Tle A : 1ère séquence en maths

EXERCICE 1 (6pts)

Notation scientifique

1. Mettre sous forme de notation scientifique chacun des réels suivants :

   $A=-567310$ ; $B=0,0527\times 10^7$ ; $C=\dfrac{275\times 10^{-5}\times 0,035}{25\times 10^{-9}}$

Arrondi

2. Donner l’arrondi d’ordre $5$ de $\dfrac{3}{7}$.

Encadrement

3. Sachant que $2,236<\sqrt{5}<2,237$, donner un encadrement à $10^{-3}$ près de $5-2\sqrt{5}$.

QCM

4. Choisir la bonne réponse dans chacune des propositions suivantes :

   a) L’intersection des deux intervalles $[-2;4[$ et $[2;8[$ est :

   1. $\varnothing$ ;
   2. $[-2;8[$ ;
   3. $[2;4[$ ;
   4. $[-2;2[$

   b) La réduction de $16\sqrt{27}+2\sqrt{3}-8\sqrt{3}$ est :

   1. $3\sqrt{24}$ ;
   2. $42\sqrt{3}$ ;
   3. $33\sqrt{3}$ ;
   4. $27\sqrt{3}$

EXERCICE 2 (6pts)

Étude d’un polynôme

1. On considère le polynôme $P$ défini par : $P(x)=-2x^3-x^2+7x+6$.
   1. Vérifier que $2$ est une racine de $P$.
   2. Déterminer les réels $a,b$ et $c$ tels que pour tout réel $x$ on ait :
      $P(x)=(x-2)\,(ax^2+bx+c)$.
   3. Résoudre dans $IR$ l’équation $(E)$ : $-2x^2-5x-3=0$.
   4. Vérifier que $P(x)=(x-2)\,(-2x^2-5x-3)$.
2. En déduire la résolution dans $IR$ de :
   1. L’équation $P(x)=0$.
   2. L’inéquation $P(x)\le 0$.

PROBLEME (8pts)

Systèmes et résolution

1. Résoudre dans $IR^2$ le système :

   $\begin{cases} 2x+3y=7\\ -x-2y=-5 \end{cases}$

2. En déduire la résolution dans $IR^2$ du système :

   $\begin{cases} 2(x+1)+3(y-1)=7\\ -(x+1)-2(y-1)=-5 \end{cases}$

3. Résoudre dans $IR^3$ par la méthode du pivot de Gauss le système :

   $\begin{cases} x+y+z=75\\ 2x+y+z=105\\ 6x+3y+4z=340 \end{cases}$

Problème de dénombrement

4. Des hommes d’affaires organisent une partie de chasse aux buffles, aux autruches et aux oies. Au retour, on compte au total $75$ têtes et $210$ pattes d’animaux tués. Le transporteur perçoit $170\ 000$ FCFA à raison de $3000$ FCFA par buffle, $1500$ FCFA par autruche et $2000$ FCFA par oie.

   Déterminer le nombre de buffles, d’autruches et d’oies.

Exercice 1 / (06 points)

Questions à choix multiple

A chaque question de cet exercice, on propose 3 réponses a), b) et c) dont une seule est bonne. Choisir la bonne réponse sans recopier.

1. L’ensemble des solutions de l’équation $-4x+4=-x-5$ dans $\mathbb{R}$ est :

   a) $\{3\}$

   b) $\{-3\}$

   c) $\{\ \}$.

2. L’ensemble des solutions de l’inéquation $\dfrac{x+3}{2}<\dfrac{4x-3}{3}$ dans $\mathbb{R}$ est :

   a) $[3,+\infty[$

   b) $]-\infty,3[$

   c) $]3,+\infty[$.

3. L’ensemble des solutions du système $\begin{cases}x+y=26\\2x-y=10\end{cases}$ est :

   a) $(14,12)$

   b) $(-12,14)$

   c) $(12,14)$.

4. La fonction $x\mapsto 1-x^2$ est :

   a) ni paire, ni impaire

   b) paire

   c) impaire.

5. L’ensemble de définition de la fonction $x\mapsto \sqrt{-x}$ est :

   a) $]0,+\infty[$

   b) $]-\infty,0]$

   c) $\mathbb{R}$

6. La limite de la fonction $x\mapsto \dfrac{x^2-9}{x-3}$ quand $x$ tend vers $3$ est :

   a) $+\infty$

   b) $3$

   c) $6$

Exercice 2 / (05 points)

Équation du second degré

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $-x^2+5x+50=0$.

