Tle A : bac blanc en maths

Exercice 1 : 3 points

1) Résolution d’un système dans $\mathbb{R}^3$

Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système :

$ \begin{cases} x + 3y - 2z = 2 \\ 5x - 2y + 3z = 6 \\ 4x - 3y - z = 0 \end{cases} $

[1,5 pt]

2) Système déduit par changement de variables

En déduire la résolution dans $\mathbb{R}^3$ du système :

$ \begin{cases} \ln x + 3y^2 - \dfrac{2}{z+4} = 2 \\ 5\ln x - 2y^2 + \dfrac{3}{z+4} = 6 \\ 4\ln x - 3y^2 - \dfrac{1}{z+4} = 0 \end{cases} $

[1,5 pt]

Exercice 2 : 7 points

I) Étude d’un polynôme

On considère le polynôme $P$ défini par :

$P(x) = -x^3 + 7x - 6$

1. Calculer $P(1)$. [0,5 pt]
2. Mettre le polynôme $P(x)$ sous la forme : $ P(x) = (x - 1)(ax^2 + bx + c) $ [1,5 pt]
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $P(x)=0$. [0,5 pt]
4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $P(x)\le 0$. [1 pt]
5. En déduire la résolution dans $\mathbb{R}$ de l’équation : $ (\ln x)^3 + 7(\ln x) - 6 = 0 $ [1 pt]

II) Étude d’une fonction rationnelle

On considère la fonction $f$ définie par :

$f(x) = \dfrac{4x^2 + 8x + 5}{2x + 1}$

1. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que : $ f(x) = ax + b + \dfrac{c}{2x+1} $ [1 pt]
2. Déterminer la primitive de la fonction $g$ définie sur $]-\dfrac{1}{2}; +\infty[$ par : $ g(x) = 2x + 3 + \dfrac{2}{2x+1} $ qui prend la valeur $3$ en $0$. [1,5 pt]

PROBLÈME : (10 points)

Le problème comporte deux parties indépendantes $A$ et $B$.

Partie A : (3 points)

Parmi les quatre réponses qui sont proposées, une seule est juste. Recopie sur votre feuille de composition le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse juste.

1. L’ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\ln(-2x+6)$ est : [1 pt]
   1. $[3;+\infty[$
   2. $]-\infty;3]$
   3. $]-\infty;3[$
   4. $]3;+\infty[$
2. La solution de l’inéquation $x\ln(1-x) > 0$ dans $\mathbb{R}$ est : [1 pt]
   1. $S_{\mathbb{R}}=]-\infty;0[$
   2. $S_{\mathbb{R}}=]0;1[$
   3. $S_{\mathbb{R}}=\{\}$
   4. $S_{\mathbb{R}}=]-\infty;1[$
3. Une primitive $H$ de la fonction $h$ définie par $h(x)=\dfrac{4}{2x+1}$ est : [1 pt]
   1. $H(x)=\ln(2x+1)^2+k$
   2. $H(x)=\ln|2x+1|+k$
   3. $H(x)=\dfrac12\ln|2x+1|+k$
   4. $H(x)=2\ln|2x+1|+k$
4. Une équation de la tangente au point d’abscisse $0$ à la courbe représentative $(C_f)$ de la fonction $f(x)=\dfrac{x-1}{x-2}$ est : [1 pt]
   1. $y=\dfrac14x+\dfrac12$
   2. $y=-\dfrac14x+\dfrac12$
   3. $y=-\dfrac14x-\dfrac12$
   4. $y=\dfrac14x-\dfrac12$

Partie B : (7 points)

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=2+\dfrac{\ln(x)}{x}$. On désigne par $(C)$ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O,I,J)$. Unité sur les axes : $1$ cm.

