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L’épreuve de mathématiques du BACCALAURÉAT A 2017
Exercice 1 :5 points
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation: $x^2-x-6\leq 0$ . 1,5 pt
2. En déduire la résolution dans $\mathbb{R}$ de chacune des inéquations ci-dessous :
a) $e^{2x}-e^{x}-6\leq 0$ . 1 pt
b) $\ln x+\ln(x-2)\leq \ln(6-x)$ 1 pt
3. Choisir la bonne réponse parmi les 4 qui sont proposées. Un poulailler compte 20 poulets parmi au hasard 3 poulets de ce poulailler. La probabilité d’avoir au moins un poulet atteint de la grippe aviaire est égale à : 1,5 pt
a) $0,25$ ; b) $\dfrac{C_{6}^{3}}{C_{24}^{3}}$ ; c) $\dfrac{C_{18}^{3}}{C_{24}^{3}}$ ; d) $1-\dfrac{C_{18}^{3}}{C_{24}^{3}}$
Exercice 2 :5 points
On a noté le montant en millions de francs CFA du bénéfice d’une entreprise pendant six années consécutives. Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \begin{array}{c} \text{Numéro}\\ \text{de}\\ \text{l’année} \end{array} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline \begin{array}{c} \text{Bénéfice}\\ y_i \end{array} & 50 & 75 & 120 & 170 & 200 & 240\\ \hline \end{array}$
1. Représenter graphiquement le nuage de points associé à cette série. (Unités: 1 cm en abscisses pour une année et 1 cm en ordonnées pour 50 millions). 1 pt
2. Déterminer le point moyen de cette série. 1 pt
3. Déterminer une équation de la droite de Mayer de la série statistique double $(x_i, y_i)$ . 1,5 pt
4. En supposant que l’équation du bénéfice n’est pas modifiée avec le temps, estimer ce bénéfice à la 8e année. 1,5 pt
Problème :10 points
Il comporte deux parties indépendantes $A$ et $B$
Partie A :5,5 points
Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système : $\begin{cases} 2x+y+z=-1 \\ y-z=3 \\ x-z=0 \end{cases}$ 1 pt
1. Soit $(C_f)$ la courbe représentative ci-dessous d’une fonction $f$ telle que :
$f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}$ où $a$ , $b$ et $c$ sont des réels
a) Déterminer en utilisant des intervalles l’ensemble de définition $D_f$ de $f$ . 0,5 pt
b) Déterminer à l’aide du graphique les réels $f(0)$ , $f(2)$ et $f'(0)$ où $f’$ est la dérivée de $f$ . 1 pt
c) Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ , $c$ et $x$ . 1 pt
d) Exprimer $f(0)$ , $f(2)$ et $f'(0)$ en fonction des réels $a$ , $b$ et $c$ . 1 pt
e) Déduire de la question 1 ) les réels $a$ , $b$ et $c$ . 1 pt
Partie B :4,5 points
Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $g(x)=\dfrac{-x^2+3x-3}{x-1}$ . $(C_g)$ est sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ .
1. Calculer les limites de $g$ aux bornes de son variation. 1 pt
2. Étudier les variations de $g$ et dresser son tableau variation. 1 pt
3. Déterminer les réels $a$ , $b$ et $c$ tels que pour tout réel $x$ distinct de $1$ , $g(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}$ 1 pt
4. Montrer que la droite $(\Delta)$ d’équation $y=-x+2$ est asymptote oblique à $(C_g)$ . 0,5 pt
5. Soit la fonction $G$ définie sur $]-\infty;1[$ par :
$G(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+2x-\ln(1-x)+6$ .
a) Calculer $g'(x)$ . 0,5 pt
b) En déduire les primitives de la fonction $g$ sur $]-\infty;1[$ . 0,5 pt
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Épreuve de mathématiques — BACCALAURÉAT A 2017
Conclusion du BACCALAURÉAT A 2017
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