 pt
2. Démontrer que $f$ est dérivable en $0$ et calculer son nombre dérivé en $0$.1 pt
Partie C : Tracer la courbe $f$.4 points
3. (a) Dresser le tableau de variation de $f$.1 pt
(b) Tracer la courbe de $f$ dans un repère orthonormé du plan; (on prendra $1$ cm pour un unité de longueur sur les axes).1 pt
4. $D$ désigne la partie du plan définie par les droites d’équation $x=\dfrac{1}{2}$ ; $x=1$ ; $y=0$ et la courbe de $f$.2 pts
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Épreuve de mathématiques — BAC C 2000
Conclusion du BAC C 2000
D’abord, le BAC C 2000 te montre le niveau attendu et les réflexes à construire.
Ensuite, Ndolomath t’encourage à t’entraîner sérieusement, sans te décourager à la première difficulté.
Puis, en refaisant le BAC C 2000, tu améliores ta méthode, ton rythme et ta précision.
Enfin, garde confiance : une préparation régulière te met dans de bonnes conditions le jour J.
