1ère D : Séquence 4 en maths

Exercice 1 4,5 points

La suite $(u_n)$ est définie par $u_1=\dfrac12$, $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2}+\dfrac{n}{6}+\dfrac13$, et la suite $(v_n)$ définie par $v_n=2u_n-\dfrac{2n}{3}$.

1. Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique. Préciser son premier terme et sa raison. 1 pt
2. Calculer $u_2$ et $u_3$, puis $v_2$ et $v_3$. 0,25 pt × 4
3. Calculer $v_n$ et $u_n$ en fonction de $n$. 0,75 pt × 2
4. Calculer la somme $S_n=v_1+v_2+\cdots+v_n$. 0,5 pt
5. Quelle est la nature de la suite $(S_n)$ ? 0,5 pt

Exercice 2 4,5 points

1. Une urne contient six boules : une blanche, deux noires et trois jaunes. On extrait simultanément deux boules de cette urne.
   1. De combien de manières différentes peut-on effectuer ces tirages ? 0,25 pt
   2. Déterminer le nombre de tirages distincts pour lesquels :
      1. on a deux boules de même couleur ; 0,5 pt
      2. la boule blanche apparaît ; 0,5 pt
      3. aucune boule noire n’apparaît. 0,25 pt
2. Dans une classe de première, on étudie les langues suivantes : anglais, chinois et allemand. Chaque élève étudie au moins une langue. $5$ étudient les trois langues, $7$ l’anglais et l’allemand, $8$ l’anglais et le chinois, $9$ l’allemand et le chinois. Enfin, $20$ étudient seulement l’anglais, $15$ l’allemand et $18$ le chinois. Quel est l’effectif de cette classe ? 1 pt
3. Soient $A$ et $B$ deux ensembles finis tels que $\text{Card}(A)=9$, $\text{Card}(B)=6$ et $\text{Card}(A\cup B)=12$. Calculer $\text{Card}(A\cap B)$ et $\text{Card}(A\setminus B)$. 1 pt
4. Résoudre dans $\mathbb{N}$ l’équation : $C_n^1 - C_n^2 = -5n$. 1 pt

Problème 11 points

Le problème comporte deux parties indépendantes A et B.

Partie A 3,25 pts

Soit $A$ l’expression définie par : $A(x)=2\cos^2 x-2\sqrt{3}\sin x\cos x-1$.

1. Montrer que $A(x)=a\cos 2x+b\sin 2x$ où $a$ et $b$ sont à déterminer. 0,5 pt
2. Montrer que $A(x)=a\cos(2x+\alpha)$ où $a$ et $\alpha$ sont à déterminer. 0,75 pt
3. Résoudre dans $[0;2\pi[$ l’équation $A(x)=1$ et représenter les images des solutions sur le cercle trigonométrique. 1,25 pt
4. Résoudre dans $[0;2\pi[$ l’inéquation $A(x)\ge 1$. 0,75 pt

Partie B 7,75 pts

$a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels. On considère la fonction $f$ définie par : $f(x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{x-1}$, et son tableau de variation est donné ci-dessous.

1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$. 0,25 pt
2. 1. Déterminer $f(0)$, $f(2)$ et $f'(0)$. 0,75 pt
   2. En déduire les réels $a$, $b$ et $c$. 1,5 pt
3. Soit la fonction $g$ définie par : $g(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x-1}$, et $(C_g)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
   1. Dresser le tableau de variation de $g$. 0,5 pt
   2. Montrer que le point $G(1;1)$ est centre de symétrie de $(C_g)$. 0,75 pt
   3. Déterminer l’asymptote verticale et montrer que la droite $y=x$ est une asymptote oblique de $(C_g)$. 1 pt
   4. Déterminer le point de rencontre de $(C_g)$ avec l’axe des ordonnées. 0,5 pt
   5. Construire $(C_g)$. 1 pt
   6. Déterminer suivant les valeurs du paramètre réel $m$, le nombre de solutions de l’équation $g(x)=m$. 1 pt
   7. On pose $h(x)=|g(x)|$. Représenter dans le même repère la courbe $(C_h)$ de $h$. 0,5 pt

Évaluation des ressources

Partie A 5,25 points

I- Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ les suites définies par : $u_0=6$, $u_{n+1}=\dfrac15u_n+\dfrac45$, $\forall n\in\mathbb{N}$, et $v_n=u_n-1$, $\forall n\in\mathbb{N}$.

1. Représenter les quatre premiers termes de la suite $(u_n)$ dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ d’unité $1\,\text{cm}$. Conjecturer la variation de la suite $(u_n)$. 0,75 pt
2. Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique et en préciser la raison et le premier terme. 0,75 pt
3. 1. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$. 0,5 pt
   2. Calculer la limite de $v_n$ et en déduire celle de $u_n$. 0,5 pt
   3. La suite $(u_n)$ est-elle convergente ou divergente ? 0,25 pt
4. Exprimer $T_n=v_0+v_1+\cdots+v_n$ et $S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n$ en fonction de $n$. 0,75 pt

II- L’entraîneur sélectionneur des Lions indomptables, pour son prochain match du CHAN contre le Zimbabwe, doit choisir $11$ premiers entrants parmi les $23$ joueurs dont il dispose et titulariser $8$ joueurs.

1. De combien de façons peut-il constituer une équipe ? 0,5 pt
2. De combien de façons peut-il choisir $8$ titulaires parmi les $11$ entrants ? 0,5 pt
3. Sachant qu’il a d’avance $6$ joueurs titulaires, de combien de façons peut-il choisir les $11$ entrants ? 0,75 pt

Partie B 2,5 points

1. On considère l’expression : $A(x)=2\cos^2x-2\sqrt3\sin x\cos x-1$.
   1. Montrer que $A(x)=-\sqrt3\sin2x+\cos2x$. 0,5 pt
   2. Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l’équation $A(x)=1$. 0,75 pt
2. $ABC$ est un triangle, $I$ et $G$ sont définis par : $\overrightarrow{AI}=-2\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CG}=\dfrac15\overrightarrow{CI}$.
   1. Exprimer $G$ comme barycentre des points $A$, $B$ et $C$. 0,5 pt
   2. Déterminer et tracer l’ensemble des points $M$ du plan tels que : $\lVert3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}\rVert=\lVert\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MI}\rVert$. 0,75 pt

Partie C 7,75 points

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\dfrac{3x^2-x-2}{x-3}$. On note $(C_f)$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$ d’unité $1\,\text{cm}$.

