D’abord, PROBATOIRE D 2013 te permet de revoir l’essentiel avant l’examen sur Ndolomath. Ensuite, PROBATOIRE D 2013 t’entraîne avec des questions progressives, du calcul aux raisonnements. Puis, PROBATOIRE D 2013 t’aide à mieux gérer le temps grâce à un barème clair. Enfin, PROBATOIRE D 2013 s’inscrit dans le cadre du probatoire, voir la définition de l’examen.
L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE D 2013
Exercice 14 points
Les êtres humains sont répartis suivant la composition du sang, en quatre groupes: $O$, $A$, $B$ et $AB$.
Dans une assemblée de dix donneurs de sang, quatre personnes appartiennent au groupe $O$, trois personnes au groupe $A$, deux personnes au groupe $B$ et une personne au groupe $AB$.
On choisit au hasard et simultanément trois personnes de cette assemblée. Déterminer :
1. Le nombre de choix possibles. 1 pt
2. Le nombre de choix où les trois personnes appartiennent au même groupe sanguin. 1,5 pt
3. Le nombre de choix où deux personnes au moins appartiennent au même groupe sanguin. 1,5 pt
Exercice 25 points
$(u_n)$ est la suite numérique définie par : $u_0=1$ et $u_{n+1}=-\frac{1}{2}u_n+3$.
1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles. 1 pt
2. (a) Déterminer la fonction $h$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=h(u_n)$. 0,5 pt
(b) Représenter dans le plan rapporté à un repère orthonormé, les cinq premiers termes de $(u_n)$ sur l’axe des abscisses. 1 pt
3. (a) Prouver que la suite numérique $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-2$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme. 1,5 pt
(b) Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$. 1 pt
Problème11 points
Partie A8 points
Le plan est muni d’un repère $(O,i,j)$.
On considère la fonction rationnelle $f$ définie par $f(x)=x+1+\frac{1}{x}$ et $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan.
1. (a) Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations. 3 pts
(b) Préciser les asymptotes à la courbe $(C_f)$ de $f$. 0,5 pt
(c) Démontrer que le point $I(0;1)$ est le centre de symétrie de la courbe $(C_f)$. 1 pt
2. Construire la courbe $(C_f)$. 1,5 pt
3. Soit $g$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par $g(x)=f(|x|)$ et $(C_g)$ sa courbe représentative. 0,5 pt
(a) Montrer que la fonction $g$ est paire. 0,5 pt
(b) Donner un programme de construction de la courbe $(C_g)$ à partir de la courbe $(C_f)$. 0,5 pt
(c) Tracer alors $(C_g)$ dans le même repère que $(C_f)$. 0,5 pt
Partie B3 points
On désigne par $A(1;3)$, $B(-1;3)$ et $C(-1;-1)$ trois points dans le repère $(O,i,j)$.
1. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? 0,5 pt
2. Calculer $\cos(ACB)$ et $\cos(BAC)$. En déduire les valeurs approchées en degré de $ACB$ et $BAC$. 2 pts
3. Trouver l’ensemble $(E)$ des points $M$ du plan tels que : $MA^2+MB^2=20$. 0,5 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE D 2013
Conclusion du PROBATOIRE D 2013
D’abord, prenez le temps de relire chaque consigne et de repérer les points faciles. Ensuite, entraînez-vous à poser clairement vos calculs et vos justifications. Puis, gardez votre calme et avancez question par question, sans vous précipiter. Enfin, Ndolomath vous accompagne pour mieux vous préparer au PROBATOIRE D 2013.