1. Calculer les limites de $f$ en $0$ et $+\infty$ et préciser les asymptotes à $(C)$. (1,5 pt)
2. Calculer la dérivée $f'$ de $f$. Étudier le signe de $f'$ et déduire le sens de variation de $f$. (1,5 pt)
3. Dresser le tableau de variation de $f$. (0,5 pt)
4. On appelle $A$ le point d’intersection de la courbe $(C)$ et de la droite $(D)$ d’équation $y=2$. Déterminer les coordonnées du point $A$ et puis déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ en ce point. (1,25 pt)
5. Tracer les droites $(D)$, $(T)$ et la courbe $(C)$. (Prendre $e\simeq 2,7$) (1,25 pt)
6. Soit $g$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=(\ln x)^2$.
   1. Calculer $g'(x)$. (0,5 pt)
   2. En déduire une primitive de $f$. (0,5 pt)

EXERCICE 1 : (4 points)

1. Le triplet des réels $(x;y;z)$ solution du système d’équations $$ \begin{cases} x-y+z=-5\\ 2x-y+5z=6\\ 3x+2y-z=8 \end{cases} $$ est : [1 pt]
   1. $(1;8;2)$
   2. $(-1;7;3)$
   3. $(2;8;2)$
   4. $(3;10;2)$
2. La primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-3x+2$ qui prend la valeur $2$ en $0$ est : [1 pt]
   1. $F(x)=\dfrac13x^3-\dfrac32x^2+2x$
   2. $F(x)=x^3-x^2+2x+2$
   3. $F(x)=\dfrac13x^3-\dfrac32x^2+2x+2$
   4. $F(x)=\dfrac13x^3-\dfrac32x^2+2x+1$
3. Une urne contient $5$ boules indiscernables au toucher dont $3$ boules blanches et $2$ boules rouges. On tire simultanément deux boules de l’urne. La probabilité d’obtenir deux boules de couleurs différentes est : [1 pt]
   1. $\dfrac{3}{10}$
   2. $\dfrac{1}{10}$
   3. $\dfrac{3}{5}$
   4. $\dfrac{1}{5}$
4. Les nombres réels solutions de l’équation $$e^{2x}-\dfrac72 e^x+\dfrac32=0$$ sont : [1 pt]
   1. $3$ et $-2$
   2. $\ln 3$ et $-\ln 2$
   3. $-\ln 3$ et $-\ln 2$
   4. $3$ et $\dfrac12$

EXERCICE 2 : (5 points)

Le tableau ci-après donne la tension artérielle $y_i$ en fonction de l’âge $x_i$ de $6$ membres d’une famille.

1. Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points de cette série statistique. [1,5 pt]
2. Déterminer les coordonnées du point moyen $G$. [1 pt]
3. On divise la série en deux séries de même effectif comme suit :

   $X_i$	36	42	48
   $Y_i$	11,8	14	12,6

   $X_j$	54	60	66
   $Y_j$	15	15,5	15,1

   1. Déterminer les points moyens $G_1$ et $G_2$ des nuages partiels obtenus. [1 pt]
   2. Montrer que la droite d’équation $y=\dfrac{2}{15}x+7,2$ est une droite d’ajustement de Mayer. [1 pt]
   3. En déduire une estimation de la tension artérielle d’un membre de cette famille âgé de $30$ ans. [0,5 pt]

EXERCICE 3 : (6 points)

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;I;J)$. On considère la fonction $f$ définie par $$f(x)=\dfrac{x^2-2x-3}{x-1}$$ et $(C_f)$ sa courbe représentative.

1. Déterminer l’ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$. [0,5 pt]

Exercice 1 (06,5 points)

1. Simplifier les expressions suivantes :
   1. $A=\ln(6+\sqrt3)+\ln(3+\sqrt{3+\sqrt3})+\ln(3-\sqrt{3+\sqrt3})$ [0,75 pt]
   2. $B=2\ln(2-\sqrt3)+\ln(2+\sqrt3)^2$ [0,75 pt]
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
   1. $\ln(x^2-4e^2)<1+\ln(3x)$ [1,25 pt]
   2. $1-\ln(x)>0$ [0,75 pt]
3. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système d’équations suivant :
   1. $\begin{cases} 2x-3y=13\\ x-4y=14 \end{cases}$ [0,75 pt]
   2. $\begin{cases} \ln(x^2)+\ln\!\left(\dfrac1{y^3}\right)=13\\ \ln\!\left(\dfrac{\sqrt{x}}{y^2}\right)=7 \end{cases}$ [0,75 pt]
4. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ les systèmes d’équations suivants :
   1. $\begin{cases} 3x-2y-2z=3\\ x-2y+z=2\\ 2x-3y-3z=2 \end{cases}$ [0,75 pt]
   2. $\begin{cases} \ln\!\left(\dfrac{x^6}{(yz)^4}\right)=6\\ \ln\!\left(\dfrac{(xz)^2}{y^4}\right)=4\\ \ln\!\left(\dfrac{x^4}{(yz)^6}\right)=4 \end{cases}$ [0,75 pt]

Exercice 2 (07,5 points)

Le tableau suivant donne la tension artérielle moyenne $y$ en fonction de l’âge $x$ d’une population.