1. Déterminer le domaine de définition de $f$ sous la forme d’une réunion d’intervalles. 0,5 pt
2. Calculer la dérivée $f'(x)$ de $f$ et en déduire les variations de $f$. 1,25 pt
3. Calculer les limites aux bornes du domaine de définition et dresser le tableau de variation de $f$. 1,5 pt
4. Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ vérifiant : $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-3}$. 0,75 pt
5. Montrer que la droite $(D)$ d’équation $y=3x+8$ est une asymptote à la courbe $(C_f)$. Préciser les autres asymptotes. 0,75 pt
6. Étudier la position de la droite $(D)$ par rapport à la courbe $(C_f)$. 0,75 pt
7. Déterminer l’équation de la tangente $(T)$ au point d’abscisse $2$. 0,5 pt
8. Construire $(T)$, $(D)$, $(C_f)$ ainsi que les autres asymptotes dans le repère $(O;\vec i;\vec j)$. 1,75 pt

Évaluation des compétences 4,5 points

À un certain arrêt de bus, il a été établi que, pendant les $30$ premières secondes de démarrage, la distance $d$ (en mètres) parcourue par le bus et le temps $t$ (en secondes) mis pour effectuer ce parcours sont liés par la relation : $d=\dfrac{t^2}{10}$.

Tâche 1

Au moment où le bus démarre, un cycliste apparaît derrière le bus, à $22{,}5$ m de l’arrêt, à la vitesse de $18\,\text{km/h}$. À quelle distance de l’arrêt le bus rattrape-t-il le cycliste ? Peut-on assurer que le bus dépasse le cycliste à nouveau ? 1,5 pt

Tâche 2

Au moment où le bus démarre, il apparaît aussi à $22{,}5$ m de l’arrêt un passager potentiel qui se met aussitôt à poursuivre le bus à la vitesse constante $v=9\,\text{km/h}$. Peut-il rattraper le bus ? Sinon, quelle est la distance minimale qui le séparera du bus pendant la poursuite ? 1,5 pt

Tâche 3

Au moment où le bus démarre, apparaît aussi à $22{,}5$ m de l’arrêt un autre passager potentiel qui se met aussitôt à poursuivre le bus à la vitesse constante $v$. Quelle est la valeur minimale de $v$ pour que ce passager rattrape le bus ? 1,5 pt

A. Évaluation des ressources 15,5 pts

Exercice 1 4 pts

On considère la suite $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par : $U_0=1$ et $U_{n+1}=0{,}5\,U_n+0{,}25$.

1. Calculer $U_1$, $U_2$ et $U_3$. 0,75 pt
2. On considère la suite $(W_n)$ définie par : $W_n=U_n-0{,}5$.
   1. Démontrer que $(W_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 0,75 pt
   2. En déduire les expressions de $W_n$ et de $U_n$ en fonction de $n$. 1 pt
3. Calculer les limites de $W_n$ et $U_n$ puis conclure. 0,75 pt
4. On pose $S_n=\sum_{k=0}^{n} W_k = W_1+W_2+\cdots+W_n$. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$ puis en déduire sa limite. 0,75 pt

Exercice 2 6 pts

Soit $f$ la fonction de la variable réelle $x$ définie par : $f(x)=\dfrac{x^2-4x+7}{x-1}$. On note $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec i;\vec j)$.

1. Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$. 1 pt
2. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation. 1 pt
3. 1. Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x\in D_f$ : $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}$. 0,75 pt
   2. En déduire, en justifiant, que la courbe $(C)$ admet une asymptote oblique $(D')$ dont on précisera l’équation cartésienne. Étudier les positions relatives de $(D')$ et $(C)$. 0,75 pt
4. Montrer que le point $\Omega(1;-2)$ est centre de symétrie de la courbe $(C)$. 0,5 pt
5. Construire $(C)$ ainsi que ses asymptotes dans le même repère du plan. 1 pt

Exercice 3 4 pts

1. On considère : $P(x)=\cos 4x-5\cos 2x-6$, avec $x\in]-\pi;\pi[$.
   1. Exprimer $P(x)$ en fonction de $\cos 2x$. 0,5 pt
   2. Résoudre dans $]-\pi;\pi[$ l’équation : $2\cos^2(2x)-5\cos(2x)-7=0$. 1 pt
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $A^2=42A$. 0,75 pt
3. Résoudre dans $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ le système :

   $ \begin{cases} C_{x+1}^y = C_x^{y-1}\\ C_{x+y}^2 = 10 \end{cases} $

   1 pt
4. Un sac contient $5$ boules blanches, $4$ boules rouges et $7$ boules noires, toutes indiscernables au toucher.

1. On tire successivement avec remise $4$ boules du sac.
   1. Déterminer le nombre de tirages possibles. 0,25 pt
   2. Déterminer le nombre de tirages comportant exactement une boule blanche, deux boules rouges et une boule noire. 0,25 pt
2. On tire simultanément $4$ boules du sac.
   1. Déterminer le nombre de tirages possibles. 0,25 pt
   2. Déterminer le nombre de tirages possibles ne comportant pas de boule noire et ayant au plus $2$ boules rouges. 0,25 pt

Exercice 4 2,5 pts

$ABC$ est un triangle rectangle tel que $AB=5\,\text{cm}$. On désigne par $I$ le milieu du segment $[AB]$. Les points $J$ et $L$ sont définis par : $\overrightarrow{AJ}=\dfrac52\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AL}=3\overrightarrow{AC}$.

