Tle a : 4ème séquence en maths

Exercice 1 : 5 points

I. Résolution de systèmes d’équations

1. a) Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système $(A)$ : $ \begin{cases} 2x+3y=1\\ 3x-2y=-4 \end{cases} $
2. b) En déduire les solutions du système $(B)$ : $ \begin{cases} \dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}=1\\ \dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{y}=-4 \end{cases} $

II. Résolution graphique d’un système d’inéquations

Résoudre graphiquement dans le repère orthonormé $(O,I,J)$ le système d’inéquations $(E)$ : $ \begin{cases} 2x+3y-1\le 0\\ 3x-2y+4\ge 0 \end{cases} $

Exercice 2 : 5 points

Lecture graphique d’une fonction

Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O,I,J)$, on considère $(C_f)$ la courbe représentative de la fonction $f$ ci-dessous.

1. Par lecture graphique :
   1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$.

Suite – Lecture graphique

2. Déterminer les images de $-4$, $-2$, $1$ et $3$ par la fonction $f$.
3. Déterminer les antécédents de $1$ par la fonction $f$.
4. Construire en bleu la courbe représentative $(C_f)$ de la fonction $f$.

Transformations de courbes

On considère les fonctions $g$ et $h$ définies par : $ g(x)=-f(x) $ et $ h(x)=f(x-2)+2. $

Construire dans le même repère :
– au crayon la courbe $(C_g)$ de la fonction $g$ ;
– en noir la courbe $(C_h)$ de la fonction $h$.

Exercice 3 : 5,5 points

On considère les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $ f(x)=\dfrac{x+3}{x} $ et $ g(x)=\dfrac{3x-5}{x-2}, $ de courbes représentatives $(C_f)$ et $(C_g)$ dans le repère orthonormé $(O,I,J)$.

1. Déterminer le domaine de définition de chacune de ces fonctions.
2. Montrer que le point $A(2;3)$ est un centre de symétrie de la courbe $(C_g)$.
3. Étudier la parité de la fonction $f$.
4. Déterminer l’image par $f$ du réel $\dfrac13$.
5. Déterminer l’antécédent par $g$ du réel $7$.

Partie B : Évaluation des compétences 4,5 points

Pour alimenter sa maison en eau courante, Monsieur Kamga a construit un château d’eau ayant la forme d’un parallélépipède rectangle (pavé droit) de hauteur $ h=1\,\text{m}, $ de longueur $L$ et de largeur $l$. La base de ce château a un périmètre égal à $4\,\text{m}$ et une aire égale à $ 0,96\,\text{m}^2. $ Une fois le château rempli, Madame Kamga utilise $120$ litres d’eau par jour.

Par ailleurs, Madame Kamga, couturière à Bafoussam, a acheté un rouleau de tissu à $14\,400$ FCFA. Elle conserve $4\,\text{m}$ de ce rouleau et revend le reste à $16\,800$ FCFA, réalisant un bénéfice de $150$ FCFA par mètre de tissu vendu.

1. Déterminer la longueur du rouleau de tissu et le prix d’achat d’un mètre de tissu.
2. À partir d’une mise en système d’équations, justifier que $ L=1{,}2\,\text{m} $ et $ l=0{,}8\,\text{m}. $
3. Déterminer le nombre de jours au bout duquel le château d’eau sera complètement vidé.

EXERCICE 1 (5 points)

I) Systèmes d’équations

On considère les systèmes d’équations suivants :

$(S_1): \begin{cases} 7x + 3y = 1 \\ 5x + 4y = -3 \end{cases}$

$(S_2): \begin{cases} -5x + 2y + 2z = 5 \\ 3x + 4y - 3z = 2 \\ -8x + 7y + 5z = 21 \end{cases}$

1) Étude du système $(S_1)$

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système $(S_1)$. [1pt]
2. En déduire l’ensemble solution du système :

   $\begin{cases} 7\ln x + 3\ln y = 1 \\ 5\ln x + 4\ln y = -3 \end{cases}$

   [0,5pt]

