1ère D : séquence 3 en maths

EXERCICE 1 / 5 points

1. 1. Démontrer que pour tout nombre réel $a$ : $\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$. 1 pt
   2. Calculer $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$. 1 pt
   3. Sans faire de calculs, en déduire les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$. 0,5 pt
2. En remarquant que $\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$, calculer $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$. 0,5 pt
3. On donne l’expression : $A=\sin^4\left(\dfrac{\pi}{16}\right)+\sin^4\left(\dfrac{3\pi}{16}\right) +\sin^4\left(\dfrac{5\pi}{16}\right)+\sin^4\left(\dfrac{7\pi}{16}\right)$.

   En remarquant que $\dfrac{\pi}{16}$ et $\dfrac{7\pi}{16}$ d’une part, $\dfrac{3\pi}{16}$ et $\dfrac{5\pi}{16}$ d’autre part sont complémentaires et que $a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-\dfrac{1}{2}(2ab)^2$, montrer que $A=\dfrac{3}{2}$.

   2 pts

EXERCICE 2 / 5 points

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation suivante : $\cos 3x - \cos 2x = 0$. On représentera les images des solutions sur le cercle trigonométrique. 2 pts
2. 1. Exprimer $\cos 3x$ et $\cos 2x$ en fonction de $\cos x$. 1 pt
   2. En posant $\cos x=y$, former l’équation en $y$, montrer que cette équation admet la racine $y=1$ et calculer les deux autres racines. 1 pt
3. Utiliser les résultats précédents pour calculer les valeurs exactes de : $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)$ et $\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$. 1 pt

PROBLÈME / 10 points

On considère les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par : $f(x)=x^2+2x-3$ ; $g(x)=-x+1$ et $h(x)=\dfrac{2x+1}{x+1}$.

1. 1. Montrer que $h$ est une bijection de $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ vers $\mathbb{R}\setminus\{2\}$. 2 pts
   2. Sans calculer $h\circ g$, déterminer l’ensemble de définition de $h\circ g$. $h\circ g$ est-elle bijective ? Pourquoi ? 1 pt
2. $(P)$ est la parabole d’équation $y=x^2+2x-3$, $(D)$ est la droite d’équation $y=g(x)$ et $(H)$ est l’hyperbole d’équation $y=h(x)$.
   1. Déterminer les coordonnées du sommet $A$ de la parabole $(P)$ et dresser les variations de $f$. 1 pt
   2. Montrer que la droite $(D)$ d’équation $y=-1$ est axe de symétrie de la parabole $(P)$ et que le point $\Omega(-1;2)$ est centre de symétrie de l’hyperbole $(H)$. 2 pts
3. 1. Construire $(P)$ et $(D)$ dans le même repère orthonormé $(O;I;J)$. 1 pt
   2. Dans ce repère précédent, tracer les droites $y=2$ et $x=-1$, et dans le nouveau repère $(\Omega;I;J)$ tracer la courbe représentative de la fonction $k(x)=-\dfrac{1}{x}$.

      Que remarques-tu ? Pourquoi ?

      1,5 pt
4. Déterminer graphiquement les coordonnées des points $B$ et $C$ communs à la parabole $(P)$ et à la droite $(D)$, et des points $E$ et $F$ communs à la droite $(D)$ et à l’hyperbole $(H)$. 1 pt

EXERCICE 1 : Dénombrement (3 pts)

1. Résoudre dans $\mathbb{N}$ l’inéquation suivante : $A_n^2 + 34 = A_{20}^2$. 0,75 pt
2. Un sac contient 3 boules vertes, 4 boules rouges et 5 boules blanches indiscernables au toucher. On extrait au hasard et simultanément trois boules du sac.
   1. Quel est le nombre de tirages possibles ? 0,5 pt
   2. Quel est le nombre de possibilités d’obtenir :
      1. Uniquement des boules de couleur rouge ? 0,5 pt
      2. Trois boules de couleurs différentes ? 0,5 pt
      3. Au moins deux boules blanches ? 0,75 pt