La droite parallèle à $(AC)$ menée par $J$ coupe la droite $(BC)$ en $K$.

1. Exprimer $B$ comme barycentre des points $A$ et $I$, puis $C$ comme barycentre des points $A$ et $L$. 1 pt
2. Démontrer que $K$ est le barycentre des points pondérés $B$ et $C$ affectés des coefficients à préciser. 0,5 pt
3. Démontrer que les points $I$, $K$ et $L$ sont alignés. 0,25 pt
4. Donner la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble $(\Sigma)$ des points $M$ du plan tels que : $MA^2+MB^2=25$. 0,75 pt

B – Évaluation des compétences 4 pts

Monsieur Paul est un ingénieur. Pour créer son entreprise de fabrication d’emballage ménager en janvier $2006$, il emprunte $75$ millions FCFA dans une banque $A$ à un taux annuel de $x\%$. L’ingénieur doit rembourser à la banque $87{,}45$ millions FCFA au bout de deux ans.

L’entreprise n’écoule que $80\%$ de sa production annuelle. Le bénéfice annuel réalisé est égal à $2m^2-13m$ où $m$ est la masse d’emballage ménager vendue (en tonnes). Monsieur Paul aimerait réaliser un bénéfice de $30$ millions FCFA en janvier $2007$.

Pour la protection de l’environnement, l’ingénieur décide de recycler ses produits à partir de février $2007$. Les $\dfrac34$ des emballages ménagers utilisés sont recyclés par l’entreprise de Paul. En fin $2007$, il a pu recycler $12$ tonnes d’emballages ménagers.

Tâches

1. Déterminer le taux annuel du prêt de monsieur Paul. 1,5 pt
2. Quelle masse d’emballage ménager doit produire l’ingénieur pour réaliser un bénéfice de $30$ millions FCFA en janvier $2007$ ? 1,5 pt
3. Calculer la masse d’emballage ménager produite en $2007$. 1,5 pt

Partie A : Évaluation des ressources 15,5 points

L’épreuve comporte trois exercices et un problème obligatoires étendus sur deux pages.

Exercice 1 4 points

On considère l’expression $P(x)=\cos 4x-5\cos 2x-6$ dans laquelle $x$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle $]-\pi,\pi]$.

1. Exprimer $P(x)$ en fonction de $\cos 2x$ seulement. 1 pt
2. Résoudre alors dans $]-\pi,\pi]$, l’équation $2\cos^2 2x-5\cos 2x-7=0$. 2 pts
3. Placer les solutions sur le cercle trigonométrique. 1 pt

Exercice 2 4,5 points

$ABCD$ est un carré de sens direct de centre $O$ et de côté $3\ \text{cm}$. On note $r$ la rotation de centre $O$ et d’angle de mesure $-\dfrac{\pi}{2}$ ; $h$ l’homothétie de centre $O$ et de rapport $3$.

1. Déterminer les images des points $A$, $B$, $C$, $D$ et $O$ par la rotation $r$. 1,25 pt
2. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $h\circ r$. 0,75 pt
3. Construis le point $E$ tel que $AEB$ soit un triangle équilatéral de sens direct. 0,25 pt
4. On note $G$ le barycentre des points pondérés $(A,2)$ ; $(B,1)$ et $(E,1)$ ; $I$ le milieu du segment $[BE]$.
   1. Montrer que le point $G$ est le milieu du segment $[AI]$. 0,5 pt
   2. Montrer que $AI^2=\dfrac{27}{4}$. 0,5 pt
   3. $(\tau)$ est l’ensemble des points $M$ du plan tels que $AM^2+IM^2=\dfrac{27}{4}$.
      1. Montrer que $AM^2+IM^2=2GM^2+\dfrac{AI^2}{2}$. 0,5 pt
      2. Déterminer et construire l’ensemble $(\tau)$. 0,75 pt

Exercice 3 7,5 points

On considère la fonction $f$ de variable réelle $x$ définie par $f(x)=\dfrac{2x^2+5x}{2(x+1)}$ ; $(C)$ sa courbe représentative dans le plan, et $D_f$ son domaine de définition.

1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 0,5 pt
2. Calculer les limites aux bornes de $D_f$. 1 pt
3. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout $x$ élément de $D_f$, $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}$. 1,5 pt
4. Justifier que $f$ est dérivable pour tout élément de $D_f$ et calculer sa dérivée $f'(x)$. 1 pt
5. Montrer que la droite d’équation $y=x+\dfrac{3}{2}$ est asymptote oblique à $(C)$. 0,5 pt
6. Dresser le tableau de variation de $f$. 0,75 pt
7. Montrer que le point $I(-1;\dfrac{3}{2})$ est un centre de symétrie de $(C)$. 0,5 pt
8. Déterminer une équation cartésienne de la tangente $(T)$ à $(C)$ au point d’abscisse $0$. 0,5 pt
9. Tracer $(C)$ et $(T)$. 1,25 pt

Partie B : Évaluation des compétences 4,5 points

Plan de fondation de M. Sangolna

Monsieur SANGOLNA désire construire un grand entrepôt trapézoïdal $BDFE$ sur son terrain (voir le schéma ci-dessus) de forme d’un triangle rectangle isocèle $ABC$ tel que $BA = BC = 5\ \text{dam}$ et $D$ est le milieu du segment $[BC]$. Le concepteur du plan de fondation de cet entrepôt omis de mentionner la distance $BE$. Son fils HERCULE, élève en classe de première D, en posant $BE = x$ démontre que l’aire en $\text{dam}^2$ de cet entrepôt est $A(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{15}{4}x$. Sur le plan d’équipement, est prévue une caméra de surveillance fixée en un point $M$ tel que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-4$.

