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L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE D 2018
Exercice 14 points
1. Soit $(U_n)$ une suite arithmétique de premier terme $U_k$ et de raison $r$, $k$ entier naturel.
a) Soit $n$ un entier naturel, $n \ge k$. Exprimer $U_n$ en fonction de $n$, $U_k$ et $r$. 0,75 pt
b) Exprimer $S_n = U_k + U_{k+1} + \cdots + U_n$, $n \ge k$, en fonction de $n$, $k$ et $r$. 0,75 pt
2. a) Le $5^{\text{ième}}$ terme d’une suite arithmétique est $3$ et le $10^{\text{ième}}$ est $13$. Quelle est la raison de cette suite ? 0,75 pt
b) La somme des $5$ premiers termes d’une suite arithmétique est $30$. Quelle est la raison de cette suite si le premier terme est $2$ ? 0,75 pt
3. À l’occasion de son anniversaire, Mme Wedze a réuni tous ses petits-fils. Ils ont tous des âges différents. Elle décide de leur partager entièrement un paquet de bonbons en procédant comme suit : le plus jeune en âge reçoit $2$ bonbons, le suivant en âge reçoit $4$ bonbons, ainsi de suite en ajoutant $2$ bonbons de plus que pour le précédent. L’ainé des petits-fils lui fait remarquer qu’en donnant $6$ bonbons à chacun cela fera l’affaire et le paquet sera entièrement distribué.
a) Combien Mme Wedze a-t-elle de petits-fils ? 0,75 pt
b) Combien de bonbons contenait le paquet ? 0,25 pt
Exercice 25 points
Le tableau suivant donne la répartition des tailles (en centimètres) des élèves d’une classe de $1^{\text{ère}}$ TI.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Taille} & [145;155[ & [155;160[ & [160;165[ & [165;170[ & [170;190[ \\ \hline \text{Effectifs} & 5 & 10 & 15 & 5 & 5 \\ \hline \end{array}$
1. Tracer, dans un repère convenablement choisi, l’histogramme de cette série. 1,5 pt
2. a) Tracer le polygone des effectifs cumulés croissants de cette série. Pour cela, on prendra en abscisse $1$ cm pour $5$ cm et en ordonnée $1$ cm pour $5$ individus. 1,25 pt
b) Déterminer graphiquement et par calcul, au centimètre près, la taille $m_e$ médiane de ces élèves. On laissera apparent les traits utilisés pour la lecture graphique. 1,5 pt
3. Calculer la moyenne $m$ et la variance $v$ de cette série. 1,25 pt
Problème11 points
Tous les dessins et graphiques de ce problème se feront sur un seul et unique graphique.
Le plan est rapporté au repère orthonormé $(O, i, j)$. On prendra $1$ cm pour graduation sur les axes.
Partie A
1. Soit $A$ un point du plan. On note $G$ le milieu du segment $[OA]$.
a) Montrer que pour tout point $M$ du plan, $OM^2 + AM^2 = 2GM^2 + \dfrac{1}{2}OA^2$. 0,75 pt
b) En déduire la nature et les éléments caractéristique de l’ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ du plan tels que $OM^2 + AM^2 = OA^2$. 0,75 pt
2. Soit $(\Gamma_2)$ l’ensemble des points $M(x,y)$ tels que $x^2 + y^2 – x – 4y = 0$.
a) Montrer que $(\Gamma_2)$ est un cercle dont on précisera le centre $G$ et le rayon $r$. 0,75 pt
b) Vérifier que le point $A(2,4)$ appartient à $(\Gamma_2)$ et donner une équation de la tangente $(T)$ à $(\Gamma_2)$ en ce point. 0,75 pt
c) Tracer $(\Gamma_2)$ et $(T)$. 0,5 pt
Partie B
Le plan est rapporté au repère orthonormé $(O, i, j)$.
Soit $f$ la fonction définie sur $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$. On note $(C_f)$ la courbe représentative de $f$.
1. a) Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D$. 1 pt
b) En déduire une asymptote à la courbe $(C_f)$. 0,25 pt
c) Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout $x$ de $D$, $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}$. 0,75 pt
d) Montrer que la droite $(\Delta)$ : $y=x+1$ est asymptote à la courbe $(C_f)$. 0,25 pt
2. a) Déterminer la fonction dérivée de $f$ et dresser le tableau de variation de $f$. 0,75 pt
b) Existe-t-il des points de $(C_f)$ où la tangente à $(C_f)$ est parallèle à la droite $(\Delta)$ ? Justifier votre réponse. 0,5 pt
3. Tracer la courbe $(C_f)$. 0,75 pt
Pour ce qui suit, on pourra s’inspirer de la courbe $(C_f)$. Soit $m$ un paramètre réel. On considère l’équation $(E_m)$ : $x^2 – mx + m = 0$ et on note $\Delta_m$ son discriminant.
4. a) Calculer $\Delta_m$. 0,25 pt
b) Pour quelles valeurs de $m$ l’équation $(E_m)$ admet-elle une solution unique ? 0,5 pt
c) Pour quelles valeurs de $m$ l’équation $(E_m)$ admet-elle deux solutions distinctes ? 0,5 pt
5. On suppose que l’équation $(E_m)$ admet deux solutions distinctes $x_1$ et $x_2$.
a) Exprimer, en fonction de $m$, la somme $S_m$ et le produit $P_m$ de ces solutions. 0,5 pt
b) Peut-on trouver $m$ tel que les solutions $x_1$ et $x_2$ soient toutes négatives ? 0,5 pt
c) Pour quelles valeurs de $m$ les solutions $x_1$ et $x_2$ sont-elles de signes contraires ? 0,5 pt
d) Pour quelles valeurs de $m$ les solutions $x_1$ et $x_2$ sont-elles toutes positives ? 0,5 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE D 2018
Conclusion du PROBATOIRE D 2018
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