Aire d’un champ rectangulaire

2. Soit $x$ un réel positif et plus petit que $15$. On dispose d’un champ rectangulaire de $70$ mètres de long sur $30$ mètres de large. On augmente la largeur de $x$ mètres et on diminue la longueur de $2x$ mètres.
   1. Calculer en fonction de $x$ l’aire du nouveau champ.
   2. Sachant que cet aire est de $2000\ \mathrm{m}^2$, montrer que $x$ vérifie l’équation $-x^2+5x+50=0$.
   3. Déterminer alors la valeur de $x$.

Problème / (09 points)

Étude d’une fonction rationnelle

Le plan est muni du repère orthogonal $(O,\ I,\ J)$.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x^2-6x+5}{x-3}$ et $(C)$ sa représentation graphique.

1. Déterminer l’ensemble de définition $D_f$ de $f$ et l’écrire sous forme d’une réunion d’intervalles.
2. Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$.
3. Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$.
4. En déduire le sens de variation de $f$.
5. Dresser le tableau de variation de $f$.
6. Déterminer les nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout $x\in D_f$ on a :

   $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-3}$

7. Démontrer que la droite $(D)$ d’équation $y=x-3$ est asymptote à $(C)$.
8. Etudier la position relative de $(C)$ et $(D)$.
9. Démontrer que le point $I(3\,;\,0)$ est un centre de symétrie de $(C)$.
10. Construire la droite $(D)$, puis la courbe $(C)$.

Exercice 1 : [5 points]

Nombres et calculs

On considère les nombres suivants :

$A=\left(-\dfrac{3}{2}:\dfrac{4}{5}-\dfrac{5}{7}\right)$ ; $B=\dfrac{35\times 10^{-3}\times 3\times 10^5}{21\times 10^{-1}}$ ; $C=\sqrt{\,1+\dfrac{\sqrt{7}}{4}\,}-\sqrt{\,1-\dfrac{\sqrt{7}}{4}\,}$

1. Calculer $A$ et donner le résultats sous forme de fraction irréductible.
2. Calculer $B$ et donner le résultat sous la forme décimale.
3. 1. Calculer $C^2$ et montrer que $C^2=\dfrac{9}{2}$.
   2. Donner la valeur exacte de $C$ sachant que $C$ est négative.

Exercice 2 : [5 points]

QCM

Le QCM comporte 5 questions, pour chaque question il y a qu’une seule réponse juste. Le candidat recopiera le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la bonne réponse.

1. On considère le nombre : $x=4,231313131\ldots$ :

   a) $x\in \mathbb{N}$

   b) $x\in \mathbb{Z}$

   c) $x\in \mathbb{Q}$

   d) $x\in \mathbb{D}$

2. Le discriminant de l’expression $\sqrt{2}x^2-x-\sqrt{2}$ est :

   a) $1$

   b) $9$

   c) $1+4\sqrt{2}$

   d) $2$

3. L’ensemble solution de l’équation $2x^2-x-6=0$ est :

   a) $\{49;-\dfrac{3}{2}\}$

   b) $\{-\dfrac{3}{2};2\}$

   c) $\left\{\dfrac{3}{2};-2\right\}$

   d) $\{2;49\}$

4. L’ensemble solution de l’inéquation $x^2-x-2\le 0$ est :

   a) $\{-1;2\}$

   b) $]-1;2[$

   c) $[-1;2]$

   d) $]-1;2]$

5. La forme factorisée de l’expression polynomiale $p(x)=2x^2-x-6$ est :

   a) $p(x)=(2x+3)(x-2)$

   b) $p(x)=2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)(x-2)$

   c) $p(x)=2\left(x+\dfrac{3}{2}\right)(x-2)$

   d) $p(x)=2\left(x+\dfrac{3}{2}\right)(x+2)$

PROBLEME : [10 points]

Organisation

Le problème comporte deux parties indépendantes A et B.

PARTIE A : [6,5 points]

Polynômes

On considère le polynôme $P$ défini par $P(x)=2x^3-5x^2+x+2$.

1. Calculer $P(2)$.
2. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tel qu’on ait : $P(x)=(x-2)(ax^2+bx+c)$.
3. On considère le polynôme $Q$ défini par $Q(x)=2x^2-x-1$.
   1. Déterminer la somme et le produit des racines de $Q$.
   2. Vérifier que $\alpha=1$ est une racine de $Q$.
   3. Sans explicitement résoudre $Q(x)=0$, déterminer l’autre racine de $Q$.
   4. En déduire une factorisation de $Q(x)$.
4. Résoudre alors dans $\mathbb{R}$ l’équation $P(x)=0$.
5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $P(x)>0$.

