Tle A : 3ème séquence en maths

Exercice 1 / (08 points)

I. Polynôme et inéquations

On considère le polynôme défini par : $ f(x)=2x^3+5x^2-4x-3. $

1. Déterminer trois réels $a$, $b$, $c$ tels que $f(x)=(2x+1)(ax^2+bx+c)$.
2. Résoudre l’équation $ax^2+bx+c=0$ puis en déduire une factorisation de $f(x)$.
3. Étudier le signe de $f(x)$ puis en déduire la solution de l’inéquation $f(x)\le 0$.
4. Déduire les solutions de l’inéquation $ 2(\ln x)^3+5(\ln x)^2-4\ln x-3\le 0. $
5. Déduire les solutions de l’inéquation $ 2e^{3x}+5e^{2x}-4e^x-3\le 0. $

II. Système pivot de Gauss

1. En utilisant la méthode du pivot de Gauss, résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système suivant :
   $ \begin{cases} x-y-z=-2\\ x+2y+z=3\\ 3x+y+2z=10 \end{cases} $
2. Déduire de la question 1 la résolution dans $\mathbb{R}^3$ des systèmes :
   1. $(S_1)$ :
      $ \begin{cases} \sqrt{x}-\dfrac{1}{y}-z^2=-2\\[6pt] \sqrt{x}+\dfrac{2}{y}+z^2=3\\[6pt] 3\sqrt{x}+\dfrac{1}{y}+2z^2=10 \end{cases} $
   2. $(S_2)$ :
      $ \begin{cases} \sqrt{x}-e^y-\ln z=-2\\ \sqrt{x}+2e^y+\ln z=3\\ 3\sqrt{x}+e^y+2\ln z=10 \end{cases} $

Exercice 2 / (06 points)

Enquête statistique

Une station de ski réalise une enquête auprès de $300$ skieurs qui la fréquentent. Les résultats de l’enquête sont notés dans le tableau ci-dessous et indiquent la répartition en classe des skieurs en fonction de leur âge (en années) :

1. Quelle est la population puis donner l’individu.
2. De quel caractère s’agit-il puis donner sa nature.

Suite de l’Exercice 2 – Statistiques

3. Construire le polygone des effectifs cumulés de cette série.
4. Calculer par interpolation linéaire la valeur de la médiane de cette série.
5. Calculer la moyenne $\bar{x}$, l’écart moyen $e_m$ et l’écart type $\sigma$ de cette série.
6. Déterminer le nombre puis le pourcentage de skieurs dont l’âge est compris dans l’intervalle $ [\bar{x}-\sigma\ ;\ \bar{x}+\sigma]. $

Problème / (06 points)

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $ f(x)=\dfrac{1}{x-2}+\ln x $ et $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthonormal $(O,I,J)$. L’unité de longueur est $2\text{ cm}$.

1. Déterminer l’ensemble $D_f$ de définition de $f$.
2. Calculer les limites de $f$ aux bornes de l’ensemble $D_f$.
3. Vérifier que pour tout réel $x$ de $D_f$ : $ f'(x)=\dfrac{x^2-5x+4}{x(x-2)^2}. $
4. En déduire les variations de $f$ puis dresser son tableau de variation.
5. Tracer la courbe $(C_f)$.
6. Soit $h(x)=x\ln x-x$.
   1. Calculer la dérivée $h'(x)$ de $h$.
   2. Déduire une primitive de $f$ sur $D_f$.

Exercice 1 : 05 points

I. QCM – Choisir l’unique bonne réponse

Pour chacune des propositions suivantes, une seule réponse est correcte. Recopier le numéro de la question suivi de la réponse juste.

1. La fonction $ x \mapsto 1 - x^2 $ est :
   a) ni paire, ni impaire    b) paire    c) impaire
2. L’ensemble de définition de la fonction $ x \mapsto \sqrt{-x} $ est :
   a) $]0 ; +\infty[$    b) $]-\infty ; 0]$    c) $\mathbb{R}$
3. Pour tout $ x \in \mathbb{R}\setminus\{3\}, $ la limite de la fonction $ x \mapsto \dfrac{x^2+9}{3-x} $ quand $x$ tend vers $3$ par valeurs positives est :
   a) $0$    b) $-\infty$    c) $+\infty$

II. Étude d’une fonction définie par morceaux

Soit $f$ la fonction définie par : $ f(x)= \begin{cases} x^2+2 & \text{si } x>0\\ x+2 & \text{si } x\le 0 \end{cases} $

1. Calculer $ \lim_{x\to 0^+} f(x) $ et $ \lim_{x\to 0^-} f(x). $
2. Déterminer si la fonction $f$ est continue en $0$ et justifier la réponse.

Exercice 2 : 05 points

I. Résolution d’un système par la méthode du pivot de Gauss

On considère le système $(S)$ suivant : $ \begin{cases} x+y+z=120\\ x-2y+z=0\\ 2x+2y-z=75 \end{cases} $

Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système $(S)$ en utilisant la méthode du pivot de Gauss.

II. Problème de mise en équations

Paul possède trois sacs : un sac de maïs, un sac d’igname et un sac de riz. La masse totale des trois sacs est de $120\,\text{kg}$. La somme des masses du sac de maïs et du sac de riz est le double de celle du sac d’igname. En ajoutant $75\,\text{kg}$ au sac de riz, sa masse devient le double de la somme des masses du sac de maïs et du sac d’igname.

On désigne par $x$ la masse du sac de maïs, par $y$ celle du sac d’igname et par $z$ celle du sac de riz.

1. Montrer que $x$, $y$ et $z$ vérifient le système $(S)$.
2. En déduire la masse de chaque sac.

Problème : 10 points

Partie A : Étude d’équations et situation financière 05,5 points

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $ x^2+102x-535=0. $
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation : $ x^2+102x-535\ge 0. $
3. On place une somme de $200\,000$ F dans une banque afin de produire des intérêts. Cette somme est placée à un taux annuel de $x\%$. Après une année, le capital placé et les intérêts produits sont retirés, puis replacés au taux de $(x+2)\%$. L’intérêt produit au cours de cette deuxième année est de $14\,700$ F.
   1. Déterminer en fonction de $x$ la somme retirée à la fin de la première année.
   2. Exprimer en fonction de $x$ l’intérêt produit à la fin de la deuxième année.
   3. En déduire que $x$ vérifie l’équation : $ x^2+102x-535=0. $
   4. Trouver la valeur de $x$.

Partie B : Étude d’un polynôme 04,5 points

On considère le polynôme $P$ défini par : $ P(x)=x^4+2x^3-7x^2-8x+12. $

1. Calculer $P(-3)$ et conclure.
2. Déterminer le polynôme $Q(x)$ tel que : $ P(x)=(x+3)Q(x). $
3. On suppose que : $ Q(x)=x^3-x^2-4x+4. $
   1. Vérifier que $1$ est une racine de $Q(x)$.
   2. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que : $ Q(x)=(x-1)(ax^2+bx+c). $
4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $ P(x)=0. $
5. Résoudre l’inéquation : $ P(x)\ge 0. $