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L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE D 2019
Exercice 1 :5 points
Les âges des 40 électeurs d’un bureau de vote sont compris entre 20 et 50 ans. On les regroupe en classes d’amplitude 5.
Les effectifs des électeurs des tranches d’âges $[20;35[$ et $[35;50[$ sont respectivement 21 et 19.
Les classes modales de cette série sont $[30;35[$ et $[35;40[$ et ont pour effectifs respectifs 10.
Les 3 électeurs de la classe $[20;25[$ et les 2 électeurs de la classe $[45;50[$ sont les seules femmes de ce bureau de vote.
1) Dresser le tableau des effectifs de cette série regroupée en classes. 1,5 pts
2) Construire le polygone des effectifs cumulés décroissants. (1cm pour 5 unités). 1,5 pts
3) Déterminer graphiquement et par calculs la médiane de cette série. 1 pt
4) Les 4 premiers votants de ce bureau seront réunis pour former un comité de surveillance.
a) Déterminer le nombre de comités possibles 0,5 pt
b) Déterminer le nombre de comités comportant 2 femmes. 0,5 pt
Exercice 2 :4 points
$ABC$ est un triangle tel que $AB = 4$, $BC = 7$ et $AC = 9$.
1) a) Montrer que $BC^2 = AB^2 – 2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} + AC^2$. 0,75 pt
b) En déduire la valeur de $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$. 0,5 pt
2) Calculer la valeur de $\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$. 0,75 pt
3) Soit $\alpha$ un réel de l’intervalle $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ tel que $\cos\alpha=\dfrac{2}{3}$.
a) Calculer $\cos 3\alpha$. 1 pt
b) Résoudre dans $[0,2\pi[$ l’équation $\cos 3x=\dfrac{2}{3}$. 1 pt
PROBLEME11 points
Le problème comporte trois parties qui peuvent être traitées indépendamment.
PARTIE A :6 points
On considère la fonction numérique $f$ d’une variable réelle $x$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous :
On désigne par $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$
1) Déterminer l’ensemble de définition de $f$. 0,25 pt
2) Déterminer le signe de $f(x)$ pour $x\in]-1;+\infty[$. 0,25 pt
3) Déterminer une asymptote à $(C_f)$. 0,25 pt
4) Déterminer une équation de la tangente à $(C_f)$ au point d’abscisse $-2$. 0,25 pt
5) On suppose que $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}$.
a) Montrer que $(a,b,c)$ est solution du système ci-dessous : 0,75 pt
$\left\{\begin{array}{l} y+z=-2\\ x-z=0\\ 2x-y+z=-2 \end{array}\right.\quad \text{d’inconnue }(x,y,z)$
b) En déduire $a$, $b$ et $c$. 1 pt
6) On suppose que $f(x)=\dfrac{-x^2-2x-2}{x+1}$.
a) Montrer que la droite d’équation $y=-x-1$ est une asymptote à $(C_f)$ en $-\infty$ et $+\infty$. 1 pt
b) Montrer que le point $\Omega(-1,0)$ est un centre de symétrie de $(C_f)$. 1 pt
c) Construire $(C_f)$ dans le repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. 1 pt
PARTIE B :2 points
On considère les points $A(0,3)$ ; $B(-2,-5)$ et $C(3,0)$.
1) Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans un repère orthonormé d’unité 1 cm 0,75 pt
2) Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? 0,5 pt
3) Soit $\Gamma$ le cercle circonscrit au triangle $ABC$. Donner une équation cartésienne de $\Gamma$ et le construire. 0,75 pt
PARTIE C :3 points
On considère la suite $u$ définie par :
$\left\{\begin{array}{l} u_1=2\\ u_{n+1}=\dfrac{3u_n-1}{u_n+1},\ \forall n\in\mathbb{N}^* \end{array}\right.\ \text{ et on pose } v_n=\dfrac{1}{u_n-1}$
1) Montrer $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{2}$. Préciser son premier terme. 1,5 pt
2) Exprimer $(v_n)$, puis $(u_n)$ en fonction de $n$. 1 pt
3) Exprimer en fonction de $n$ la somme $S_n=v_1+v_2+\cdots+v_n$. 0,5 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE D 2019
Conclusion du PROBATOIRE D 2019
D’abord, PROBATOIRE D 2019 te montre comment enchaîner statistiques, géométrie et trigonométrie sans te perdre. Ensuite, prends le temps de relire chaque question et de soigner la présentation. Puis, garde Ndolomath comme repère pour réviser régulièrement et progresser sereinement. Enfin, PROBATOIRE D 2019 te rappelle que la réussite vient surtout de l’entraînement.