1. Montrer que HERCULE a bien fait ses calculs. 1,5 pt
2. Déterminer la valeur de $x$ pour que cet entrepôt soit maximal. 1,5 pt
3. Déterminer les positions possibles de fixation de la caméra. 1,5 pt

Exercice 1 03 points

1. Déterminer trois entiers naturels $a$, $b$, $c$ tel que :

   $$ \begin{cases} a - 2c = 0 \\ a + b + c = 46 \\ 2a + b + 5c = 120 \end{cases} $$

   1,5 pt
2. Mme Ambroise a prévu $6000\text{F}$ pour la fabrication de sa salade de fruits à base de papayes, de pastèques et d’oranges. Au marché elle se rend compte qu’elle ne peut acheter que $46$ fruits. Sachant qu’une papaye coûte $100\text{F}$, une pastèque $250\text{F}$, une orange $50\text{F}$ et qu’elle a acheté deux fois plus d’oranges que de papayes. Déterminer le nombre de papayes, de pastèques et d’oranges achetés par Mme Ambroise. 1,5 pt

Exercice 2 03,5 points

Sur la figure ci-contre, $ABCD$ est un rectangle, $DD'C'C$ et $BB'C'D$ sont des carrés. On pose $AB=x$ et $BC=y$ avec $x>y$.

1. L’aire $A(x)$ de $DD'C'C$ est $A(x)=-x^2+24x$.
   1. Donner la forme canonique de $A(x)$. 0,5 pt
   2. Pour quelle valeur de $x$ l’aire $A(x)$ est-elle maximale ? 0,25 pt
2. L’aire totale des parties hachurées vaut $169\text{cm}^2$ et l’aire de la partie non hachurée vaut $60\text{cm}^2$.
   1. Résoudre l’équation $x^2-169a+3600=0$. 0,75 pt
   2. Justifier que $x$ et $y$ vérifient le système

      $$ \begin{cases} x^2+y^2=169 \\ xy=60 \end{cases} $$

      0,5 pt
   3. En déduire que $x$ vérifie l’équation $(E):\ x^4-169x^2+3600=0$. 0,5 pt
   4. Trouver les dimensions du rectangle $ABCD$. 1 pt

Exercice 3 04,5 points

1. I.
   1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $2t^2+\sqrt{3}t-3=0$. 0,5 pt
   2. Montrer que pour tout réel $x$, $\sqrt{3}\cos x+\sin x=2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$. 0,75 pt
   3. En utilisant les questions 1) et 2), résoudre dans $[-\pi;\pi]$ l’équation $(2\sin^2x+\sqrt{3}\sin x-3)(\sqrt{3}\cos x+\sin x-\sqrt{2})=0$. 1,5 pt
2. II. Dans un dépôt de vente, le prix affiché sur un meuble diminue de $10\%$ par semaine.
   1. Un buffet a été mis en vente à $850000$ francs. On pose $U_0=850000$ et on désigne par $U_n$ le prix en francs de ce buffet $n$ semaines plus tard.
      1. Montrer que $(U_n)$ est une suite géométrique de raison $0,9$. 0,5 pt
      2. Exprimer $U_n$ en fonction de $n$. 0,5 pt
   2. Le budget de Moussa est de $600000$ francs. Au bout de combien de semaines le buffet sera-t-il à portée de sa bourse (s’il n’a pas été acheté entre temps) ? 0,75 pt

Problème 09 points

On considère la fonction $f$ dont la courbe $(C_f)$ ci-dessous est sa courbe représentative dans le repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1. Déterminer l’ensemble de définition $D_f$ de $f$ et l’écrire sous forme d’une réunion d’intervalles. 0,5 pt
2. Déterminer graphiquement les limites de $f$ aux bornes de $D_f$. 1 pt
3. Déterminer les extrémums de $f$. 0,5 pt
4. Donner le sens de variation de $f$. 0,5 pt
5. Dresser le tableau de variation de $f$. 0,75 pt
6. Déterminer les nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout $x\in D_f$, on ait :

   $$ f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1} $$

   1,5 pt
7. Démontrer que la droite $(D)$ d’équation $y=x-1$ est asymptote à $(C)$. 0,5 pt
8. Étudier la position relative de la courbe $(C)$ et de la droite $(D)$. 0,5 pt
9. Démontrer que le point $I(-1;-2)$ est un centre de symétrie de $(C)$. 0,5 pt
10. Déterminer graphiquement le nombre et le signe des solutions de l’équation :

    $(E):\ x^2-mx-m=0$

    0,75 pt
11. Donner le tableau de variation des fonctions $g$, $h$, $i$, $j$ et $k$ définies par :

    $$ g(x)=-f(x)\ ;\quad h(x)=f(-x)\ ;\quad i(x)=-f(-x)\ ;\quad j(x)=f(x-1)+1 $$

    2 pts

A. Évaluation des ressources

Exercice 1 4 pts

On considère la suite $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par :

$$ \begin{cases} U_0 = 1 \\ U_{n+1} = 0,5U_n + 0,25 \end{cases} $$

1. Calculer $U_1$, $U_2$ et $U_3$. 0,75 pt
2. On considère la suite $W_n$ définie par : $W_n = U_n - 0,5$.
   1. Démontrer que $W_n$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 0,75 pt
   2. En déduire les expressions de $W_n$ et de $U_n$ en fonction de $n$. 1 pt
3. Calculer les limites de $W_n$ et $U_n$ puis conclure. 0,75 pt
4. On pose $S_n=\sum_{k=0}^{n} W_k = W_1+W_2+W_3+\cdots+W_n$. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$ puis déduire sa limite. 0,75 pt