PARTIE B : [3,5 points]

Systèmes d’équations

1. 1. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système :

      $\begin{cases} a+b=4\\ ab=-5 \end{cases}$

   2. En déduire les solutions dans $\mathbb{R}^2$ du système :

      $\begin{cases} \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+2}=4\\[6pt] \dfrac{1}{(x+1)(y+2)}=-5 \end{cases}$

Problème d’âge

2. MOUNOUNA, élève en terminal $A_4$, est âgé de $19$ ans. Dans $5$ ans, son âge sera le triple de l’âge de son petit frère FIANA.

   Quel est l’âge de FIANA ?

Partie A : Évaluation des ressources (15 points)

Exercice 1 (5 points)

Lecture graphique et étude de fonction

Sur la figure ci-contre, $(C_f)$ est la courbe d’une fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ et $(T)$ est une asymptote à $(C_f)$.

1. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
2. Indiquer le sens de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
3. Déterminer une équation de l’asymptote $(T)$ à $(C_f)$.
4. On suppose que $f(x)=ax+b+e^x$, telle que $f(0)=0$ et $f(1)=e$.
   1. Calculer les réels $a$ et $b$.
   2. Soit $F$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=\dfrac12 x^2-x+e^x$. Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ qui prend la valeur $1$ en $0$.

Exercice 2 (5 points)

Tableau statistique et probabilités

Le personnel d’un lycée est réparti en trois catégories : le personnel enseignant, le personnel administratif et le personnel technique et d’appui. Parmi les $200$ membres du personnel de ce lycée, $120$ sont des hommes et $150$ sont des enseignants. Le nombre d’hommes enseignants est le double du nombre de femmes enseignantes.

1. Recopier et compléter le tableau suivant :

   	Hommes	Femmes	Total
   Personnel enseignant			150
   Personnel administratif		18
   Personnel technique et d’appui	8
   Total	120		200

2. On choisit un personnel au hasard. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
   1. Le personnel choisi est un personnel non enseignant.
   2. Le personnel choisi est une femme enseignante.
   3. Le personnel choisi est une femme.

Exercice 3 (5 points)

Statistiques et modélisation

Le tableau suivant donne la population $X$ (en milliers) de six arrondissements d’un département d’une région du Cameroun et le nombre $Y$ de lycées de chacun d’eux.

Exploitation statistique

1. Représenter le nuage de points associé à cette série statistique dans un repère orthogonal. On prendra $1\text{ cm}$ pour $20\ 000$ individus en abscisses et $1\text{ cm}$ pour $2$ lycées en ordonnées.
2. Déterminer les coordonnées de $G$, point moyen du nuage de points de cette série.
3. Montrer qu’une équation cartésienne de la droite de Mayer est : $y=0,12x-8,68$.
4. On admet que le nombre de lycées d’un arrondissement de ce département suit l’évolution de la population selon le tableau ci-dessus. Déterminer alors le nombre de lycées d’un arrondissement de $239\ 000$ habitants.

Partie B : Évaluation des compétences (5 points)

Situation

Douba dispose d’un champ de $6\ 100\ \text{m}^2$ où il cultive du piment, du maïs et du soja. Ce champ est représenté par la figure ci-dessous où $ABCD$ est un rectangle et $EFGD$ un carré. Les longueurs connues de ce champ sont $CE=70\ \text{m}$ et $BC=30\ \text{m}$. Douba désire entourer ce champ par du fil barbelé pour protéger ses cultures contre les animaux.

Pour les travaux dans son champ, Douba commande $8$ machettes et $2$ pioches pour un montant de $24\ 000$ FCFA. Très hésitant, il demande au quincaillier d’ajouter $3$ pioches et d’enlever $2$ machettes, le montant de la commande est alors de $32\ 000$ FCFA. N’ayant pas suffisamment d’argent, Douba achète finalement $4$ machettes et $5$ pioches.

Pendant les récoltes, Douba négocie ses ventes auprès d’un grossiste où chaque type de denrée alimentaire est vendu dans un même type de sac au même prix unitaire. Il effectue une première vente de $2$ sacs de piment et de $3$ sacs de maïs à $28\ 500$ FCFA, une deuxième vente de $8$ sacs de maïs et d’un sac de soja à $61\ 000$ FCFA, une troisième vente de $5$ sacs de soja et $7$ sacs de piment à $177\ 500$ FCFA. Au moment de la quatrième vente, Douba est indisponible et sa femme voudrait connaître le prix d’un sac de chaque denrée alimentaire avant de les livrer au grossiste.

Tâches

1. Déterminer la longueur de fil barbelé nécessaire pour entourer le champ de Douba.
2. Déterminer le montant de la dépense à la quincaillerie.
3. Déterminer le prix de vente de chaque type de denrée alimentaire.