1. Représenter le nuage de points de coordonnées $(X_i;Y_i)$ associé à cette série double. On prendra $1$ cm pour $6$ ans et $1$ cm pour l’unité de tension artérielle. [1 pt]
2. 1. Calculer les coordonnées du point moyen $G$. [1 pt]
   2. Placer le point $G$ sur le même graphique que le nuage de points. [0,25 pt]
3. 1. Déterminer les variances $V_x$ et $V_y$ des caractères respectifs $X$ et $Y$. [1,25 pt]
   2. Déterminer la covariance $\operatorname{Cov}(x;y)$ de la série $(X_i;Y_i)$. [0,75 pt]
   3. Calculer le coefficient de corrélation linéaire. Interpréter. [0,75 pt]
4. On partage le nuage de points en deux parties d’effectifs égaux (les trois premiers d’une part et les trois derniers d’autre part).
   1. Calculer les coordonnées de $G_1$ et $G_2$, points moyens respectifs des nuages partiels ainsi obtenus. [1 pt]
   2. Déterminer une équation de la droite de Mayer $(G_1G_2)$. [1 pt]
5. Quelle sera la tension artérielle d’une personne âgée de $85$ ans ? [0,5 pt]

Problème (06 points)

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{1}{x-2}+\ln x$ et $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthonormal $(O,I,J)$. L’unité de longueur est $2\,\text{cm}$.

1. Déterminer l’ensemble $D_f$ de définition de $f$. [0,5 pt]
2. Calculer les limites aux bornes de l’ensemble $D_f$ de définition de $f$. [1 pt]
3. Vérifier que pour tout nombre réel $x$ de $D_f$, $f'(x)=\dfrac{x^2-5x+4}{x(x-2)^2}$. [1 pt]
4. En déduire les variations de $f$. [0,75 pt]
5. Dresser son tableau de variation. [0,75 pt]
6. Tracer $(C_f)$. [1 pt]
7. Soit $g(x)=x\ln x-x$.
   1. Calculer la dérivée $g'(x)$ de $g$. [0,5 pt]
   2. Déduire la primitive de $f$ sur $D_f$. [0,5 pt]

Exercice 1 : (5,5 points)

Soit $P$ le polynôme défini par $P(x)=2x^3-x^2-5x-2$.

1. Montrer que $-1$ est une racine de $P$. [1 pt]
2. Montrer que pour tout réel $x$, $P(x)=(x+1)(2x^2-3x-2)$. [0,75 pt]
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $P(x)=0$. [1,25 pt]
4. Déduire la résolution dans $\mathbb{R}$ des équations suivantes :
   1. $2(\ln x)^3-(\ln x)^2-5\ln x-2=0$. [1,25 pt]
   2. $2e^{-2x}-e^{-x}=2e^x+5$. [1,25 pt]

Exercice 2 : (4,5 points)

On considère la fonction numérique $f$ d’une variable réelle définie par $f(x)=-x-3+2\ln x$ et $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ d’unité $1\,\text{cm}$.

1. Montrer que le domaine de définition de $f$ est $D_f=]0,+\infty[$. [0,5 pt]
2. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. [0,75 pt]
3. Montrer que pour tout $x\in D_f$, $f'(x)=\dfrac{2-x}{x}$, où $f'$ désigne la dérivée de $f$. [0,75 pt]
4. Dresser le tableau de variations de $f$. [0,75 pt]
5. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(C_f)$ au point d’abscisse $x_0=1$. [0,75 pt]
6. On considère la fonction $g$ définie sur $]0,+\infty[$ par $g(x)=-\dfrac{x^2}{2}-5x+2x\ln x$. Montrer que $g$ est une primitive de $f$ sur $]0,+\infty[$. [1 pt]

Exercice 3 : (5 points)

Le tableau ci-dessous donne l’évolution de la population d’une localité de la région de l’Adamaoua-Cameroun.