Exercice 2 7,5 pts

Soit $f$ la fonction de la variable réelle $x$ définie par :

$$ f(x)=\dfrac{x^2+4x+7}{2(x+1)} $$

et on note $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1. 1. Déterminer le domaine de définition de $f$ et l’écrire sous forme d’intervalles. 0,25 pt
   2. Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$. 1 pt
   3. En déduire en justifiant que la courbe $(C)$ admet une asymptote $(D)$ dont on précisera une équation cartésienne. 0,25 pt
2. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation. 1 pt
3. Déterminer les points caractéristiques de $f$ (les points de rencontres avec les axes du repère). 0,5 pt
4. 1. Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que : $\forall x\in D_f,\ f(x)=ax+b+\dfrac{c}{2(x+1)}$. 0,75 pt
   2. En déduire en justifiant que la courbe $(C)$ admet une autre asymptote $(D')$ dont on précisera une équation cartésienne. Étudier les positions relatives de $(D')$ et $(C)$. 0,75 pt
5. Déterminer les coordonnées de $\Omega$, point de rencontre des deux asymptotes ainsi obtenues. 0,25 pt
6. Montrer que $\Omega$ est centre de symétrie à la courbe $(C)$. 0,5 pt
7. Construire $(C)$ ainsi que ses asymptotes dans le même repère du plan. 1,25 pt
8. Déterminer graphiquement suivant les valeurs du paramètre réel $m$, le nombre et le signe des solutions de l’équation : $x^2-(2m-4)x-2m+7=0$. 0,75 pt
9. À partir de la courbe $(C)$, construire dans le même repère la courbe $(C')$ représentative de la fonction $g(x)=|f(x)|$. 0,5 pt

Exercice 4 pts

1. ALIMA a placé une somme de $45\,000\text{F}$ à un taux de $x\%$ pendant un an. L’ensemble du capital ainsi produit est placé à un taux de $(x+2)\%$ et produit alors un intérêt pendant un an de $4\,860\text{F}$. Déterminer $x$. 1 pt
2. Résoudre dans $\mathbb{N}$ l’équation : $A_n^4=42A_n^2$. 1 pt
3. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système :

   $$ \begin{cases} \sqrt{3}\cos x-\sin y=2\\ \cos x+\sqrt{3}\sin y=0 \end{cases} $$

   1 pt
4. Un sac contient $5$ boules blanches, $4$ boules rouges et $7$ boules noires, toutes indiscernables au toucher.
   1. On tire successivement avec remise $4$ boules du sac.
      1. Déterminer le nombre de tirages possibles. 0,25 pt
      2. Déterminer le nombre de tirages comportant exactement une boule blanche, deux boules rouges et une boule noire. 0,25 pt
   2. On tire simultanément $4$ boules du sac.
      1. Déterminer le nombre de tirages possibles. 0,25 pt
      2. Déterminer le nombre de tirages possibles ne comportant pas de boule noire et ayant au plus $2$ boules rouges. 0,25 pt

B- Évaluation des compétences 04,5 pts

Mr bouba est un grand éleveur dans la région de l’Adamaoua ; il possède une grande réserve qu’il a séparée en trois parties comme l’indique les figures ci-dessus. Sur la parcelle $1$ ayant la forme d’un carré $(ABCD)$ il élève de la volaille, sur la parcelle $2$ ayant la forme d’un cercle, il élève des chèvres et sur la parcelle $3$ ayant la forme d’un triangle rectangle $PQN$ il élève des moutons ; il subit très fréquemment des attaques. On lui conseille d’entourer chacune de ses parcelles de fils de fer électriques qui coûtent $1000\text{F}$ le mètre.

La parcelle 1, entourée par le cercle $(C)$ qui est le cercle circonscrit au carré $ABCD$ et de centre $O$ d’origine $O$ du repère, avec $A(x,y)$ avec $x$ et $y$ qui sont les solutions de l’équation :

$$ \begin{cases} x^2+y^2-xy=9\\ x+y=6 \end{cases} $$ (on prendra $100\text{m}=1$ unité).

La parcelle 2, représente un cercle où la droite $(LK)$ est un axe de symétrie de ce cercle tels que tout point $M$ de ce cercle vérifie $AMK^2-4MK^2=0$ avec $LK=15\text{m}$.

La parcelle 3 a la forme d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure $72,5\text{m}$ et dont l’aire est de $429\text{cm}^2$. Combien dépensera Bouba pour l’achat des fils de fer électrique nécessaire :

1. Tâche 1 : pour entourer la parcelle 1. 1,5 pts
2. Tâche 2 : pour entourer la parcelle 2. 1,5 pts
3. Tâche 3 : pour entourer la parcelle 3. 1,5 pts

Partie A : Évaluation des ressources 15 points

Exercice 1 3 points

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E)$ : $-x^2+5x+50=0$. 0,5 pt
2. Soit $x$ un réel strictement positif et petit devant $l$. HAMIDOU dispose d’un champ rectangulaire $ABCD$ de $70\text{ m}$ de long sur $30\text{ m}$ de large. On augmente la largeur de $x$ mètres et on diminue la longueur de $2x$ mètres comme l’indique la figure ci-contre.
   
   1. Exprimer en fonction de $x$ l’aire de $AGFE$ et l’aire de $EHCD$. 1 pt
   2. Sachant que l’aire de $EHGE$ est de $2000\text{ m}^2$, montrer que $x$ vérifie l’équation $(E)$. 1 pt
   3. Déterminer alors la valeur de $x$. 0,5 pt

Exercice 2 3,5 points

Une urne contient $10$ boules dont $3$ de couleur rouge, $4$ de couleur bleue et $3$ de couleur jaune. On tire simultanément $3$ boules de cette urne. Déterminer le nombre total de tirages dans les cas suivants :

1. Les trois boules tirées sont quelconques. 0,5 pt
2. Les trois boules tirées ont la même couleur. 0,75 pt
3. On a exactement une boule de couleur bleue. 0,75 pt

Le tirage d’une boule bleue rapporte $100\text{F}$, celui d’une boule rouge $50\text{F}$ et le tirage d’une boule jaune fait perdre $25\text{F}$. On appelle gain algébrique la somme obtenue sur trois boules tirées.

