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L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE D 1999
Exercice 104 points
1. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système : $\left\{\begin{array}{l}x+2y^2+3z^3=7\\2x+3y^2+4z^3=11\\x-y^2-z^3=0\end{array}\right.$ 2 pts
2. Déterminer l’ensemble $A$ des entiers naturels $n$ tels que $\left\{\begin{array}{l}n>5\\n^2-12n+32<0\end{array}\right.$ 2 pts
Exercice 2 :05 points
$X$ est une variable aléatoire prenant pour valeurs $-2,-1,0,1$ et $2$.
1. Recopier et compléter le tableau suivant pour qu’il représente la loi de probabilité de $X$. 2 pts
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline k & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\ \hline P(X=k) & 0{,}25 & 0{,}30 & 0{,}10 & 0{,}20 & \\ \hline \end{array} $$
2. Déterminer la fonction de répartition de $X$ et en faire une représentation graphique. 2 pts
Problème :11 points
Partie A4,5 points
$f$ est une fonction impaire, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant les hypothèses suivantes :
– La limite en $-\infty$ de $f$ est $+\infty$ ;
– $f(2)=-2$
– Le nombre dérivé de $f$ en $-1$ est égal à $-\frac{5}{4}$
– Le nombre dérivé de $f$ en $-2$ est égal à $0$.
Le tableau incomplet des signes de la fonction dérivée de $f$ est le suivant :
1. Recopier et compléter ce tableau des signes en mettant le signe qui convient dans l’espace en pointillés. 1 pt
2. Déterminer $f'(1)$, $f'(2)$, $f'(0)$ et la limite de $f$ en $+\infty$. 1 pt
3. $f$ admet-elle un extremum relatif en $-2$ ? En $0$ ? Justifier vos réponses. 1 pt
4. On suppose que, pour tout nombre réel $x$, $f(x)=ax^3+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des coefficients réels. Déterminer $a$, $b$ et $c$. 1,5 pts
Partie B3,5 points
On considère la fonction $g$ définie par $g(x)=\frac{1}{4}x^3-2x$. $(C)$ est la courbe représentative de $g$ dans un repère orthonormé du plan.
1. Étudier les variations de $g$ et tracer $(C)$. 2,5 pts
2. Déduire du tracer de $(C)$ le tracé de la courbe de la fonction $h$ définie par : $h(x)=|g(x)|$. 1 pt
Partie C3 points
$E$ est un plan vectoriel réel euclidien orienté dont une base orthonormée directe est $(\vec{i},\vec{j})$.
On considère le vecteur $\vec{u}=-\frac{1}{2}\vec{i}+\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{j}$
1. Calculer $\|\vec{u}\|$. 0,5 pt
2. Soit $\theta$ l’angle $(\vec{i},\vec{u})$. Calculer $\cos\theta$ et $\sin\theta$ et en déduire la mesure en radians de l’angle $\theta$ dans l’intervalle $[0,\pi]$. 1,5 pt
3. On appelle $g$ la rotation vectorielle de $E$ d’angle $\theta$. Déterminer la matrice de $g$ dans la base $(\vec{i},\vec{j})$. 1 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE D 1999
Conclusion du PROBATOIRE D 1999
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