Le plan est rapporté à un repère orthogonal. Unité sur les axes : $1\,\text{cm}$ pour $2$ années sur l’axe des abscisses et, sur l’axe des ordonnées, placer $500$ à l’origine et prendre $1\,\text{cm}$ pour $500$ habitants.

Suite de l’Exercice 3 : Étude statistique

1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique $(x_i\,;y_i)$. [1,5 pt]
2. Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ de cette série et placer $G$ dans le repère précédent. [1 pt]
3. a) Écrire une équation de la droite d’ajustement de $y$ en fonction de $x$ par la méthode de Mayer. [1,5 pt]
   b) Donner une estimation de la population de cette localité en l’an $2000$ si l’évolution reste inchangée. [1 pt]

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (5 points)

Situation

Monsieur BOUBA possède un champ de forme rectangulaire ayant pour périmètre $130\,\text{m}$ et pour superficie $1050\,\text{m}^2$. Il désire clôturer les deux longueurs et une largeur avec un grillage qui coûte actuellement $3000\,\text{F}$ le mètre dans la quincaillerie de Monsieur AMADOU.

Une fois rendu à la quincaillerie, Monsieur BOUBA souhaite négocier à la baisse le prix du mètre de grillage. Monsieur AMADOU refuse, en rappelant que ce prix a déjà subi deux baisses successives de $t\%$ et qu’il coûtait $3630\,\text{F}$ le mètre il y a six mois. Toutefois, Monsieur AMADOU accepte de vendre le grillage au prix obtenu après la première baisse.

Pour l’entretien de son champ, Monsieur BOUBA doit partager équitablement une somme de $18\,000\,\text{F}$ à ses employés. Si un employé de plus était recruté, la part de chacun serait réduite de $900\,\text{F}$.

Tâches

1. Déterminer le prix d’achat total du grillage. [1,5 pt]
2. Déterminer le prix d’un mètre de grillage après la première baisse. [1,5 pt]
3. Déterminer le montant reçu par chacun des employés de Monsieur BOUBA. [1,5 pt]

Présentation : [0,5 pt]

Exercice 1 (5,25 points)

Soit $P$ le polynôme défini par $P(x)=x^3-6x^2+11x-6$.

1. a) Calculer $P(1)$ et $P(2)$. [0,5 pt]
2. b) Mettre $P(x)$ sous la forme d’un produit de facteurs du premier degré. [1 pt]
3. c) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $P(x)=0$. [0,75 pt]
4. d) En déduire les solutions dans $\mathbb{R}$ des équations suivantes :
   $(E_1):\ \ln^3 x-6\ln^2 x+11\ln x-6=0$ [0,75 pt]
   $(E_2):\ e^{3x}-6e^{2x}+11e^{x}-6=0$ [0,75 pt]
5. 2.a) Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système :
   $ \begin{cases} -x+4y+3z=6\\ 3x-y+4z=25\\ 4x+3y-z=-7 \end{cases} $ [0,75 pt]
6. 2.b) En déduire l’ensemble solution du système :
   $ \begin{cases} -e^x+4e^y+3e^z=6\\ 3e^x-e^y+4e^z=25\\ 4e^x+3e^y-e^z=-7 \end{cases} $ [0,75 pt]

Exercice 2 (6 points)

On s’est intéressé au nombre de battements du cœur par minute d’une personne en fonction de l’intensité du travail fourni. Les résultats obtenus sont présentés dans le tableau ci-dessous.

1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique $(x,y)$ dans un repère orthogonal.
   On prendra $1\,\text{cm}$ pour $5$ kilojoules en abscisses et $1\,\text{cm}$ pour l’axe des ordonnées. [1 pt]
2. Pour la représentation graphique, on prendra :
   – $1\,\text{cm}$ pour $5$ kilojoules en abscisses ;
   – $1\,\text{cm}$ pour $10$ battements de cœur par minute en ordonnées ;
   – pour origine du repère, le point de coordonnées $(0;50)$.

2. Calculer les coordonnées du point moyen $G_1$ des quatre premiers points du nuage et les coordonnées du point moyen $G_2$ des quatre derniers points. [1,5 pt]
3. Tracer la droite $(G_1G_2)$. [0,5 pt]
4. Montrer que la droite $(G_1G_2)$ a pour équation $y=1{,}6x+59{,}7$. [1 pt]
5. Calculer l’intensité de travail correspondant à une fréquence cardiaque de $155$ battements par minute (arrondir à l’unité supérieure). [1 pt]

Exercice 3 (6,25 points)

Soit la fonction définie par $f(x)=-2x+\ln x$ et $(C)$ sa courbe représentative.

