Tle A : 2ème séquence en maths

EXERCICE I

Étude d’un polynôme

Soit le polynôme défini par : $p(x)=-x^3+7x-6$

1. Montrer que $1$ est solution de l’équation $p(x)=0$.
2. En déduire que $p(x)$ peut s’écrire sous la forme $p(x)=(x-1)(-x^2+ax+b)$ où $a$ et $b$ sont de réels à déterminer.
3. On pose $k(x)=(-x^2-x+6)$
   1. Montrer que $k(x)=-\left[\left(x+\dfrac12\right)^2-\left(\dfrac52\right)^2\right]$.
   2. En déduire la forme factoriser de $k(x)$.
4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $p(x)=0$.
5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $p(x)<0$.

Exercice II

Équations et inéquations

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

   $(E_1)$ : $\sqrt{2}\,x^2+(1+\sqrt{2})x+1\ge 0$ ;

   $(I_1)$ : $-\dfrac12 x^2+\dfrac12 x+1=0$.

Géométrie et aire

2. Mme nana a hérité de son père un terrain rectangulaire de $230\text{ m}$ de périmètre ; elle a vendu ce terrain à $600000\text{ F}$ à raison de $2000\text{ F}$ le mètre carrés : déterminer les dimensions de ce terrain !

Systèmes

3. Résoudre respectivement dans $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ les systèmes :

   $\begin{cases} \dfrac12 x-3y=-1\\ x-\dfrac32 y=3 \end{cases}$

   et $\begin{cases} 2x+2y+z=9\\ -x+4y-z=-3\\ -3x-2y+4z=-2 \end{cases}$

Problème de gains

4. Un père veut encourager son fils à étudier, pour cela il propose lui donner $100\text{ F}$ pour chaque problème bien résolu mais il lui retranche $50\text{ F}$ dans le cas contraire. Après $26$ problèmes le fils obtient $500\text{ F}$. Déterminer le nombres de problèmes bien résolus et le nombres de problèmes ratés.

PROBLEME

Fonction rationnelle et courbe

Le plan est muni de repère orthonormé $(o,i,j)$, soit $g$ la fonction définie par : $g(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}$ et $C_g$ sa représentation graphique.

1. Déterminer l’ensemble de définition $D_g$ de $g$ et calculer les limites aux bornes de $D_g$.
   1. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout $x$ elment de $D_g$ : $g(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}$.
   2. Démontrer que la droite $(D)$ d’équation $y=ax+b$ est asymptote à $C_g$ ($a$ et $b$ étant les valeurs trouver ci – haut).
2. 1. Déterminer la dérivée $g'$ de la fonction $g$.
   2. En déduire le sens de variation de $g$.
   3. Dresser le tableau de variation de $g$.
3. En quel point la courbe coupe –t-elle l’axe des ordonnées ?
4. 1. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(C_g)$ au point d’intersection avec l’axe des ordonnées.
   2. Construire soigneusement la tangente $(T)$, la courbe $(C_g)$ et ses asymptotes en respectant les graduations sur les axes.
   3. Résoudre graphiquement l’inéquation $g(x)\ge 0$.

EXERCICE 1 – Sans recopier la question, répondre par vrai ou faux

(5 pts)

1. $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, où $a,b,c$ et $d$ sont des réels, est un polynôme de degré $3$ dans $\mathbb{R}^3$.
2. Le système $\begin{cases} x+y=5\\ 2x+3y=13 \end{cases}$ a pour solution dans $\mathbb{R}^2$, $S=\{(3\,;2)\}$.
3. L’équation $x^3+4x=0$ a pour solution dans $\mathbb{R}$ $S=\{0;2;-2\}$.
4. L’inéquation $\dfrac{-x^3+4x}{x-2}\ge 0$ a pour solution $]-\infty;-2]\cup[0;2]$.
5. Le système $\begin{cases} x-z=1\\ x-y=-1\\ y-z=2 \end{cases}$ a pour solution dans $\mathbb{R}^3$, $S=\{(1\,;2\,;0)\}$.