2) Étude du système $(S_2)$

1. Montrer que le couple $(1 ; 2 ; 3)$ est solution du système $(S_2)$. [0,5pt]
2. En déduire l’ensemble solution du système :

   $\begin{cases} -5e^x + 2e^y + 2e^z = 5 \\ 3e^x + 4e^y - 3e^z = 2 \\ -8e^x + 7e^y + 5e^z = 21 \end{cases}$

   [0,75pt]

II) Étude d’un polynôme

Soit le polynôme $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 32x + 15$ et l’équation :

$(E):\; 2\ln^3 x + 3\ln^2 x - 32\ln x + 15 = 0$

1. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que :

   $P(x) = (x - 3)(ax^2 + bx + c)$

   [0,75pt]
2. Résoudre l’équation $P(x) = 0$. [0,75pt]
3. En déduire l’ensemble solution de l’équation $(E)$. [0,75pt]

EXERCICE 2 (5 points)

I) Primitives et fonctions rationnelles

Soient les fonctions définies par :

$f(x) = 6x^2 - 2x + 1$ et $g(x) = \dfrac{7x^2 + 3x + 2}{x - 1}$.

1. Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. [0,75pt]
2. Montrer que :

   $g(x) = 7x + 4 + \dfrac{6}{x - 1}$

   [0,5pt]
3. En déduire sur $]1 ; +\infty[$ une primitive $G$ de $g$ telle que $G(2) = 10$. [1pt]

II) Série statistique à double caractère

1. Construire dans un repère orthogonal le nuage des points associés à cette série.

   NB : On prendra 1 cm pour 10 unités sur les axes.

   [1pt]
2. Calculer les coordonnées du point moyen $G$. [0,5pt]
3. Déterminer un ajustement affine du nuage des points par la méthode de Mayer. [1,25pt]

EXERCICE 3 (5 points)

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,I,J)$. Soit la fonction $f$ définie sur $]-2;+\infty[$ par $f(x)=3\ln(x+2)$ et $(C)$ sa courbe représentative dans le repère.

1) Limites et asymptote

Calculer les limites de la fonction $f$ à droite de $-2$ et en $+\infty$, puis en déduire une asymptote éventuelle.

[1 pt]

2) Dérivée de la fonction

Montrer que pour tout $x \in ]-2;+\infty[$, la dérivée :

$f'(x)=\dfrac{3}{x+2}$

[0,5 pt]

3) Sens de variation

En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation.

[1 pt]

4) Tableau de valeurs

Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :

[1 pt]

5) Représentation graphique

Tracer soigneusement dans le repère la courbe $(C)$.

[1,5 pts]

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (5 points)

M ATEBA, jeune entrepreneur, dispose d’un terrain triangulaire rectangle dont l’aire est de $2400$ mètres carrés et dont le plus long côté mesure $100$ mètres. Il souhaite construire une barrière autour de ce terrain. Le devis est estimé à environ $15\,000$ FCFA le mètre linéaire. Il ne dispose que d’une somme de $3\,000\,000$ FCFA pour ce projet.

Sur ce terrain, il lance les travaux de construction d’un supermarché. Pour écouler facilement l’un de ses produits, une enquête est menée auprès des potentiels clients. Dans le tableau ci-dessous, $x_i$ désigne le prix du produit et $y_i$ le nombre de potentiels clients.

M ATEBA souhaite conquérir un marché d’au moins $1000$ clients et fixer le prix et la qualité du produit à proposer.

Pour inaugurer son supermarché, il aimerait distribuer équitablement une somme de $105\,000$ FCFA à un groupe de personnes. Mais le jour de l’événement, il y a $5$ personnes de plus dans ce groupe et la part de chacun diminue de $500$ FCFA.

Tâches

1. La somme dont dispose M ATEBA est-elle suffisante pour la construction de la barrière ? [1,5 pts]
2. Quel doit être le prix du produit pour conquérir un marché d’au moins $1000$ clients ? [1,5 pts]
3. Combien de personnes y avait-il au départ dans ce groupe ? [1,5 pts]