4. Quels sont les différents gains possibles ? 1,5 pt

Exercice 3 5 points

On considère dans le plan trois points non alignés $A$, $B$ et $C$ tels que $AB=4$, $AC=2$ et $BC=3$ (unité en cm). Soient les points $I$, $J$, $K$ du plan tels que $I$ soit le milieu de $[BC]$, $2\overrightarrow{BJ}+3\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{AK}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$, et $G$ le barycentre du système de points pondérés $\{(A,3);(B,-1);(C,-1)\}$.

1. Montrer que $AI^2=31$. 0,5 pt
2. Écrire le point $J$ comme barycentre des points $A$ et $B$ puis déterminer les réels $x$ et $y$ tels que $K$ soit barycentre des points pondérés $(A,x)$ et $(C,y)$. 1 pt
3. Montrer que les droites $(AI)$, $(JC)$ et $(KB)$ sont concourantes en $G$. 1 pt
4. Montrer que $\overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{0}$ et en déduire que $AG^2=31$. 0,5 pt
5. Soit $(C)$ l’ensemble des points $M$ du plan tels que : $-3MA^2+MB^2+MC^2=20$.
   1. Vérifier que $A$ appartient à $(C)$. 0,5 pt
   2. Montrer que pour tout point $M$ du plan, on a : $-3MA^2+MB^2+MC^2=-MG^2-3AG^2+BG^2+CG^2$. 0,5 pt
   3. Montrer que $BG^2=90a^2$. 0,5 pt
   4. Déterminer et construire $(C)$ sachant que $CG^2=54$. 1 pt

Exercice 4 4,5 points

On note $(E)$ l’équation $4x^2-(2+\sqrt{3})x+\sqrt{3}=0$ et $(E')$ : $4\cos^2 x-(2+\sqrt{3})\cos x+\sqrt{3}=0$.

1. Vérifier que $\dfrac{1}{2}$ est une solution de $(E)$, puis déterminer la deuxième solution. 1 pt
2. Déterminer toutes les solutions de $(E')$ dans $\mathbb{R}$. 1 pt

II- On considère la fonction $f(x)=\dfrac{x^2-3x+5}{x-1}$.

1. Donner le domaine de définition de $f$. 0,5 pt
2. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son domaine. 1 pt
3. Démontrer que le point $A(1;-1)$ est un centre de symétrie à la courbe de $f$. 1 pt

Partie B : Évaluation des compétences 5 points

Situation

Accompagné de ses trois garçons, Mr Essomba se rend avec son véhicule à sa plantation située à $600\text{ Km}$ de son domicile. Cette plantation a la forme d’un rectangle $ABCD$ de longueur $AB$ et de largeur $AD$. Ce jardin est clôturé et séparé en deux par le segment $[EF]$. Il faut $180$ mètres de grillage pour entourer le jardin et faire la séparation $[EF]$. L’aire de ce jardin est de $1200\ \text{m}^2$.

Paul, l’aîné des garçons, fait remarquer que si la vitesse avait été $16\ \text{km/h}$ de plus, ils auraient mis $1$ heure et quart de moins pour arriver à la plantation. Une fois à la plantation, Mr Essomba partage les espaces pour le défrichage : l’aîné Paul aura le tiers de la plantation, le second Henri aura le tiers du reste et le benjamin Pascal aura le tiers du reste après ses frères. La dernière portion sera défrichée par le papa lui-même.

1. Déterminer les dimensions de la plantation de Mr Essomba. 1,5 pt
2. Quelle était la vitesse moyenne du véhicule de Mr Essomba en allant à la plantation ? 1,5 pt
3. Quelle fraction de la plantation a été défrichée par Mr Essomba ? 1,5 pt

Présentation : 0,5 pt

Exercice 1 02,5 points

Sur la figure ci-contre, $ABCD$ est un rectangle, $BCC'B'$ et $DCC'D'$ sont des carrés.

On suppose que l’aire totale des parties hachurées vaut $169\ \text{cm}^2$ et l’aire de la partie non hachurée est égale à $60\ \text{cm}^2$.

On pose $AB=x$ et $BC=y$ avec $x>y$.

1. Démontrer que $x$ est solution de l’équation $(E)$ : $x^4-169x^2+3600=0$. 1 pt
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E)$. 1 pt
3. En déduire les dimensions $x$ et $y$ du rectangle. 0,5 pt

Exercice 2 06 points

I. $A$ et $B$ sont deux points distincts du plan tels que $AB=9\text{ cm}$. Soit $K$ le point défini par : $\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ et $M$ un point quelconque du plan.

1. Montrer que
   
   0,5 pt
2. Déduire que $2MA^2+MB^2=3MK^2+\dfrac{2}{3}AB^2$. 1 pt
3. Déterminer et construire l’ensemble $(C)$ des points $M$ du plan tels que $2MA^2+MB^2=81$. 1 pt

II. On considère l’expression $p(x)=\cos 4x-5\cos 2x+2$ dans laquelle $x$ appartient à l’intervalle $]-\pi,\pi]$.

1. Montrer que $p(x)=2\cos^2 2x-5\cos 2x+1$. 0,5 pt
2. Résoudre alors l’équation $p(x)=-1$. 2 pts
3. Représenter les points images des solutions sur le cercle trigonométrique. 1 pt

Problème 11,5 points

On considère la fonction numérique $g$ définie par : $$ g(x)=\dfrac{-x^2+2x-1}{3-2x}. $$ $(C)$ désigne sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé.

