D’abord, l’épreuve PROBATOIRE D 2008 te guide pas à pas sur Ndolomath pour mieux t’organiser. Ensuite, le PROBATOIRE D 2008 rappelle les notions clés avant l’examen, avec une définition de l’examen utile. Puis, le PROBATOIRE D 2008 te permet de t’entraîner sur des exercices proches du jour J. Enfin, le PROBATOIRE D 2008 t’aide à réviser sereinement en identifiant ce qu’on attend de toi.
L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE D 2008
Exercice 15 points
Soient $(U_n)$ et $(V_n)$ deux suites numériques définies par : $\\begin{cases}U_0=20000\\\\U_{n+1}=1,05\\,U_n+1000\\end{cases}$, $n\\in\\mathbb{N}^*$ et $V_n=U_n+20000$.
1. Montrer que $V_n$ est une suite géométrique de raison $1,05$. 1 pt
2. Exprimer $V_n$, puis $U_n$ en fonction de $n$. 2 pts
3. Le $1^{er}$ janvier 2006, la population d’une ville est de 20000 habitants. Cette population augmente de $5\\%$ chaque année par les naissances et reçoit aussi par an 1000 immigrants suite à l’exode rurale.
Dans la série des deux questions qui suivent, une seule des quatre réponses proposées est juste. Choisir pour chacune des questions, et sans justifier, le numéro de la réponse juste.
a. La population de cette ville au $1^{er}$ janvier 2014 est :
i) $V_{14}$ ii) $U_{14}+6$ iii) $U_8$ iv) $U_{14}$ 1 pt
b. Sachant que la population scolaire de la ville représente les $20\\%$ des habitants et qu’il faut un enseignant pour 40 élèves, le nombre d’enseignants dans la ville au $1^{er}$ janvier 2014 est :
i) $\\dfrac{0,2\\,V_{14}}{40}$ ii) $\\dfrac{0,2\\,(U_{14}+6)}{40}$ iii) $5\\times10^{-3}\\,U_8$ iv) $\\dfrac{1}{5}\\,U_{14}$ 1 pt
Exercice 204 points
1. Montrer que $(1+\\sqrt{2})^2=3+2\\sqrt{2}$. 0,25 pt
2. Résoudre dans $\\mathbb{R}$ l’équation : $2t^2-(1+\\sqrt{2})t-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}=0$. 1 pt
3. $(E)$ est l’équation $2\\cos^2 x-(1+\\sqrt{2})\\cos x-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}=0$. Trouver les solutions de $(E)$ dans l’intervalle $[0,2\\pi[$. 1,5 pt
4. Placer les points images de toutes les solutions de $(E)$ sur un cercle trigonométrique. 1,25 pt
Problème11 points
PARTIE A6,5 points
On considère la fonction $g$ définie par : $g(x)=\\dfrac{x^2+2x+1}{x-1}$.
$C_g$ est sa courbe représentative dans le repère orthonormé $(O,i,j)$.
1. Étudier le sens de variation de $g$. 1,5 pt
2. Étudier les limites de $g$ en $+\\infty$, $-\\infty$, et $1$. 1 pt
3. Dresser le tableau de variation de $g$. 0,5 pt
4. Montrer qu’il existe 3 réels $a$, $b$ et $c$ tels que : $g(x)=ax+b+\\dfrac{c}{x-1}$. 0,75 pt
5. En déduire que $(C_g)$ possède deux asymptotes dont on donnera les équations cartésiennes dans le repère $(O,i,j)$. 0,75 pt
6. Tracer $(C_g)$ dans $(O,i,j)$. On prendra 1 cm comme unité sur les axes. 1 pt
7. Montrer que le point $I(1,3)$ est centre de symétrie de $(C_g)$. 1 pt
Partie B4,5 points
Le plan est muni du repère orthonormé $(O,i,j)$. Soient $E(1;-3)$ et $F(1;3)$ deux points du plan.
1. Déterminer les coordonnées du point $J$ tel que $E$ soit le symétrique de $F$ par rapport à $J$. 0,5 pt
2. a. Montrer que pour tout point $M$ du plan, on a : $\\dfrac{EF^2}{4}=ME\\cdot MF-MJ^2$. 0,75 pt
b. En déduire la nature de $(\\Gamma)$, ensemble des points du plan tels que : $ME\\cdot MF=7$. 0,75 pt
c. Construire $(\\Gamma)$ dans $(O,i,j)$. 0,5 pt
3. Donner une équation cartésienne de $(\\Gamma)$ dans le repère $(O,i,j)$. 0,5 pt
4. $(\\Gamma)$ rencontre l’axe $(ox)$ en deux points $A$ et $B$, la parallèle à $(oy)$ passant par $J$ en deux points $C$ et $D$.
a. Donner les coordonnées des points $A$, $B$, $C$ et $D$. 1 pt
b. Quelle est la nature exacte du quadrilatère $ABCD$. 0,75 pt
c. Calculer son aire. 0,25 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE D 2008
Conclusion du PROBATOIRE D 2008
D’abord, relis calmement les consignes et avance étape par étape, sans te précipiter. Ensuite, PROBATOIRE D 2008 te montre les thèmes à maîtriser pour le jour J. Puis, entraîne-toi à présenter tes calculs proprement et à justifier quand c’est demandé. Enfin, PROBATOIRE D 2008 reste plus facile avec Ndolomath et une révision régulière.