EXERCICE 2 : Trigonométrie 4,75 pts

1. Déterminer la mesure principale des angles suivants : $\alpha=\dfrac{17\pi}{3}$ et $\beta=-\dfrac{193\pi}{4}$. 0,5 pt
2. On veut résoudre l’équation : $\sin^4 x+\cos^4 x=\dfrac{3}{4}$.
   1. Montrer que $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$. 0,25 pt
   2. Exprimer $\sin x\cos x$ en fonction de $\sin 2x$. 0,25 pt
   3. En déduire que : $\sin^4 x+\cos^4 x=1-\dfrac{1}{2}\sin^2 2x$. 0,5 pt
   4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $\sin^4 x+\cos^4 x=\dfrac{3}{4}$. 0,75 pt
3. On considère l’équation $(E)$ : $4\sin^2 x+2(\sqrt{2}-\sqrt{3})\sin x-\sqrt{6}=0$.
   1. Vérifier que : $\sqrt{5}+2\sqrt{6}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$. 0,25 pt
   2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $4t^2+2(\sqrt{2}-\sqrt{3})t-\sqrt{6}=0$. 0,75 pt
   3. En déduire les solutions dans $[0;2\pi]$ de l’équation $(E)$. 1 pt
   4. Placer sur le cercle trigonométrique les images des solutions de $(E)$. 0,5 pt

PROBLÈME : Barycentres et Généralités sur les fonctions

PARTIE A 4 pts

Soient les fonctions $h$ et $g$ définies par : $h$ de $\mathbb{R}\setminus\{4\}$ vers $\mathbb{R}\setminus\{3\}$ par $h(x)=\dfrac{3x+5}{x-4}$ et $g(x)=3x^2-6x$.

1. Montrer que le point $\Omega(4;3)$ est centre de symétrie de la courbe $(C_h)$. 0,75 pt
2. Montrer que $h$ est une bijection et déterminer sa bijection réciproque $h^{-1}$. 0,75 pt
3. Expliquer comment on peut construire la courbe $(C_{h^{-1}})$ à partir de la courbe de $h$. 0,25 pt
4. Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x\in D_h$, on ait : $h(x)=a+\dfrac{b}{x-4}$. 0,5 pt

1. Étudier la parité de la fonction $g$. 0,5 pt
2. Montrer que la droite $(\Delta)$ d’équation $x=1$ est axe de symétrie de $(C_g)$. 0,5 pt
3. Déterminer $D_{f\circ g}$ et calculer $(f\circ g)(x)$ en fonction de $x$. 0,75 pt

PARTIE B 1,75 pts

$ABC$ est un triangle. On désigne par : $D$ le symétrique de $B$ par rapport à $A$, $I$ le milieu de $[AC]$, $J$ le point tel que $\overrightarrow{BJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$ et $K$ le point tel que $\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.

1. Faire la figure. 0,5 pt
2. Démontrer que les points $D$, $I$ et $J$ sont alignés. 0,5 pt
3. Démontrer que les droites $(AJ)$, $(BI)$ et $(CK)$ sont concourantes. 0,75 pt

PARTIE C 3,25 pts

Le plan est muni du repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. On considère les points $A(1;4)$, $B(1;1)$ et $C(-3;1)$.

1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. 0,25 pt
2. $(\mathcal{C})$ désigne le cercle circonscrit au triangle $ABC$.
   1. Montrer qu’une équation cartésienne de $(\mathcal{C})$ est : $x^2+y^2+2x-5y+1=0$. 0,75 pt
   2. En déduire une représentation paramétrique de $(\mathcal{C})$. 0,5 pt
3. On considère l’ensemble $(\mathcal{C}_1)$ des points $M$ du plan tels que : $4MA^2+5MB^2+3MC^2=72$.
   1. Déterminer les coordonnées de $G$, barycentre des points $(A,4)$, $(B,5)$ et $(C,3)$. 0,25 pt
   2. Calculer les distances $GA^2$, $GB^2$ et $GC^2$. 0,75 pt
   3. Montrer que $(\mathcal{C}_1)$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 0,75 pt

PARTIE D 3,25 pts

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O,I,J)$. $A$, $B$ et $C$ sont trois points du plan tels que $A(3;0)$, $B(-3;1)$ et $C(1;0)$. Soit $I$ le milieu de $[AB]$, $G_m$ le barycentre du système $\{(A,m);(B,2);(C,4)\}$.

1. Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles $G_m$ existe. 0,25 pt
2. Déterminer la valeur de $m$ pour que $G_m$ soit le milieu du segment $[IC]$. 0,5 pt
3. On pose $\vec{u}=\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}$ et $m=2$.
   1. Montrer que $\vec{u}=8\overrightarrow{MG_2}$. 0,5 pt
   2. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble $(E)$ des points $M$ tels que $|\vec{u}|=24$. 0,5 pt × 2
4. Soit $(F)$ l’ensemble des points $M(x;y)$ du plan tels que : $\vec{u}\cdot\overrightarrow{MC}=0$.
   1. Montrer que $G_2$ a pour coordonnées $(1;2)$. 0,5 pt
   2. Déterminer une équation cartésienne de $(F)$. 0,5 pt

Exercice 1 [4 points]

On donne la fonction $f$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par : $f(x)=\dfrac{1-\cos 2x}{\sin 2x}$.

