1ère D : séquence 5 en maths

EXERCICE 01 : (05 POINTS)

Jules a prélevé les poids d’une douzaine d’enfants internés dans un hôpital pédiatrique de la ville de Yaoundé. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant :

1. Déterminer le pourcentage de malade dont le poids est supérieur à 11Kg. 0,5pt
2. Calculer pour cette série statistique, la moyenne et l’écart-type. 1,25pt
3. a) Construire le diagramme des effectifs cumulés croissants. 0,75pt
   b) Déterminer par calcul la médiane de cette série statistique. 0,75pt
4. Trois des enfants sont choisi pour une cérémonie de remise des dons par une autorité de la ville.

   a) Combien y a-t-il de résultats comportant :

   1. Deux enfants ayant moins de 13 Kg ? 0,5pt
   2. Au plus deux enfants ayant au moins 13 Kg ? 0,5pt

   b) Sachant que l’un des enfants devra tenir le discours de bienvenue, l’autre le bouquet de fleurs et le troisième un parapluie. De combien de façon peut-on faire cette distribution ? 0,75pt

EXERCICE 03 : (04 Points)

A- Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AC=\sqrt{2+\sqrt{2}}$ et $BC=2$. On désigne par $\theta$ la mesure de l’angle $\widehat{ABC}$.

1. Calculer $AB$. 0,5pt
2. Calculer $\cos\theta$ et $\cos(2\theta)$. 1pt
3. En déduire la valeur de $\theta$. 0,5pt

B- Soit $x$ un nombre réel tel que $\tan(2x)$ existe.

1. Montrer que $\tan(2x)=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2 x}$. 0,75pt
2. Démontrer que $\tan\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$ est solution de l’équation : $x^2+2x-1=0$. 0,75pt
3. En déduire la valeur exacte de $\tan\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$. 0,5pt

PROBLEME : (11 POINTS)

Partie A /

$ABC$ est un triangle de centre $O$ et de sens direct, dont le côté a une longueur de 3 centimètres. $I$ est le milieu de $[AB]$.

1. Justifier que $O=\mathrm{bar}((I,2)\;;\;(C,1))$. 0,75pt
2. a) Calculer $OI$. 0,5pt
   b) Déterminer et construire l’ensemble $(C)$ des points $M$ du plan tels que $\left\Vert 2\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{MC}\right\Vert=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$. 0,75pt
3. Soit $r$ la rotation de centre $O$ qui transforme $B$ en $A$.
   a) Déterminer l’angle de $r$. 0,5pt

   b) Déterminer l’image de $(C)$ par la rotation $r$. 0,5pt

Partie B /

On considère la fonction $f$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous et la suite $(u_n)$ définie par $\begin{cases} u_0=-6\\ 2u_{n+1}-u_n=0 \end{cases}$.

A- On suppose que $f(x)=ax+\dfrac{b}{x-1}$ et on désigne par $(C_f)$

1. Écrire une équation de la tangente à $(C_f)$ au point d’abscisse $1+\sqrt{2}$. 1pt
2. Montrer que $a=\dfrac{1}{2}$ et $b=1$. 0,5pt
3. Calculer $f(1-\sqrt{2})$. 0,5pt
4. Justifier que $(C_f)$ admet une asymptote verticale $(D)$ et une asymptote oblique $(D')$ dont on précisera les équations. 1pt
5. Étudier la position de $(C_f)$ par rapport à la droite $(D')$. 0,5pt
6. Construire $(C_f)$ dans un repère orthonormé $(O,I,J)$, ainsi que ses asymptotes $(D)$ et $(D')$. 1,5pt

B-

1. Utiliser les droites d’équations $y=\dfrac{1}{2}x$ et $y=x$ pour construire dans le repère précédent les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$. 1pt
2. Faire une conjecture sur le sens de variation et la convergence de la suite $(u_n)$. 0,5pt
3. Donner la nature de la suite $(u_n)$, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$. 0,75pt
4. On pose $v_n=u_n+2$ et $S_n=v_0+v_1+\cdots+v_n$.
   a) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et en calculer sa limite. 0,75pt

   b) Exprimer $S_n$ en fonction de $n$. 0,5pt

EXERCICE 01 : (05 points)