EXERCICE 2 – 3,5 pts

Systèmes d’équations

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système $\begin{cases} 2x+y-4z=-8\\ x-3y+2z=1\\ x+y+z=6 \end{cases}$.
2. En déduire l’ensemble solution du système $\begin{cases} \dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{4}{z-1}=-8\\[6pt] \dfrac{1}{x}-\dfrac{3}{y}+\dfrac{2}{z-1}=1\\[6pt] \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z-1}=7 \end{cases}$.

EXERCICE 3 – 7 pts

Étude d’un polynôme

On donne $p(x)=-\dfrac12 x^3+\dfrac32 x^2+3x-4$.

1. Vérifier que $p(1)=0$ et en déduire le polynôme $q(x)$ tel que $p(x)=(x-1)q(x)$.
2. On suppose $q(x)=-\dfrac12 x^2+x+4$. Résoudre $p(x)=0$.
3. Factoriser $p(x)$.
4. Résoudre l’inéquation $p(x)<0$.
5. En posant $X=t^2$, déduire la solution de l’équation $-\dfrac12 t^6+\dfrac32 t^4+3t^2-4=0$.

II – ÉVALUATION DES COMPÉTENCES

SITUATION – 4,5 pts

Deux capitaux sont proportionnels aux nombres $5$ et $7$. Ils sont placés à intérêts simples, le premier au taux de $11\%$ et le second au taux de $9\%$. Le revenu annuel total est de $35\,400$ F.

Ce revenu est ensuite placé dans une tontine pour un mois au taux mensuel de $t\%$. Le mois suivant, l’ensemble est placé au taux de $(t+1)\%$. L’intérêt encaissé le mois suivant est de $1\,083{,}24$ F. On note $x$ et $y$ ces capitaux.

Tâches

1. Montrer que $x$ et $y$ vérifient le système $\begin{cases} \dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{7}\\ 11x+9y=295000 \end{cases}$.
2. Déterminer les capitaux $x$ et $y$.
3. Déterminer le taux d’intérêt du dernier placement.

EXERCICE 1 : 5 pts

Dans chacun des cas suivants, associer au numéro de chaque question la lettre de la bonne réponse sous les critères de notation suivants : Bonne réponse : 1pt, Mauvaise réponse : −0,25pt, pas de réponse : 0pt.

1. La solution dans $\mathbb{R}$ de l’inéquation $-x^2+x+6>0$ est :

   a) $]-\infty;-2]\cup[3;+\infty[$

   b) $]-\infty;-2[\cup]3;+\infty[$

   c) $[-2;3]$

   d) $]-2;3[$

2. Le coefficient directeur de la tangente au point $A(-1;3)$ à la courbe de la fonction $f(x)=x^2-3x+6$ est :

   a) $-1$

   b) $-5$

   c) $10$

   d) $5$

3. La limite lorsque $x$ tend vers $-\infty$ de $\dfrac{x^3-5x+2}{x-3}$ est :

   a) $-\infty$

   b) $+\infty$

   c) $0$

   d) n’existe pas

4. Une primitive de $\dfrac{2x-5}{(x^2-5x+2)^3}$ est :

   a) $-\dfrac{1}{2(x^2-5x+2)^2}$

   b) $\dfrac{1}{2(x^2-5x+2)^2}$

   c) $\dfrac12(x^2-5x+2)^4$

   d) $-\dfrac{1}{(x^2-5x+2)^4}$

5. La dérivée de la fonction $f(x)=\dfrac{4x+1}{2x+1}$ est :

   a) $\dfrac{2}{2x+1}$

   b) $-\dfrac{2}{(2x+1)^2}$

   c) $\dfrac{4}{(2x+1)^2}$

   d) $\dfrac{2}{(2x+1)^2}$

EXERCICE 2 : 5 pts

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système $S_1$ et dans $\mathbb{R}^2$ le système $S_2$.