1. Déterminer l’ensemble de définition $D_f$ de $f$. 1 pt
2. Exprimer $f(x)$ en fonction de $\cos x$ et $\sin x$. 1 pt
3. 1. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)$. 1 pt
   2. La fonction $f$ est-elle prolongeable par continuité en $x_0=0$ ? Si oui, définir la fonction de prolongement par continuité de $f$ en $x_0=0$. 1 pt

Exercice 2 [6 points]

I- $A$ et $B$ sont deux points distincts du plan tels que $AB=9\,\text{cm}$.

Soit $K$ le point défini par $\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ et $M$ un point quelconque du plan.

1. Montrer que $K$ est le barycentre des points pondérés $(A,2)$ et $(B,1)$. 0,5 pt
2. Établir que : $2MA^2+MB^2=3MK^2+\dfrac{2}{3}AB^2$. 1 pt
3. Déterminer et construire l’ensemble $(\mathcal{E})$ des points $M$ du plan tels que : $2MA^2+MB^2=81$. 1 pt

II- On considère l’équation $(E)$ : $2x^2-3x-2=0$.

4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E)$. 0,5 pt
5. 1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(E')$ : $\dfrac{-3\cos 2x+6}{\cos 2x-2}=2\cos 2x-2$. 1 pt
   2. Représenter les points images des solutions de $(E')$ sur le cercle trigonométrique et calculer le périmètre du polygone dont les sommets sont ces points. 1 pt × 2

Problème [10 points]

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$. On considère la fonction rationnelle $f$ définie par : $f(x)=\dfrac{3x^2+ax+bx}{x^2-1}$.

1. Déterminer le domaine de définition $D_f$ de $f$. 1 pt
2. Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la courbe représentative $(\mathcal{C})$ de $f$ soit tangente au point d’abscisse $0$ à la droite d’équation $y=4x+3$. 2 × 1 pt
3. Soit la fonction $g$ définie par : $g(x)=\dfrac{3x^2+4x-3}{x^2-1}$.
   1. Démontrer que : $g(x)=3+\dfrac{4x}{x^2-1}$. 1 pt
   2. Étudier les variations de $g$. 2 pts
   3. Démontrer que le point $I(0;3)$ est un centre de symétrie de la courbe $(\mathcal{C}_g)$ de $g$. 1 pt
   4. Tracer $(\mathcal{C}_g)$ et sa tangente au point $I$. 2 pts
   5. En déduire la courbe $(\mathcal{C}')$ de la fonction définie par $h(x)=-g(x)$. 1 pt

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES 15,5 points

Exercice 1 : ÉQUATION DANS $\mathbb{R}$ 03,5 points

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $x^2+102x-535=0$. 1 pt
2. On place une somme de 200 000 Frs à un taux annuel de $x\%$. Après un an, on retire le capital placé et les intérêts qu’il a produits pour replacer le tout à un taux annuel de $(x+2)\%$. L’intérêt produit au cours de cette deuxième année est alors de 14 700 Frs.
   1. Montrer que $x$ est solution de l’équation : $x^2+102x-535=0$. 2 pts
   2. En déduire alors la valeur de $x$. 0,5 pt

Exercice 2 : GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 04 points

Soit $f$ la fonction de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par : $f(x)=\dfrac{2}{x}$. On désigne par $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.

1. 1. Donner l’ensemble de définition de la fonction $f$. 0,25 pt
   2. Quelle est la parité de $f$ ? 0,25 pt
   3. Représenter soigneusement l’hyperbole $(C)$. 0,75 pt
2. On considère la fonction $g$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par : $g(x)=\dfrac{3x+1}{x+1}$. On désigne par $(C')$ la courbe de la fonction $g$.
   1. Démontrer que le point $A(-1;3)$ est un centre de symétrie pour la courbe $(C')$. 0,5 pt
   2. Déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que, pour tout $x\ne -1$, $g(x)=\dfrac{\alpha}{x+1}+\beta$. 0,5 pt
   3. Expliquer comment obtenir la courbe $(C')$ à partir de la courbe $(C)$. 0,25 pt
   4. Construire soigneusement dans le même graphique $(C)$ et $(C')$. 0,75 pt
3. Démontrer que $g$ réalise une bijection de $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ vers $\mathbb{R}\setminus\{3\}$ puis déterminer clairement $g^{-1}$. 0,75 pt

Exercice 3 : TRIGONOMÉTRIE ET CERCLE DU PLAN 04 points

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.

1. Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l’équation : $2\cos t-2\sin t=2$. 1,5 pts
2. On considère l’ensemble $(C)$ des points $M$ de coordonnées $(x;y)$ tels que :

   $\begin{cases} x=2\cos t-2\\ y=2\sin t \end{cases} \quad \text{où } t \text{ est un nombre réel.}$

   1. Donner la nature de $(C)$ et ses éléments caractéristiques. 0,75 pt
   2. Donner une équation cartésienne de $(C)$. 0,5 pt
   3. Déterminer l’ensemble des points $M(x;y)$ appartenant à la fois à $(C)$ et à la droite $(D)$ d’équation cartésienne $y=x$. 0,75 pt
   4. La droite $(D)$ est-elle tangente à $(C)$ ? Justifier la réponse. 0,5 pt

Exercice 4 — LIMITES ET CONTINUITÉ 04 points

1. Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}$.

   Déterminer le domaine de définition de $f$ ainsi que les limites aux bornes de $D_f$.

   2 pts
2. Démontrer que l’équation $3x^4-8x^3+6x^2-3=0$ admet au moins une solution dans l’intervalle $[0;2]$. 1 pt
3. Soit la fonction $g(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}-3}{x-8}$ et $x_0=8$. Calculer la limite de $g$ en $x_0$ et préciser si $g$ admet en $x_0$ un prolongement par continuité. 1 pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES 04,5 points

M. Aladji Bouba est un grand éleveur dans la région de l’Adamaoua ; il possède une grande réserve qu’il a séparée en trois parties comme l’indiquent les figures ci-dessous.

Sur la parcelle 1 ayant la forme d’un carré $(ABCD)$ il élève de la volaille, sur la parcelle 2 ayant la forme d’un cercle il élève des chèvres et sur la parcelle 3 ayant la forme d’un triangle rectangle $PQN$ il élève des moutons. Il aimerait entourer chacune de ses parcelles de fils de fer électriques qui coûtent 1000 Frs le mètre.

La parcelle 1 est telle que le cercle $(C)$ est le cercle trigonométrique et les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont les points images des solutions dans $]-\pi;\pi]$ de l’équation trigonométrique : $4\cos^2 x-1=0$ (on prendra $100\,\text{m}=1$ unité).

La parcelle 2 représente un cercle où la droite $(LK)$ est axe de symétrie de ce cercle tel que tout point $M$ de ce cercle vérifie : $ML^2-4MK^2=0$ avec $LK=15\,\text{m}$.

La parcelle 3 a la forme d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure $72{,}5\,\text{m}$ et dont l’aire est de $429\,\text{m}^2$.

Combien dépensera Aladji Bouba pour l’achat de fils de fer électrique nécessaire pour :

1. Tâche 1 : entourer la parcelle 1. 1,5 pt
2. Tâche 2 : entourer la parcelle 2. 1,5 pt
3. Tâche 3 : entourer la parcelle 3. 1,5 pt

Évaluation des ressources

Exercice 1 4,5 pts

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $x^2-5x+6=0$. 0,5 pt
2. On considère le polynôme $p$ défini par : $p(x)=x^3-(5+\sqrt2)x^2+(6+5\sqrt2)x-6\sqrt2$.
   1. Montrer que $\sqrt2$ est une racine de $p$. 0,5 pt
   2. Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout réel $x$ : $p(x)=(x-\sqrt2)(ax^2+bx+c)$. 0,75 pt
   3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $p(x)>0$. 1 pt
3. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ par la méthode du pivot de Gauss le système : 1 pt

   $(S)\; \begin{cases} x+2y+2z=2\\ -x+3y+2z=0\\ 2x+y-2z=1 \end{cases}$

4. En déduire les solutions du système : 0,75 pt

   $(S')\; \begin{cases} x^2+2y+2z=2\\ -x^2+3y+2z=0\\ 2x^2+y-2z=1 \end{cases}$

Exercice 2 4,25 pts

1. Soit $m$ un réel, $A$ et $B$ deux points du plan. Déterminer les valeurs de $m$ pour que le barycentre des points $(A,2m^2)$ et $(B,m+1)$ existe. 0,75 pt
2. $ABC$ est un triangle. On note $B'$ et $C'$ les milieux respectifs de $[AB]$ et $[AC]$. Les points $E$ et $F$ sont définis par : $\overrightarrow{AE}=\dfrac13\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AF}=\dfrac13\overrightarrow{AC}$. Soit $G$ le barycentre des points pondérés $(A,2)$, $(B,1)$ et $(C,1)$.
   1. Faire la figure. 1 pt
   2. Démontrer que $G=\text{bar}\{(E,3),(C,1)\}$. 0,5 pt
   3. Démontrer que $G\in (FB)$. 0,5 pt
   4. Démontrer que $G$ est le milieu de $[B'C']$. 0,5 pt
   5. En déduire que les droites $(BF)$, $(CE)$ et $(B'C')$ sont concourantes. 1 pt