1. 1. Déterminer le domaine de définition $D$ de $g$. 0,5 pt
   2. Calculer les limites de $g$ aux bornes de $D$. 1,25 pt
   3. En déduire la nature et l’équation d’une asymptote à $(C)$. 0,5 pt
2. 1. Montrer que pour tout $x\in D$ : $$ g(x)=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4(3-2x)}. $$ 1 pt
   2. En déduire que $(C)$ admet une asymptote oblique $(\Delta)$ dont on précisera une équation. 0,5 pt
   3. Étudier la position relative de $(C)$ et $(\Delta)$. 0,75 pt
3. Étudier le sens de variation de $g$ et dresser son tableau de variation. 3 pts
4. 1. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de $(C)$ avec les axes du repère. 1 pt
   2. Tracer soigneusement les deux asymptotes et la courbe $(C)$. 2 pts
5. Recopier et compléter le tableau suivant. 1 pt

   Valeurs de $m$	$]-\infty;0[$	$0$	$]0;1[$	$1$	$]1;+\infty[$
   Nombre de solutions de l’équation $g(x)=m$				0

Exercice 1 6 points

On vous donne la figure ci-contre qui est la courbe d’une fonction $h$.

1. Donner l’ensemble de définition $D_h$ de $h$ sachant que $A\in (C_h)$.
2. Étudier le signe de la fonction $h$.
3. Dresser le tableau de variation de la fonction $h$.
4. La fonction $h$ est-elle dérivable en $0$ ? en $4$ ?
5. $h$ est-elle continue en $0$ ? en $4$ ?
6. Résoudre graphiquement $(E)$ : $h(x)=0$ ; $(D)$ : $0<h(x)<3$.

Exercice 2 5 points

L’unité est le mètre. Soit $ABCD$ un rectangle de périmètre $10$. On désigne par $x$ la longueur du côté $[AB]$.

1. Exprimer l’aire $A(x)$ du rectangle en fonction de $x$.
2. On donne $f(x)=\dfrac{15x-3x^2}{3}$. Calculer la fonction dérivée $f'(x)$ de $f$.
3. Préciser les contraintes sur $x$ pour que $ABCD$ soit un rectangle de longueur $x$. En déduire l’ensemble des valeurs de $x$.
4. Dresser le tableau de variation de $f$.
5. Quelle est la nature exacte du quadrilatère $ABCD$ pour cette valeur de $x$.
6. Construire la courbe de $f$ notée $(C_f)$.

Problème 9 points

Le problème comporte deux parties indépendantes A et B.

Partie A 4 points

1. 1. Démontrer que pour tout réel $x$, $\cos 2x=2\cos^2 x-1$.
   2. En déduire $\cos^2 x$.
2. 1. Déterminer la mesure principale de $\dfrac{11\pi}{6}$.
   2. Déterminer les valeurs exactes du cosinus et du sinus de $\dfrac{11\pi}{6}$.
   3. En déduire $\cos^2 \dfrac{11\pi}{12}$, puis $\sin^2 \dfrac{11\pi}{12}$.
   4. En déduire et justifier les valeurs exactes de $\cos \dfrac{11\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{11\pi}{12}$.

Partie B 5 points

1. 1. Résoudre dans $[0;\pi]$ l’équation $(E)$ : $\sqrt{3}\cos x-\sin x=1$.
   2. Représenter les images des solutions sur le cercle trigonométrique.
2. 1. Vérifier que $6+4\sqrt{2}=(2+\sqrt{2})^2$.
   2. Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l’équation $(E')$ : $2\sqrt{2}\cos^2 x+(2-\sqrt{2})\cos x-1=0$.
      On pourra poser $X=\cos x$ avec $-1\le X\le 1$.
   3. En déduire dans $]-\pi;\pi]$ les solutions de l’inéquation $(I')$ : $2\sqrt{2}\cos^2 x+(2-\sqrt{2})\cos x-1>0$.
   4. Représenter les images des solutions de $(E')$ et $(I')$ sur le cercle trigonométrique.

Évaluation des ressources

Exercice 1 3,75 pts

1. Calculer les réels suivants et donner les valeurs exactes :
   $a=\cos \dfrac{\pi}{6},\quad b=\sin \dfrac{\pi}{6},\quad c=\sin \dfrac{\pi}{3}$
   0,5 × 3 pts
2. Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l’équation : $\cos x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}$. 1,5 pts
3. Représenter sur un cercle trigonométrique l’ensemble solution de l’inéquation : $\cos x+\sqrt{3}\sin x\ge \sqrt{3}$. 1,5 pts

Exercice 2 4 pts

On se donne le polynôme $P(x)=x^3-7x+6$.

1. Vérifier que $-3$ est racine de $P$. 0,25 pt
2. En déduire les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $P(x)=(x+3)(ax^2+bx+c)$. 0,25 × 3 pts
3. En utilisant le discriminant, factoriser l’expression $ax^2+bx+c$ puis déduire la solution de l’équation $P(x)=0$. 0,5 + 0,5 pt
4. Grâce à un tableau de signe, résoudre les inéquations $P(x)\ge 0$ et $P(x)<0$. 1 + 1 pts

Exercice 3 4 pts

L’unité de longueur est le cm. $A$ et $B$ sont deux points du plan distants de $4\text{ cm}$. On se donne la ligne de niveau $(E)$ : $\dfrac{MA}{MB}=3$.

1. Montrer que $(E)$ peut encore s’écrire : $MA^2-9MB^2=0$. 0,5 pt
2. Développer l’expression : $(\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB})\cdot(\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB})$. 1 pt
3. Soient $I=\mathrm{bar}\{(A,1),(B,-3)\}$ et $J=\mathrm{bar}\{(A,1),(B,3)\}$. Déduire de 1) et 2) que $(\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB})\cdot(\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB})=0$ équivaut à $\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{MJ}=0$. 1 pt
4. En déduire la nature et une construction de $(E)$. 1 pt

Exercice 4 2,75 pts

On se donne la fonction $f$ dont le graphe est donné par la figure sur la page suivante.

1. Déterminer les images par $f$ de : $-2;\,-1;\,0;\,1$ et $2$. 0,25 × 5 pts
2. Déterminer les images par $f$ des intervalles : $[-2;0]$ et $[-1;2]$. 0,75 × 2 pts

Évaluation des compétences

Une entreprise fabrique des jouets en bois qui nécessitent :

• $2\text{ kg}$ de bois et $3\text{ h}$ de travail, pour $1$ camion ;
• $500\text{ g}$ de bois et $4\text{ h}$ de travail, pour $1$ patin ;
• $800\text{ g}$ de bois et $3\text{ h }30\text{ min}$ de travail, pour un chien à trainer.