1. a) Déterminer l’ensemble de définition de $f$. [0,5 pt]
   b) Calculer les limites de $f$ à droite de $0$ et en $+\infty$. [1 pt]
   c) En déduire que $(C)$ admet une asymptote verticale. [0,5 pt]
2. Soit $(D)$ la droite d’équation $y=-2x$. Déterminer, en fonction de $x$, la position relative de $(C)$ par rapport à $(D)$. [0,5 pt]
3. Calculer la dérivée $f'(x)$ de $f$. [0,5 pt]
4. Dresser le tableau de variation de $f$. [0,75 pt]
5. Tracer la droite $(D)$ et la courbe $(C)$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. [1,5 pt]
6. Soit $F$ la fonction définie par $F(x)=-x^2-x+x\ln x$ pour tout $x>0$. Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur l’intervalle $]0,+\infty[$. [1 pt]

Exercice 4 (2,5 points)

1. a) Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système : $ \begin{cases} 2x-y=7\\ 3x+4y=5 \end{cases} $ [1 pt]
2. b) En déduire les solutions dans $\mathbb{R}^2$ du système : $ \begin{cases} \ln\!\left(\dfrac{x^2}{y}\right)=7\\ \ln(x^3y^4)=5 \end{cases} $ [1,5 pt]

Exercice 1 (5 points)

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E)$ : $2x^2-19x+39=0$. [1 pt]
2. On donne l’équation $(E')$ : $\ln(2x-5)+\ln(7-x)=2\ln 2$.
   1. Montrer que résoudre l’équation $(E')$ revient à résoudre l’équation $(E)$. [1 pt]
   2. Déterminer les solutions de l’équation $(E')$. [1,5 pt]
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation suivante : $2e^x-19+39e^{-x}=0$. [1,5 pt]

Exercice 2 (5 points)

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels et $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}\setminus\{3\}$ par :
$f(x)=ax+b+\dfrac{1}{3-x}$.

$(C_f)$ est sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$.

1. Sachant que $f(2)=1$ et $f'(2)=0$, montrer que $a=-1$ et $b=2$. [1 pt]
2. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. [1 pt]
3. Montrer que sur $\mathbb{R}\setminus\{3\}$ : $f'(x)=\dfrac{-x^2+6x-8}{(3-x)^2}$. [0,75 pt]
4. Dresser le tableau des variations de $f$. [1 pt]
5. Montrer que le point $A(3;-1)$ est un centre de symétrie à $(C_f)$. [0,75 pt]
6. Montrer qu’une primitive $F$ de $f$ sur l’intervalle $]-\infty;3[$ est définie par : $F(x)=-\dfrac12 x^2+2x-\ln(3-x)$. [0,5 pt]

Exercice 3 (5 points)

Une entreprise achète, utilise et revend des copieurs après un certain nombre d’années d’utilisation. La variation du prix de vente en fonction du nombre d’années d’utilisation se présente comme suit :

1. Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage. [0,5 pt]
2. On veut justifier qu’une équation de la droite de Mayer est : $y=-30x+270$.
   1. Déterminer les points moyens des deux sous-séries ci-dessous. [1 pt]

      Année $x_i$	1	2	3
      Prix $y_i$	245	220	165

      Année $x_i$	4	5	6
      Prix $y_i$	150	120	90

   2. En déduire qu’une équation de la droite de Mayer est : $y=-30x+270$. [1 pt]

Suite de l’Exercice 3

3. Justifier que le point $G$ appartient à la droite de Mayer. [0,5 pt]
4. Donner une estimation du prix d’un copieur à la $8^{\text{ème}}$ année. [0,5 pt]
5. L’entreprise dispose pour l’instant de $3$ copieurs de cinq ans d’utilisation et de $5$ copieurs de six ans d’utilisation. Un client souhaite obtenir des copieurs. Pour cela, il choisit au hasard simultanément $3$ copieurs parmi ceux disponibles.
   Quelle est la probabilité pour que le montant total des trois copieurs soit inférieur à $305\,000$ FCFA ? [1,5 pt]

PARTIE B : Évaluation des compétences (5 points)

Situation

MOSSE est propriétaire d’une entreprise qui produit et vend des sacs à main. Une étude menée au sein de sa petite entreprise permet de constater que le coût de production en fonction du nombre $x$ de sacs produits par jour (en milliers de francs CFA) est donné par :

$p(x)=90x-1000$.