   $S_1\; \begin{cases} 2x-y+z=7\\ x+2y-z=6\\ -x+y+2z=11 \end{cases}$

   $S_2\; \begin{cases} 2x-y=1\\ 3x-5y=-9 \end{cases}$

2. En déduire respectivement dans $\mathbb{R}^3$ et dans $\mathbb{R}^2$ les solutions des systèmes :

   $S_3\; \begin{cases} 2\sqrt{x}-y^2+\dfrac1z=7\\ \sqrt{x}+2y^2-\dfrac1z=6\\ -\sqrt{x}+y^2+\dfrac{2}{z}=11 \end{cases}$

   $S_4\; \begin{cases} \dfrac{2}{x-3}-|y|=1\\ \dfrac{3}{x-3}-5|y|=-9 \end{cases}$

PROBLÈME : 9,5 pts

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système $\begin{cases} 2x+y+z=-1\\ y-z=3\\ x-z=0 \end{cases}$.
2. Soit $(C_f)$ la courbe représentative d’une fonction $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}$ et dont le tableau de variation est donné ci-dessous.
   

2. Déterminer l’ensemble de définition $D_f$ de $f$.
3. À partir du tableau de variation de $f$, déterminer les réels $f(0)$, $f(2)$ et $f'(0)$.
4. Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$, $x$ et $c$.
5. Déduire de la question précédente les réels $a$, $b$ et $c$.

   On pourra montrer qu’ils sont solution du système $(S)$.

Exploitation du tableau de variation

3. À partir du tableau de variation de $f$, donner le signe de $f$ suivant les valeurs de $x$.

Asymptotes et géométrie de la courbe

4. Montrer que la courbe $(C_f)$ admet une asymptote oblique $(D)$. Donner son équation puis préciser les positions relatives de $(C_f)$ et $(D)$.
5. Déterminer les coordonnées du point d’intersection $I$ des asymptotes à $(C_f)$, puis montrer que $I$ est un centre de symétrie de $(C_f)$.
6. Tracer $(C_f)$ dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$.

Exercice 1 (09 points)

I. Étude d’un polynôme

Soit $P$ le polynôme défini par : $P(x)=x^3-7x-6$.

1. Calculer $P(-1)$.
2. Déterminer les nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que : $P(x)=(x+1)(ax^2+bx+c)$.
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $P(x)=0$.
4. En déduire la résolution dans $\mathbb{R}$ de :
   1. L’équation $(\ln x)^3-7\ln x-6=0$.
   2. L’inéquation $e^{3x}-7e^x-6\ge 0$.

II. Changement de variables

1. Résoudre dans $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ le système suivant :

   $\begin{cases} x-3y=0\\ 2x-y=5 \end{cases}$

2. En déduire les solutions des deux systèmes suivants :

   a) $\begin{cases} \ln x-3\ln y=0\\ 2\ln x-\ln y=5 \end{cases}$

   b) $\begin{cases} e^{x+1}-3e^y=0\\ 2e^{x+1}-e^y=5 \end{cases}$

III. Résolution de systèmes

1. $\begin{cases} x+y=2\\ \ln x-\ln y=\ln 3 \end{cases}$
2. $\begin{cases} -x+y=1\\ e^x+e^y=1 \end{cases}$

Exercice 2 (05 points)

Système linéaire dans $\mathbb{R}^3$

1. En utilisant la méthode du pivot de Gauss, résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système suivant :

   $\begin{cases} x+y+z=75\\ 2x+y+z=105\\ 6x+3y+4z=340 \end{cases}$

Compléments (Exercice 2)

2. En déduire dans $\mathbb{R}^3$ la résolution du système suivant :

   $\begin{cases} \sqrt{x}+e^y+\ln z=75\\ 2\sqrt{x}+e^y+\ln z=105\\ 6\sqrt{x}+3e^y+4\ln z=340 \end{cases}$

3. Des hommes d’affaires organisent une partie d’une chasse aux buffles, aux autruches et aux oies. Au retour, on compte au total $75$ têtes et $210$ pattes d’animaux tués. Le transporteur perçoit une somme de $170000$ FCFA à raison de $3000$ FCFA par buffle, $1500$ FCFA par autruche et $2000$ FCFA par oie.

   Déterminer le nombre de buffles puis d’autruches et enfin d’oies.

