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L’épreuve de mathématiques du BACCALAURÉAT C 1999
Exercice 13 points
Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose $A_n=3^{2n}-2^n$ et $B_n=3^{2n+1}+2^{n+2}$.
1. Démontrer par récurrence que :
(a) $A_n$ est multiple de $7$. 1 pt
(b) $B_n$ est multiple de $7$. 1 pt
2. En déduire que les nombres $3^{28}-2^{14}$ et $3^{83}+2^{43}$ ne sont pas premiers entre eux. 1 pt
Exercice 26 points
Dans le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère l’application $f$ qui au point $M(x,y)$ associe le point $M'(x’,y’)$ tel que :
$\left\{\begin{array}{l}x’=y\\y’=x\end{array}\right.$
On note $z$ l’affixe de $M$ et $z’$ l’affixe de $M’$.
1. (a) Exprimer $z’$ en fonction de $z$. 0,5 pt
(b) Démontrer que $f=ros$ où $s$ est la réflexion d’axe $(O,\vec{u},\vec{v})$ et $r$ une rotation affine à préciser. 1 pt
2. En décomposant $r$ en deux réflexions, démontrer que $f$ est une réflexion et préciser son axe. 1,5 pt
3. On note $g$ l’application du plan qui a tout point $M(x,y)$ associe le point $M »(x »,y »)$ tel que :
$\left\{\begin{array}{l}x »=y+1\\y »=x+1\end{array}\right.$
On note $z$ l’affixe de $M$ et $z »$ l’affixe de $M »$.
(a) Exprimer $z »$ en fonction de $z$. 0,5 pt
(b) Déterminer la nature de l’isométrie $t$ telle que $g=tof$. 1 pt
(c) On note $K$ le milieu du segment $[MM »]$, démontrer que $K$ appartient à une droite fixe lorsque $M$ parcourt le plan. 1,5 pt
PROBLEME11 points
Les deux parties $A$ et $B$ sont indépendantes.
Partie A6,5 points
$E$ désigne l’espace affine euclidien de dimension $3$ et $\alpha$ un nombre réel strictement positif. On considère le carré $ABCD$ de centre $O$.
1. Vérifier que $O$ est l’isobarycentre du système $A,B,C,D$. 0,5 pt
Sur la figure ci-contre (voir ci-dessous), le point $E$ n’appartient pas au plan $(ABCD)$, on donne $EA=EB=EC=ED=2\alpha$ ; $AC=BD=\alpha$.
Figure : (présente sur le sujet)
2. (a) Démontrer que la droite $(EO)$ est orthogonale au plan $ABCD$. $(S_m)$ désigne l’ensemble des points $M$ de l’espace tels que :
$MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=m\alpha^2$ 1,5 pt
(b) Déterminer $(S_m)$ suivant les valeurs de $m$. 2 pt
3. On suppose la droite $(EO)$ orientée par le vecteur $\overrightarrow{OE}$ et l’angle $(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC})$ de mesure $\dfrac{\pi}{2}$ ; on note $r$ la rotation d’axe $(EO)$ et d’angle $\dfrac{\pi}{2}$.
Déterminer les images par $r$ des points $A,B,C,D$ et $E$. 0,5 × 5 = 1,5 pt
En déduire que $ABCDE$ est invariant par $r$. 1 pt
Partie B4,5 points
$F$ est la fonction de la variable réelle $x$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{e^{-x}}{1-x}$, $C$ désigne sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan, l’unité de longueur sur les axes est le centimètre.
1. Calculer les limites de $f$ en $-\infty$, en $+\infty$, à gauche et à droite du point $1$, puis la dérivée de $f$. 0,5 pt
En déduire le tableau de variation de $f$. 0,5 pt
2. Préciser les branches infinies de $f$ et tracer $C$. 0,5 pt
3. On se propose de déterminer un encadrement de l’aire $a$ de la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées, $C$ et la droite d’équation $x=0,5$.
(a) Vérifier que pour tout $x\in[0;0,5]$, $\dfrac{1}{1-x}=1+x+\dfrac{x^2}{1-x}$. 0,5 pt
(b) En déduire que $\int_{0}^{0,5}\dfrac{e^{-t}}{1-t}\,dt=\int_{0}^{0,5}(1+t)e^{-t}\,dt+\int_{0}^{0,5}\dfrac{t^2e^{-t}}{1-t}\,dt$. 0,5 pt
4. (a) Démontrer que, pour tout $x\in[0;0,5]$, $1\le f(x)\le\dfrac{2}{\sqrt{e}}$. 0,5 pt
(b) En déduire que $\dfrac{1}{24}\le\int_{0}^{0,5}\dfrac{t^2e^{-t}}{1-t}\,dt\le\dfrac{1}{12\sqrt{e}}$. 0,5 pt
5. En déduire que :
(a) A l’aide d’une intégration par parties, calculer $\int_{0}^{0,5}(1+t)e^{-t}\,dt$. 0,5 pt
(b) Déduire des questions précédentes un encadrement de $a$. 0,5 pt
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Épreuve de mathématiques — BACCALAURÉAT C 1999
Conclusion du BACCALAURÉAT C 1999
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