Exercice 3 4,5 pts

Parmi les courbes ci-dessous, une seule est la courbe d’une fonction. Identifier la et donner son ensemble de définition. 1 pt

(Courbes fournies ci-dessous)

2. Soit $b$ un réel. Démontrer que si $b<2$ alors $\dfrac{b}{b-2}<1$. 0,75 pt
3. Soit $f$ la fonction définie de $]-\infty,1[$ vers $]-\infty,2[$ par : $f(x)=\dfrac{2x}{x-1}$.
   1. Montrer que le point $A(2;4)$ appartient à la courbe de $f$. 0,5 pt
   2. Montrer que $f$ est injective. 0,75 pt
   3. Montrer que $f$ est bijective. 0,75 pt
   4. Déterminer la bijection réciproque de $f$. 0,75 pt

Évaluation des compétences 6,75 pts

Monsieur Ngeuko a une réserve ayant la forme d’un rectangle dont le périmètre vaut $140\,\text{m}$ et l’aire vaut $1200\,\text{m}^2$ ; elle est subdivisée en deux zones comme l’indique la figure ci-dessous.

Dans la zone 1 il élève les moutons et dans la zone 2 de forme circulaire il élève les canards. Il répartit équitablement $30\,000\,\text{F}$ par mois aux employés pour l’entretien de sa réserve. Le mois passé, quatre employés étaient absents et les agents d’entretien ont reçu $1\,250\,\text{F}$ de plus sur leur salaire.

1. Déterminer les dimensions de cette réserve. 2,25 pts
2. Déterminer le montant reçu par chaque employé le mois passé. 2,25 pts
3. Déterminer le diamètre de la zone 2 pour que l’aire de la réserve et l’aire de la zone 2 soient respectivement proportionnelles aux nombres $\pi$ et $10$.

   Arrondir les résultats à l’ordre 1.

   2,25 pts

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES 15,5 points

EXERCICE 1 4,5 points

1. 1. Montrer que : $(\sqrt{3}-1)^2 = 4-2\sqrt{3}$. 0,25 pt
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $2x^2-(\sqrt{3}+1)x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0$. 0,75 pt
3. En déduire dans $[0;2\pi[$ l’ensemble solution de l’équation : $(E):\;2\cos^2 x-(\sqrt{3}+1)\cos x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=0$. 1,25 pt
4. Représenter les points images des solutions de $(E)$ sur un cercle trigonométrique. 0,75 pt
5. B) $E$ est un plan vectoriel réel euclidien orienté dont une base orthonormée directe est $\mathcal{B}=(\vec{i},\vec{j})$.

   On considère le vecteur $\vec{u}=-\dfrac12\vec{i}+\dfrac{\sqrt3}{2}\vec{j}$ et $\theta\in[0;\pi]$ la mesure en radians de l’angle $(\vec{i},\vec{u})$.

   1. Calculer $\|\vec{u}\|$. 0,5 pt
   2. Calculer $\cos\theta$ et $\sin\theta$, puis en déduire $\theta$. 1 pt

EXERCICE 2 3 points

Deux villes $A$ et $B$ sont distantes de $46\,\text{km}$ ; le trajet $AB$ comporte un terrain plat, une montée et une descente. Un cycliste va de $A$ vers $B$ en $2\,\text{h}\,30\,\text{min}$ et revient de $B$ vers $A$ en $2\,\text{h}\,24\,\text{min}$.

On suppose que les vitesses moyennes du cycliste sur les trois portions sont respectivement $20\,\text{km/h}$, $12\,\text{km/h}$ et $30\,\text{km/h}$. On désigne par $x$ la longueur du terrain plat, $y$ celle de la montée et $z$ celle de la descente.