Problème (06 points)

Étude d’une fonction et asymptote

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x-2+\dfrac{1}{e^x}$ et $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthonormal $(O,I,J)$. L’unité de longueur est $2\text{ cm}$.

1. 1. Calculer la limite de $f$ en $+\infty$.
   2. Vérifier que pour tout nombre réel $x$ non nul : $f(x)=x\left(1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{xe^x}\right)$.
   3. En déduire la limite de $f$ en $-\infty$.

      On rappelle que $\lim\limits_{x\to -\infty} xe^x=0$.

2. 1. Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et en déduire son sens de variation.
   2. Dresser le tableau de variation de $f$.
3. 1. Montrer que la droite $(D)$ d’équation $y=x-2$ est une asymptote oblique à $(C_f)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
   2. Étudier suivant les valeurs de $x$, la position de $(C_f)$ par rapport à $(D)$.
4. Tracer $(D)$ et $(C_f)$ dans le même repère.

Exercice 1 (06 points)

Équations et inéquations

1. 1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $-x^2+3x+4=0$.
   2. En déduire la résolution dans $\mathbb{R}$ de l’inéquation $-x^2+4<-3x$.
2. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ les systèmes d’équations suivants :
   1. $\begin{cases} 2x-y=-1\\ 4x+3y=18 \end{cases}$
   2. $\begin{cases} x-y=1\\ xy=12 \end{cases}$
3. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système d’équations :

   $\begin{cases} 3x-4y+2z=-1\\ -2x+y+3z=5\\ -6x-7y+z=7 \end{cases}$

Exercice 2 (04 points)

Étude graphique d’une fonction

Le tableau suivant est celui d’une fonction définie sur $[-3\,;3]$.

1. Donner l’ensemble de définition de $f$.
2. Donner les limites de $f$ aux bornes de cet ensemble.
3. Donner le sens des variations de $f$.
4. Donner l’allure de la courbe $(C_f)$ de $f$.
5. Donner le nombre de solutions de l’équation $f(x)=0$.

Problème (09 points)

Fonction rationnelle et asymptote

$g$ est une fonction de la variable réelle $x$ définie dans $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ par $g(x)=\dfrac{x^2+x-6}{x+1}$. $(C)$ désigne la courbe de $g$ dans un repère orthonormé du plan. L’unité sur les axes est $1\text{ cm}$.

1. Calculer les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
2. Calculer la dérivée $g'$ de $g$ et dresser son tableau de variation.
3. 1. Montrer que pour tout $x\neq -1$, on a : $g(x)=x-\dfrac{6}{x+1}$.
   2. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[g(x)-x]$ et en déduire que $(C)$ admet une asymptote oblique $(D)$ dont on donnera l’équation cartésienne.
4. 1. Donner l’équation cartésienne de l’autre asymptote.
   2. Préciser la position relative de $(C)$ et $(D)$.
5. 1. Déterminer les points d’intersection de $(C)$ avec les axes des abscisses.
   2. Construire soigneusement $(C)$.
6. Montrer que le point $\Omega(-1\;;\,-1)$ est un centre de symétrie de $(C)$.

Partie A : 07 points

I. Systèmes d’équations

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système suivant par la méthode du pivot de Gauss :

   $(S)\; \begin{cases} x+2y+z=65\\ 2x+y+3z=125\\ 3x+y+z=95 \end{cases}$

2. Dans un marché, trois enfants achètent les mêmes variétés de fruits. Le premier achète une orange, deux mandarines et une banane et paye $65$ F. Le deuxième achète deux oranges, une mandarine et trois bananes et paye $125$ F. Le troisième achète trois oranges, une mandarine et une banane et paye $95$ F.

   Déterminer le prix unitaire de chaque variété de fruit.