Une équipe travaille pendant $313\text{ h}$, utilise $91\text{ kg}$ de bois et fabrique $89$ jouets au total.

L’entreprise décide de la suite de vendre ses productions et offre au customer deux options d’achat :

• Option A : Le customer souscrit $2000\text{ F}$ et paie $50\text{ F}$ le camion, $150\text{ F}$ le patin et $100\text{ F}$ le chien à trainer.
• Option B : Le customer ne souscrit pas mais paie $100\text{ F}$ le camion, $250\text{ F}$ le patin et $200\text{ F}$ le chien à trainer.

M. Jean est un customer fidèle et souhaite acheter $5$ camions, $7$ patins et $3$ chiens à trainer.

Tâches

1. Combien de camions, de patins et de chiens à trainer l’entreprise fabriquera-t-elle ? 1,5 pts
2. Quelle option est bénéfique pour M. Jean ? 1,5 pts
3. Pour $5$ camions et $3$ chiens à trainer achetés par vous, quel nombre minimal de patins faut-il acheter pour que l’option A vous soit bénéfique ? 1,5 pts

ÉVALUATION DES RESSOURCES

EXERCICE 1 (3,5 pts)

1. Montrer que pour tout nombre réel $\alpha$ on a : $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$. 0,5pt
2. En remarquant que $\dfrac{\pi}{4}=2\times\dfrac{\pi}{8}$, démontrer que $\cos\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$. 0,5pt
3. Calculer $(4+\sqrt{3})^2$ et donner le résultat sous la forme $a+b\sqrt{3}$ où $a$ et $b$ sont des entiers. 0,5pt
4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $2x^2+(\sqrt{3}+4)x-2\sqrt{3}=0$. 0,5pt
5. 1. Démontrer que : $-2\cos^2 x+(\sqrt{3}-4)\sin x+2-2\sqrt{3} =2\sin^2 x+(\sqrt{3}+4)\sin x+2\sqrt{3}$. 0,5pt
   2. Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l’équation : $-2\cos^2 x+(\sqrt{3}-4)\sin x+2-2\sqrt{3}=0$. 0,5pt
   3. Placer les solutions sur le cercle trigonométrique. 0,5pt

Problème (12 pts)

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A (Unité : cm)

$ABC$ est un triangle en $C$ tel que $BC=2$ et $AC=3$. $I$ est le barycentre du système : $I=\mathrm{Bar}\{(A,2);(B,5);(C,-3)\}$. $J$ est le point du plan tel que : $\overrightarrow{BJ}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}$.

1. Montrer que les points $I$ est barycentre des points $B$ et $C$ affectés des coefficients que l’on déterminera. 1pt
2. Démontrer que les points $A$, $I$ et $J$ sont alignés. 1pt
3. 1. Placer les points $I$ et $J$. 1pt
   2. Donner la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble $(C)$ des points $M$ du plan tel que $AM^2+JM^2=35$. 1pt
   3. Tracer $(C)$. 1pt

Partie B

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ f(x)=\dfrac{x^2+7x+10}{x+1} $$ et on note $(C_f)$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j}) (unités : $1\text{ cm}$ par axe).

1. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que : $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+1}$ pour $x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$. 1pt
2. Étudier les limites de $f$ en $-1$ puis déduire que la courbe $(C_f)$ admet une asymptote verticale $(D)$ dont on précisera une équation. 1pt
3. Étudier les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. $(C_f)$ admet-elle une asymptote horizontale ? 1pt
4. Démontrer que la droite $(\Delta)$ d’équation $y=x+6$ est asymptote oblique à la courbe $(C_f)$ et préciser la position relative de $(C_f)$ et de $(\Delta)$. 1pt
5. Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$, calculer sa dérivée $f'$ et étudier son signe. En déduire le tableau de variation de $f$. 2pts
6. Déterminer les équations des tangentes $T_{-2}$ et $T_{-3}$ aux points de la courbe d’abscisses respectives $-2$ et $-3$. 2pts
7. Tracer dans le repère $(D)$, $(\Delta)$ et $(C_f)$. 1pt
8. Montrer que le point $\Omega(-1;-5)$ est centre de symétrie pour la courbe $(C_f)$. 1pt

II-

Ci-dessous est donnée la courbe $(C_g)$ représentant une fonction $g$ définie et dérivable sur l’intervalle $[1;6]$.

1. Par lecture graphique, donner sans justifier la valeur de : $g(3)$ ; $g'(3)$ ; $g(6)$ ; $g'(6)$.
2. Le graphique ne permet pas la lecture de $g'(4)$. Préciser son signe. Justifier votre réponse.

EVALUATION DES COMPETENCES (4,5 points)

Situation :

• Lors des évaluations de fin d’une séquence, on constate que $25$ élèves ont eu au moins $10/20$ en Maths, $35$ en Physiques et $45$ élèves dans l’une ou l’autre des deux matières. On désigne par $x$, $y$ et $z$ le nombre d’élèves qui ont respectivement eu au moins $10/20$ en maths exclusivement, en Physiques exclusivement et dans les deux matières.
• $5$ élèves de cette classe dont $2$ filles sont candidats à l’élection d’un bureau constitué d’un Chef de classe, d’un Chef-Adjoint et d’un Délégué. On admet qu’il n’y a pas de cumul.

1. Justifier que $x$, $y$ et $z$ vérifient le système suivant :
   $$ \begin{cases} x+y+z=45\\ x+z=25\\ z+y=35 \end{cases} $$
   et en déduire les valeurs de $x$, $y$ et $z$. 1,5pt
2. Combien peut-on avoir de bureaux ayant une seule fille au poste de Chef ? 1,5pt
3. Combien peut-on avoir de bureaux ayant un homme comme Délégué ? 1,5pt