Alain à prélevé les poids d’une douzaine d’enfants internés dans un hôpital pédiatrique de la ville de Yaoundé. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant :

1. Déterminer le pourcentage de malade dont le poids est supérieur à 11Kg. 0,5pt
2. Calculer pour cette série statistique, la moyenne et l’écart-type. 1,25pt
   1. Construire le diagramme des effectifs cumulés croissants. 0,75pt
   2. Déterminer par calcul la médiane de cette série statistique. 0,75pt
3. Trois des enfants sont choisis pour une cérémonie de remise de dons par une autorité de la ville.
   1. Combien y a-t-il de résultats comportant :
      1. Deux enfants ayant moins de 13 Kg ? 0,5pt
      2. Au plus deux enfants ayant au moins 13 Kg ? 0,5pt
   2. Sachant que l’un des enfants devra tenir le discours de bienvenue, l’autre le bouquet de fleurs et le troisième un parapluie. De combien de façon peut-on faire cette distribution ? 0,75pt

EXERCICE 02 : (04 Points)

A- Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AC=\sqrt{2+\sqrt{2}}$ et $BC=2$. On désigne par $\theta$ la mesure de l’angle $\widehat{ABC}$.

1. Calculer $AB$. 0,5pt
2. Calculer $\cos\theta$ et $\cos(2\theta)$. 1pt
3. En déduire la valeur de $\theta$. 0,5pt

B- Soit $x$ un nombre réel tel que $\tan(2x)$ existe.

1. Montrer que $\tan(2x)=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2 x}$. 0,75pt
2. Démontrer que $\tan\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$ est solution de l’équation : $x^2+2x-1=0$. 0,75pt
3. En déduire la valeur exacte de $\tan\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)$. 0,5pt

PROBLEME : (11 points)

Partie A

$ABC$ est un triangle de centre $O$ et de sens direct, dont le côté a une longueur de 3 centimètres. $I$ est le milieu de $[AB]$.

1. Justifier que $O=\mathrm{bar}\,((I,2)\;;\;(C,1))$. 0,75pt
2. a) Calculer $OI$. 0,5pt
   b) Déterminer et construire l’ensemble $(C)$ des points $M$ du plan tels que : $\left\Vert 2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MC}\right\Vert=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$. 0,75pt
3. Soit $r$ la rotation de centre $O$ qui transforme $B$ en $A$.
   a) Déterminer l’angle de $r$. 0,5pt

   b) Déterminer l’image de $(C)$ par la rotation $r$. 0,5pt

Partie B

On considère la fonction $f$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous et la suite $(U_n)$ définie par $\begin{cases} U_0=-6\\ 2U_{n+1}-U_n=0 \end{cases}$.

I-

On suppose que $f(x)=ax+\dfrac{b}{x+1}$ et on désigne par $(C_f)$

1. Écrire une équation de la tangente à $(C_f)$ au point d’abscisse $1+2\sqrt{2}$. 1pt
2. Montrer que $a=\dfrac{1}{2}$ et $b=1$. 0,5pt
3. Calculer $f(1-2\sqrt{2})$. 0,5pt
4. Justifier que $(C_f)$ admet une asymptote verticale $(D)$ et une asymptote oblique $(D')$ dont on précisera les équations. 1pt
5. Étudier la position de $(C_f)$ par rapport à la droite $(D')$. 0,5pt
6. Construire $(C_f)$ dans un repère orthonormé $(O,I,J)$, ainsi que ses asymptotes $(D)$ et $(D')$. 1,5pt

II-

1. Utiliser les droites d’équations $y=\dfrac{1}{2}x$ et $y=x$ pour construire dans le repère précédent les 4 premiers termes de la suite $(U_n)$. 1pt
2. Faire une conjecture sur le sens de variation et la convergence de la suite $(U_n)$. 0,5pt
3. Donner la nature de la suite $(U_n)$, puis exprimer $U_n$ en fonction de $n$. 0,75pt
4. On pose $V_n=U_n+2$ et $S_n=V_0+V_1+\cdots+V_n$.
   a) Exprimer $V_n$ en fonction de $n$ et en calculer sa limite. 0,75pt

   b) Exprimer $S_n$ en fonction de $n$. 0,5pt

EXERCICE 1 6 points

I- Une machine fabrique des tiges métalliques. On contrôle le fonctionnement de cette machine en prélevant 100 tiges au hasard et en mesurant leurs longueurs en millimètres. Les résultats de ces mesures sont consignés dans le tableau suivant :