II. Choix de réponse et déduction

1. Choisir la bonne réponse :

   L’ensemble solution du système $\begin{cases} x+y+z=15\\ -x-y+2z=0\\ 2x+y-z=8 \end{cases}$ est :

   • a) $\{(9;1;5)\}$
   • b) $\{(7;4;4)\}$
   • c) $\{(3;7;5)\}$
   • d) $\{(4;7;4)\}$
2. En déduire la résolution dans $\mathbb{R}$ du système :

   $\begin{cases} x^2+|y|+\dfrac{1}{z}=15\\ -x^2-|y|+\dfrac{2}{z}=0\\ 2x^2+|y|-\dfrac{1}{z}=8 \end{cases}$

Partie B : 06 points

I. Système linéaire

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système suivant :

   $\begin{cases} 58x+27y=228\\ 40x+50y=220 \end{cases}$

2. Pour certains abonnés d’une société d’électricité, le prix du kWh est assujetti à deux tarifs : l’un dit heures creuses, l’autre dit heures pleines. On donne ci-dessous une facture :

Trouver à l’aide des factures ci-dessus le prix du kWh d’heures creuses et celui d’heures pleines.

II. Résolution et application

1. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système :

   $\begin{cases} xy=0,96\\ x+y=2 \end{cases}$

2. Application :

   Pour alimenter sa maison de campagne en eau courante, BIGMOP a fait construire un château d’eau ayant la forme d’un pavé droit de hauteur $h=2\text{ m}$. Le périmètre de la base est égal à $4\text{ m}$ et l’aire de la base de ce château d’eau est $0,96\text{ m}^2$.

   1. Déterminer les dimensions du château d’eau.
   2. Une fois le château d’eau rempli, BIGMOP utilise $120$ litres d’eau par jour. Au bout de combien de jours son château d’eau sera-t-il complètement vide ?

   Nota :

   • Un pavé droit a trois dimensions : la longueur, la largeur et la hauteur.
   • La base d’un pavé droit est rectangulaire.
   • Pour un pavé droit : $\text{volume}=\text{longueur}\times\text{largeur}\times\text{hauteur}$.

Partie C : 07 points

I. Calculs algébriques et polynômes

1. 1. Développer et réduire l’expression $A=(x-1)(-x^2+5x-6)$.
   2. On considère le polynôme $p(x)=-x^3+6x^2-11x+6$.
      1. Vérifier que $1$ est une racine de $p$.
      2. Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que $p(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)$.
      3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $p(x)=0$.
      4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $-x^4+5x^2-6=0$.
      5. Dresser le tableau de signe de $p(x)$.
      6. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $p(x)<0$.

II. Pourcentages

Une marchandise qui coûtait $2500$ F a subi deux hausses successives de $x\%$. Son prix actuel est de $3600$ F.

1. Montrer que $x$ vérifie l’équation $x^2+200x-4400=0$.
2. Résoudre cette équation dans $\mathbb{R}$ et en déduire la valeur de $x$.

Exercice 1 : [5,5 points]

Systèmes d’équations

1. 1. Résoudre dans $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ le système :
      $ \begin{cases} 2x+3y=1800\\ 7x+y=2500 \end{cases} $
   2. En déduire la solution dans $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ du système :
      $ \begin{cases} \dfrac{2}{x-1}+3\left(y+\dfrac12\right)=1800\\[6pt] \dfrac{7}{x-1}+\left(y+\dfrac12\right)=2500 \end{cases} $
2. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système $(S)$ :
   $ \begin{cases} x+y+z=120\\ 3x-5y=0\\ x+y-2z=0 \end{cases} $

Problème de cinéma

Dans une salle de cinéma, le prix d’une place d’orchestre est de $180$ F, celui d’une place de corbeille est de $150$ F et celui d’une place de balcon est de $80$ F. Lorsque la salle est pleine, la recette des places d’orchestre est le double de celle des places de corbeille. La somme du nombre des places d’orchestre et de corbeille est le double du nombre de places de balcon. Le théâtre peut contenir $120$ places.

On désigne par $x$ le nombre de places d’orchestre, par $y$ le nombre de places de corbeille et par $z$ le nombre de places de balcon.

1. Montrer que $x$, $y$ et $z$ vérifient le système $(S)$ de la question 2.
2. En déduire le nombre de places de chaque catégorie dans cette salle de cinéma.