1. Montrer que les réels $x$, $y$ et $z$ sont solutions du système $(S)$ :

   $\begin{cases} x+y+z=46\\ 3x+5y+2z=150\\ 3x+2y+5z=144 \end{cases}$

   1,25 pt
2. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système $(S)$. 1,25 pt
3. En déduire la longueur de chacune des portions du trajet $AB$. 0,5 pt

EXERCICE 3 4 points

On donne deux points $A$ et $B$ du plan tels que $AB=5\,\text{cm}$. Soit $I$ le milieu de $[AB]$. On note $G$ le barycentre du système $\{(A,1);(B,2)\}$ et $H$ celui du système $\{(A,2);(B,1)\}$.

1. Construire les points $G$ et $H$. 0,5 pt
2. Démontrer que $G$ et $H$ sont symétriques par rapport à $I$. 0,5 pt
3. Soit $(\mathcal{E})$ l’ensemble des points $M$ du plan tels que : $(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB})\cdot (2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}) =\dfrac{299}{4}$.
   1. Déterminer deux réels $x$ et $y$ tels que, pour tout point $M$ du plan, on ait : $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=x\overrightarrow{MG}$ et $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=y\overrightarrow{MH}$. 1 pt
   2. Montrer que pour tout point $M$ du plan, on a : $\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{MH} =MI^2-\dfrac{25}{36}$. 1 pt
   3. Déduire des questions précédentes la nature de $(\mathcal{E})$. Construire l’ensemble $(\mathcal{E})$. 1 pt

EXERCICE 4 4 points

Soit les fonctions numériques suivantes : $f : [-3;3]\to\mathbb{R}$ et $g : [-1;5]\to\mathbb{R}$, définies par $x\mapsto x^2$ et $x\mapsto x^2-4x+5$. $(\mathcal{C})$ et $(\Gamma)$ sont respectivement les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.

1. Construire la courbe $(\mathcal{C})$. 0,5 pt
2. Vérifier que pour tout $x\in[-1;5]$, $g(x)=f(x-2)+1$. 0,5 pt
3. Comment peut-on déduire la courbe $(\Gamma)$ de la courbe $(\mathcal{C})$ ? 0,5 pt
4. Représenter la courbe $(\Gamma)$ dans le même repère que $(\mathcal{C})$. 0,75 pt

B) On considère la fonction $h$ définie par : $h(x)=\dfrac{x^2-x-1}{x-2}$. $(\mathcal{C}_h)$ est sa courbe représentative dans le repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.

1. Déterminer l’ensemble de définition de $h$. 0,25 pt
2. Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x\ne2$ : $h(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-2}$. 0,75 pt
3. Montrer que le point $S(2;3)$ est un centre de symétrie de $(\mathcal{C}_h)$. 0,75 pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES 4,5 points

Compétence visée : Reconnaissance et production des formes planes, détermination des mesures et des positions.

SITUATION

Aux extrémités $E$ et $F$ d’une perche de longueur $2$ mètres, deux seaux sont fixés, l’un de $20\,\text{kg}$ en $E$ et l’autre de $5\,\text{kg}$ en $F$ (voir figure 1). ISSA est un porteur d’eau et utilise ce dispositif pour livrer de l’eau dans un chantier qui fabrique deux types de plaques de plâtre : type 1 et type 2.

Chaque plaque de plâtre de type 1 a la forme d’un triangle rectangle dont l’aire est $\alpha_1=24\,\text{cm}^2$ et la valeur absolue de la différence des carrés des longueurs des côtés adjacents à l’angle droit est égale à $28\,\text{cm}^2$.

La plaque de plâtre de type 2 a la forme d’un trapèze $ABCD$ d’aire $180\,\text{cm}^2$.

Tâches

1. En quel point $G_1$ de la perche ISSA doit-il poser son épaule pour trouver l’équilibre ? 1,5 pt
2. Calculer les dimensions de la plaque de plâtre de type 1. 1,5 pt
3. Calculer les dimensions de la plaque de plâtre de type 2. 1,5 pt

Partie A : Évaluation des ressources 15 points

Exercice 1 4 points

On considère l’équation $(E)$ : $\sin 3x = \sin 2x$.

1. Résoudre $(E)$ dans l’intervalle $]-\pi;\pi]$, puis représenter les points images des solutions sur le cercle trigonométrique (unité graphique : $2\,\text{cm}$). 1,5 pt
2. 1. Démontrer que pour tout nombre réel $x$ : $\sin 3x = \sin x(4\cos^2 x - 1)$. 0,75 pt
   2. En déduire que l’équation $(E)$ est équivalente à : $\sin x(4\cos^2 x - 2\cos x - 1)=0$. 0,5 pt
   3. Quelles sont, parmi les solutions de $(E)$ trouvées à la question 1, celles qui sont solutions de : $(E'):\;4\cos^2 x - 2\cos x - 1 = 0$ ? 0,5 pt
3. 5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $4t^2 - 2t - 1 = 0$. 0,5 pt
   6. En déduire la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right)$. 0,25 pt

Exercice 2 3,75 points

$ABC$ est un triangle équilatéral de côté $4$. $D$ est le point du plan tel que : $3\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=\vec{0}$.