1. Dresser le tableau des effectifs cumulés croissants et décroissants. 1,5pt
2. Construire le diagramme des effectifs cumulés croissants et décroissants. 1,5pt
3. Calculer la médiane de cette série statistique. 1pt

II-

Une urne contient six boules blanches, quatre boules vertes et deux boules rouges toutes indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise trois boules de l’urne.

1. Déterminer le nombre de tirages possibles. 0,5pt
2. Déterminer le nombre de tirages où l’on a :
   1. 3 boules de même couleur. 0,5pt
   2. 2 boules blanches. 0,5pt
   3. 3 boules différentes. 0,5pt

EXERCICE 2 4 points

Soit $(U_n)$ la suite numérique définie par $\begin{cases} U_0=1\\ U_{n+1}=\dfrac{3}{4}U_n+\dfrac{5}{4} \end{cases}$.

On considère le plan rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1. Représenter les cinq (05) premiers termes de cette suite sur l’axe des abscisses. 1pt
2. Faire une conjecture sur le sens de variation de cette suite $(U_n)$. 0,25pt
3. Soit la suite $(V_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $V_n=U_n-5$.
   1. Montrer que la suite $(V_n)$ est géométrique et en préciser la raison $q$ et le premier terme $V_0$. 0,75pt
   2. Exprimer $V_n$ puis $U_n$ en fonction de $n$. 0,5pt
4. On pose $S_n=U_0+U_1+\cdots+U_n$ et $T_n=V_0+V_1+\cdots+V_n$.
   1. Exprimer $T_n$ en fonction de $n$ puis exprimer $S_n$ en fonction de $T_n$. 1pt
   2. En déduire l’expression de $S_n$ en fonction de $n$. 0,5pt

PROBLEME 10 points

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A (3,5 points)

1. $E$ et $F$ sont deux points tels que $EF=4$. $G$ est le barycentre des points pondérés $(E;1)$ et $(F;3)$.
   1. Calculer les distances $EG$ et $FG$. 0,5pt
   2. Construire le point $G$. 0,5pt
   3. Déterminer et construire l’ensemble des points $M$ du plan tel que $ME^2+3MF^2=16$. 1pt

2. 1. En remarquant que $\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$, calculer la valeur exacte de $\cos\dfrac{\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{\pi}{12}$. 0,5pt
   2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $2\sqrt{3}\cos2x+2\sin2x=\sqrt{6}+\sqrt{2}$. 1pt

Partie B (6,5 points)

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. (Unité 1cm sur les axes).

On considère la fonction de la variable réelle $x$ définie sur $D=]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^2+x+2}{x-1}$ et $(C)$ sa courbe représentative.

1. 1. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son domaine d’étude. 0,5pt
   2. Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et étudier les variations de $f$ sur $D$. 1pt
   3. En déduire le tableau de variation de $f$. 0,5pt
2. 1. Vérifier que pour tout $x$ de $D$, $f(x)=x+2+\dfrac{4}{x-1}$. 0,5pt
   2. En déduire que $f$ admet une asymptote oblique $(\Delta)$ dont on précisera sa position par rapport à $(C)$ sur $D$. 1pt
   3. Déterminer les coordonnées de $\Omega$, point d’intersection des asymptotes à $(C)$, et nommer le point $\Omega$. 0,5pt
   4. Déterminer l’équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ au point d’abscisse $2$. 0,5pt
3. Tracer $(\Delta)$, $(T)$ et $(C)$. 1,5pt
4. On note $g$, le prolongement de $f$ sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$ et $(C')$ sa courbe représentative. Construire $(C')$ dans le même repère que précédemment. 0,5pt

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (15,5 points)

EXERCICE 1 : 5 points

L’unité de longueur est le centimètre. $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $AB=6$ et $AC=8$. $I$ est le milieu du segment $[BC]$. $g$ est l’application du plan dans lui-même qui à tout point $M$ associe $g(M)=MB^2+MC^2$.