Exercice 2 : [5,25 points]

Calculs numériques et algébriques

1. Donner la notation scientifique du nombre : $A=0{,}0013\times10^5$.
2. Donner l’arrondi d’ordre $4$ du nombre : $B=\dfrac{2\pi}{3}$, en prenant $\pi=3{,}14$.
3. Écrire $C=\dfrac{9^6\times10^3\times14^2}{3^{10}\times5^3\times7^2}$ et $D=\dfrac{\dfrac{7}{3}-1}{\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{7}}$ sous la forme de fractions irréductibles.
4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $-2x^2+3x-1=0$ puis l’inéquation $-2x^2+3x-1\ge0$.
5. Déterminer la longueur et la largeur d’un champ rectangulaire dont l’aire est $475\ \text{m}^2$ et le périmètre $90\ \text{m}$.

Problème : [9 points]

On considère la fonction $g$ définie par : $g(x)=\dfrac{-x^2-7x-6}{x+2}$ et on désigne par $(C_g)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,I,J)$.

1. Domaine et limites

1. 1. Montrer que le domaine de définition de $g$ est $D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2\}$.
   2. Calculer les limites de $g$ aux bornes de $D_g$ puis en déduire l’équation de l’asymptote verticale à $(C_g)$.

2. Dérivée et variations

2. 1. Calculer $g'(x)$ et en déduire les variations de $g$.
   2. Dresser le tableau de variation de $g$.

3. Asymptote oblique et position relative

3. 1. Démontrer que pour tout $x\neq -2$ : $g(x)=-x-5+\dfrac{4}{x+2}$.
   2. En déduire que la droite $(D)$ d’équation $y=-x-5$ est une asymptote oblique à $(C_g)$.
   3. Étudier la position relative de $(C_g)$ et $(D)$.

4. Tangente

4. Écrire une équation de la tangente $(D')$ à $(C_g)$ au point d’abscisse $x_0=0$.

5. Construction graphique

5. Construire $(C_g)$, $(D)$ et $(D')$ dans le repère $(O,I,J)$.

Exercice 1 : 5,5 points

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $x^2+5x-36=0.$
2. Écrire le polynôme $p(x)=2x^5+10x^3-72x$ sous la forme $(2x)[q(x)]$, où $q(x)$ est un polynôme de la forme $ax^4+bx^2+c.$
3. Déduire des questions 1 et 2 la résolution dans $\mathbb{R}$ de l’équation : $2x^5+10x^3-72x=0.$
4. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système : $ \begin{cases} \dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{6}\\ x+y+z=75 \end{cases} $

Exercice 2 : 8 points

1. En utilisant la méthode du pivot de Gauss, déterminer le triplet $(x,y,z)$ de $\mathbb{R}^3$ solution du système : $ \begin{cases} x+y+z=75\\ 2x+y+z=105\\ 6x+3y+4z=340 \end{cases} $
2. John et Evy organisent une partie de chasse aux buffles, aux autruches et aux oies. Au retour, on compte au total 75 têtes et 210 pattes d’animaux tués. Le transporteur perçoit une somme de 170000 F à raison de 3000 F par buffle, 1500 F par autruche et 2000 F par oie. On admet que chaque animal a une tête, qu’un buffle a 4 pattes, une autruche 2 pattes et une oie 2 pattes.
   1. En désignant par $x$ le nombre de buffles, $y$ le nombre d’autruches et $z$ le nombre d’oies, montrer que $x$, $y$ et $z$ vérifient le système $(\mathcal{E})$.
   2. En déduire le nombre d’animaux de chaque espèce.

Exercice 3 : 6,5 points

1. On considère la fonction numérique $g$ définie par : $g(x)=\dfrac{x^2-5x+6}{x+2}.$
   1. Déterminer l’ensemble de définition $D_g$ de $g$.
   2. Calculer les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
   3. Calculer les limites à gauche et à droite de $-2$ puis conclure.
   4. Factoriser l’expression $x^2-5x+6$.
   5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $g(x)=0$, puis en déduire les solutions de l’inéquation $g(x)\le 0$.