1. Démontrer que $D$ est le barycentre des points $A$, $B$ et $C$ affectés des coefficients $2$, $-1$ et $2$ respectivement. 0,5 pt
2. $I$ étant le milieu de $[AC]$, démontrer que $D$ est le barycentre des points $B$ et $I$ affectés des coefficients que l’on déterminera. 0,5 pt
3. En déduire que $D$ appartient à la médiatrice de $[AC]$. 0,25 pt
4. Vérifier que : $AD^2 = CD^2 = \dfrac{49}{8}$ et $BD^2 = \dfrac{192}{49}$. 0,75 pt
5. On considère l’ensemble $(E)$ des points $M$ du plan tels que : $2MA^2 - MB^2 + 2MC^2 = 16$.
   1. Vérifier que le centre de gravité $O$ de $ABC$ appartient à $(E)$. 0,5 pt
   2. Déterminer l’ensemble $(E)$ puis le construire. 1,25 pt

Exercice 3 3,5 points

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;I;J)$. On considère la fonction $f$ définie de $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ vers $\mathbb{R}\setminus\{3\}$ par : $f(x)=\dfrac{3x-5}{x-2}$. $C$ est sa représentation graphique. On note $H$ l’hyperbole d’équation $y=\dfrac{1}{x}$.

1. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x\neq2$ : $f(x)=a+\dfrac{b}{x-2}$. 0,5 pt
2. Montrer que $f$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque $f^{-1}$. 1 pt
3. Montrer que le point $A(2;3)$ est un centre de symétrie de $C$. 0,75 pt
4. Tracer la courbe $H$. 0,5 pt
5. Déduire la représentation graphique de $C$. 0,75 pt

Exercice 4 3,75 points

Une urne contient $5$ boules portant les numéros suivants : $-1$, $-\sqrt{2}$, $0$, $1$, $\sqrt{2}$. On tire successivement et avec remise $2$ boules de cette urne et on note les numéros des boules tirées.

1. Déterminer le nombre de tirages possibles. 0,5 pt
2. Déterminer le nombre de tirages dans les cas suivants :
   1. La somme des numéros obtenus est égale à $0$. 0,5 pt
   2. Le produit des numéros obtenus est nul. 0,75 pt
   3. La première boule tirée porte le numéro $1$. 0,5 pt
   4. On note $a$ le numéro de la première boule et $b$ celui de la deuxième boule. Déterminer $a$ et $b$ pour que l’équation $ax+b=0$ ait pour solution $\sqrt{2}$. 0,75 pt
   5. On note $E$ l’équation : $4x^2-\sqrt{2}x-1=0$. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $E$. 0,75 pt

Partie B : Évaluation des compétences 5 points

Situation

Mr Kuate est un commerçant possédant un terrain rectangulaire dont une diagonale a pour longueur $75\,\text{m}$ et de superficie $2700\,\text{m}^2$ ; il ignore les dimensions exactes de son terrain. Il veut sécuriser son terrain avec trois tours de fil qui coûte $800\,\text{F}$ le mètre.

Il a aménagé deux espaces $A$ et $B$ dans ce terrain pour élever des porcs, des poules et des chèvres. L’espace $A$ est réservé pour l’élevage des poules et des chèvres et comporte $60$ têtes et $144$ pattes d’animaux. L’espace $B$ est réservé pour l’élevage des porcs. Le nombre de porcs est la somme de la moitié de celui des chèvres et du tiers de celui des poules, et le prix d’achat de chaque porc est $26\,500\,\text{F}$.

Pour aménager les deux espaces, il a recruté un certain nombre de maçons qui doivent se partager équitablement la somme de $57\,000\,\text{F}$ représentant leur paie. Le jour du travail, deux maçons sont absents et chacun des maçons restants a vu son dû augmenter de $2\,375\,\text{F}$.