1. Calculer $g(B)$. 0,5pt
2. Déterminer l’ensemble des points $M$ du plan tels que $g(M)=100$. 1pt
3. On pose $\alpha=\mathrm{mes}(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})$.
   1. Calculer $\cos\alpha$. 0,5pt
   2. Déduire la valeur exacte de $\cos2\alpha$. 0,5pt
   3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $\cos2x=\dfrac{4}{5}$. 0,5pt

EXERCICE 2 : 4,5 points

Les notes sur 80 obtenues par un groupe de 60 élèves au devoir de mathématiques sont regroupées dans le tableau suivant :

1. Recopier et compléter le tableau ci-dessus. 1,25pt
2. Construire le polygone des effectifs cumulés décroissants et en déduire la valeur graphique de la médiane. 1,25pt
3. Retrouver par interpolation linéaire la valeur de la médiane. 0,5pt
4. Calculer à $10^{-2}$ près la valeur de la moyenne et de l’écart type. 1pt
5. On doit former un groupe de 5 personnes avec les élèves ayant obtenu une note supérieure ou égale à 50 pour représenter la classe. Combien de groupes distincts peut-on ainsi former ? 0,5pt

EXERCICE 3 : 4,5 points

Soit $f$ la fonction de la variable numérique telle que $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x}$ définie pour tout réel $x$ non nul. On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

1. On suppose que $(C_f)$ passe par les points $D(1;401)$, $E(-5;-85)$ et $F(4;104)$. Déterminer les valeurs des réels $a$, $b$ et $c$. 1pt
2. Pour la suite on prendra $f(x)=\dfrac{x^2+400}{x}$.
   1. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 1pt
   2. Donner en justifiant les équations des asymptotes à la courbe $(C_f)$. 0,5pt
   3. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. 1pt
   4. Construire soigneusement la courbe de $f$. 1pt

EXERCICE 4 : 5,5 points

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{2u_n+1}{u_n+2}$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$. La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? 1pt
2. On pose pour tout entier naturel $n$, $v_n=\dfrac{1+u_n}{2-2u_n}$.
   1. Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $S$ dont on déterminera le premier terme. 1pt
   2. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$. 1pt
3. On pose pour tout entier naturel $n$, $S_n=v_0+v_1+\cdots+v_{n-1}$. Calculer en fonction de $n$ la valeur de $S_n$. 0,5pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES 4,5 points

Cédric et Abdel sont tous deux élèves dans un lycée moderne de la ville de Douala. Toute leur salle de classe décide d’organiser une excursion. Pour cela ils doivent louer un bus pour le transport.

• Si le groupe d’élèves est seul alors ils payent 105 500 FCFA. Mais si la professeure titulaire et ses 2 collègues accompagnent alors ils devront payer 96 000 FCFA à raison d’une réduction de 500 FCFA par ticket de voyage.
• Afin d’avoir l’argent nécessaire pour faire partie de l’excursion, Cédric et Abdel décident de faire un petit job de défrichage sur un terrain ayant la forme d’un triangle rectangle dont le côté le plus long mesure 50 m et le périmètre de ce champ est de 120 m. Dix (10) mètre-carrés de défrichage étant estimé à 1000 FCFA.
• Le défrichage de ce champ s’effectue en deux (02) jours. Chaque soir après le travail, Cédric et Abdel se rendent dans un restaurant pour refaire le plein d’énergie. Le premier soir, Cédric commande 7 beignets et un bol de bouillie, puis paie 625 FCFA. Abdel débourse 650 FCFA pour 6 beignets et 2 bols de bouillie.
• Le deuxième soir, Cédric commande 4 beignets et un bol de bouillie tandis que Abdel commande 5 beignets et un bol de bouillie.

Tâches :

1. Combien d’élèves compte cette salle de classe et quel est le prix d’un ticket de voyage pour l’excursion ? 1,5pt
2. Combien rapportera le défrichage complet du champ à Cédric et Abdel ? 1,5pt
3. Quelle somme totale devront payer les deux élèves le deuxième soir du défrichage ? 1,5pt