Le coût de vente, quant à lui (en francs CFA), est :

$v(x)=2x^2+10x$.

MOSSE utilise $16$ personnes dans sa chaîne de production : des cadres, des agents de maîtrise et des manœuvres. Un cadre gagne $150\,000$ FCFA, un agent de maîtrise gagne $100\,000$ FCFA et un manœuvre gagne $80\,000$ FCFA. La masse salariale mensuelle de l’entreprise est de $1\,410\,000$ FCFA.

Pour des raisons de conjoncture dues à l’augmentation du cuir sur le marché international, Monsieur MOSSE décide de la baisse des salaires de la manière suivante : $8\%$ pour les cadres et les agents de maîtrise, et $5\%$ pour les manœuvres, pour une nouvelle masse salariale de $1\,314\,000$ FCFA.

MOSSE paie des primes spéciales à certains de ses employés. Pour les personnes bénéficiaires, le montant des primes est le même et MOSSE paie un montant total de $60\,000$ FCFA par mois. Le mois dernier, MOSSE a suspendu quatre personnes parmi les bénéficiaires et a immédiatement augmenté la contribution personnelle de chaque membre restant de $2\,500$ FCFA pour garder son versement de $60\,000$ FCFA.

Tâches

1. Quel est le bénéfice minimal journalier de cette entreprise ? [1,5 pt]
2. Déterminer les effectifs de chaque catégorie de personnel. [1,5 pt]
3. Déterminer le nombre de personnels bénéficiaires de la prime spéciale. [1,5 pt]

Partie A : Probabilités et suites (8,5 points)

Une urne contient $2$ boules noires, $3$ boules rouges et $4$ boules vertes, toutes indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultanément $3$ boules de l’urne.

1. Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
   1. Les boules tirées sont de couleurs différentes. [0,75 pt]
   2. Les boules tirées sont de mêmes couleurs. [0,75 pt]
   3. Parmi les boules tirées, il y a au moins une boule noire. [1 pt]
2. Soit $X$ la variable aléatoire associée au nombre de boules rouges tirées. Déterminer la loi de probabilité de $X$. [1,5 pt]

Placement à intérêts composés

Monsieur Mando place dans une banque un capital de $40\,000$ F, à intérêts composés, au taux annuel de $8\%$. On suppose qu’il n’effectue aucune opération sur son compte.

1. Déterminer son capital :
   1. $C_1$ au bout d’un an. [0,5 pt]
   2. $C_2$ au bout de deux ans. [0,5 pt]
2. On désigne par $C_0$ le dépôt initial et par $C_n$ la valeur acquise du capital au bout de $n$ années de placement.
   1. Montrer que $C_0, C_1, \dots, C_n$ forment une suite géométrique et préciser le premier terme et la raison. [1 pt]
   2. Exprimer $C_n$ en fonction de $n$. [1 pt]
   3. Au bout de combien d’années le capital atteindra-t-il $100\,000$ F ? [1,5 pt]

Partie B : Analyse et équations (11,5 points)

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $2x^2 - 7x + 3 = 0$. [0,5 pt]
2. En déduire dans $\mathbb{R}$ les solutions des équations suivantes :
   1. $2e^x + 3e^{-x} - 7 = 0$. [1 pt]
   2. $(\ln x^2)^2 - 14\ln x + 6 = 0$. [1 pt]

Étude de fonction

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x-2+\dfrac{1}{e^x}$ et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$. L’unité sur les axes est $2$ cm.

1. 1. Calculer la limite de $f$ en $+\infty$. [0,5 pt]
   2. Vérifier que pour tout réel $x\neq0$, $f(x)=x\left(1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{xe^x}\right)$. [0,5 pt]
   3. En déduire que $\lim_{x\to-\infty} f(x)=+\infty$ (on admet que $\lim_{x\to-\infty} xe^x=0$). [0,5 pt]
2. 1. Montrer que $f'(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x}$ et étudier le sens de variation de $f$. [1,5 pt]
   2. Dresser le tableau de variation de $f$. [1 pt]
3. 1. Calculer $\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(x-2)]$. [0,5 pt]
   2. En déduire que la droite $(D)$ d’équation $y=x-2$ est une asymptote oblique à $(C)$ en $+\infty$. [0,5 pt]
4. Construire $(C)$ et $(D)$ dans le repère $(O;\vec{i};\vec{j})$. [2 pts]
5. Calculer l’aire du domaine délimité par les droites $x=2$, $x=5$, $y=x-2$ et la courbe $(C)$. [1 pt]

Exercice 1 : (06 points)

On considère le polynôme suivant : $P(x)=5x^2+25x+20$.

1. 1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $P(x)=0$. [0,75 pt]
   2. Après avoir donné sa condition d’existence, résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $5[\ln(x+1)]^2+25\ln(x+1)+20=0$. [1 pt]
2. 1. Résoudre dans $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ le système : $\begin{cases} x-3y=0\\ 2x-y=5 \end{cases}$ [0,75 pt]
   2. En déduire les solutions des systèmes suivants :
      1. $\begin{cases} \ln x-3\ln y=0\\ 2\ln x-\ln y=5 \end{cases}$
      2. $\begin{cases} e^{x+1}-3e^y=0\\ 2e^{x+1}-e^y=5 \end{cases}$
      [1,5 pt]
3. 1. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système : $\begin{cases} x+2y+z=8\\ x-y-z=-4\\ x+4y-5z=-6 \end{cases}$ [1 pt]
   2. En déduire dans $\mathbb{R}^3$ la résolution du système : $\begin{cases} \sqrt{x}+2e^y+\ln z=8\\ \sqrt{x}-e^y-\ln z=-4\\ \sqrt{x}+4e^y-5\ln z=-6 \end{cases}$ [1 pt]

Exercice 2 : (07 points)

Le professeur de mathématiques d’une classe de T^le D a représenté les notes d’un contrôle par le tableau suivant :

1. Sachant qu’il n’y a pas d’élèves absents lors de ce contrôle, combien y a-t-il d’élèves dans cette classe ? [0,25 pt]
2. Les élèves de cette classe se proposent de désigner un comité de $6$ personnes. Quel est le nombre de bureaux possible ? [0,5 pt]
3. Quelle est la probabilité de constituer un comité comprenant :
   1. Des élèves ayant obtenu la sous-moyenne au contrôle ? [0,5 pt]
   2. Des élèves ayant obtenu une note comprise entre $8$ et $16$ ? [0,5 pt]
   3. Des élèves ayant obtenu au moins la note de $07/20$ ? [0,5 pt]
4. Le professeur doit exclure de son cours tous les élèves ayant une note inférieure ou égale à $6$. Quelle est la probabilité de constituer un comité comprenant uniquement les élèves exclus ? [0,5 pt]
5. Le tableau précédent devient celui donnant la statistique portant sur les pourcentages $x_i$ de femmes et $y_i$ d’hommes atteints par le sida pendant les dix dernières années dans un pays.

1. Représenter le nuage de points associé à la série $(x_i,y_i)$ dans le plan muni d’un repère orthonormé. [0,5 pt]
2. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage de points obtenu. [0,5 pt]
3. Déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode de Mayer puis tracer cette droite. [1 pt]
4. Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique. Que peut-on en déduire ? [1,25 pt]
5. Si le pourcentage de femmes atteintes par le sida est de $30\%$, à quel pourcentage d’hommes atteints par le sida doit-on s’attendre ? [0,5 pt]

Problème : (07 points)

Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par : $f(x)=x-1-2\ln x$. On désigne par $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$. Unités sur les axes : $2\,cm$.

1. 1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$. [0,5 pt]
   2. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. [1 pt]
2. 1. Déterminer la dérivée $f'(x)$ de $f$ et étudier son signe. [1,5 pt]
   2. En déduire le tableau de variation de $f$. [1 pt]
3. 1. Déterminer l’équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C_f)$ au point d’abscisse $1$. [1 pt]
   2. Tracer $(T)$ et $(C_f)$ dans le même repère. [2 pts]