Tâches

1. Déterminer la part de chaque maçon à la fin du travail. 1,5 pt
2. Déterminer le coût total des fils nécessaires à l’entourage du champ. 1,5 pt
3. Déterminer le coût total des porcs. 1,5 pt

PARTIE 1 : ÉVALUATION DES RESSOURCES 15,5 points

Exercice 1 5 points

1. On considère l’expression : $H(x)=2\cos^2 x-2\sin x\cos x-1$.
   1. Montrer que $H(x)=\cos 2x-\sin 2x$. 0,5 pt
   2. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $H(x)=a\cos(2x+b)$. 0,5 pt
   3. Résoudre dans l’intervalle $[0;2\pi]$ l’équation : $H(x)+1=0$. 1 pt
   4. Représenter les images des solutions sur le cercle trigonométrique. 1 pt
   5. Résoudre dans $[0;2\pi]$ l’inéquation : $H(x)<-1$. 0,75 pt
2. Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système suivant : 1,25 pt

   $\begin{cases} 2x+3y+z=1\\ 3x+2y+z=5\\ 2x+y+3z=11 \end{cases}$

Exercice 2 5,75 points

Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions définies par : $f(x)=\dfrac{1}{x}$, $g(x)=\dfrac{2x-1}{x-1}$ et $h(x)=\sqrt{x^2-4x+1}$.

1. Déterminer le domaine de définition $D_g$ de la fonction $g$, puis calculer les limites aux bornes de $D_g$. 0,25 pt + 1 pt
2. Déterminer les équations des asymptotes à la courbe $(C_g)$ de $g$. 0,75 pt
3. Étudier la continuité de $g$ en $2$. 0,25 pt
4. 1. Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $g(x)=\alpha+\dfrac{\beta}{x-1}$, puis exprimer $g(x)$ en fonction de $f(x)$. 0,5 pt + 0,5 pt
   2. En déduire le programme de construction de la courbe $(C_g)$ de la fonction $g$ à partir de celle de $f$. 0,5 pt
5. Donner l’expression explicite de $(f\circ g)(x)$. 0,5 pt
6. Montrer que le point $A(1;2)$ est centre de symétrie de la courbe $(C_g)$ de $g$. 0,75 pt
7. Déterminer le domaine de définition de $h$. 1,25 pt

Exercice 3 4,75 points

I-
$ABC$ est un triangle rectangle et isocèle en $A$. $I$ est le milieu du segment $[BC]$. On donne $AB=4\,\text{cm}$.

1. 1. Déterminer et construire le barycentre $D$ des points $(A,-1)$ ; $(B,1)$ et $(C,1)$. 1 pt
   2. Démontrer que le quadrilatère $ABDC$ est un carré. 0,75 pt
2. 1. Déterminer l’ensemble $(C)$ des points $M$ du plan tels que $MB^2+MC^2=24$. 1 pt
   2. Tracer $(C)$ sur la figure précédente. 0,5 pt

II-
On donne le segment $[AB]$ tel que $AB=12$.

Déterminer et tracer l’ensemble des points $M$ du plan tels que : $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AB}=-12$. 1,5 pt

NB : Dans cet exercice les parties I et II sont indépendantes.

PARTIE 2 : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES 4,5 points

Une station d’essence affiche les prix suivants à la pompe par litre : Gasoil : $450$ FCFA ; Pétrole : $350$ FCFA ; Essence : $630$ FCFA.

Pour un montant total de $54\,250$ FCFA, un marchand remplit trois bidons : l’un avec de l’essence, l’autre avec du gasoil et le dernier avec du pétrole. Le bidon de gasoil contient $15$ litres de plus que celui du pétrole. La quantité totale des trois bidons est de $105$ litres.

Ce marchand, de retour chez lui, veut fabriquer un jouet de forme rectangulaire pour son enfant et aimerait que la longueur dépasse la largeur de $3$ m et que cette longueur soit un entier ; il souhaite également que la surface soit plus petite ou égale à $4\,\text{m}^2$.

Les trois pompes de la station sont positionnées aux points $G$, $P$ et $E$ respectivement pour les pompes à gasoil, à pétrole et à essence, et ces trois points sont situés à égale distance l’un de l’autre ; la distance séparant deux points est de $4$ m. Un actionneur de cette station veut mettre sur pied un dépôt de bouteilles à gaz situé en un point $M$.

Plusieurs idées lui passent par la tête : le point $M$ doit être équidistant des points $G$ et $E$ ; $GPEM$ est un quadrilatère convexe ; la distance du point $P$ au point $M$ doit être égale à $9$ m.

1. Déterminer les capacités respectives de chacun des trois bidons. 2 pts
2. Déterminer la longueur du jouet que fabrique le marchand à son enfant. 1 pt
3. Construire le point $M$ du dépôt de bouteilles à gaz. 1,5 pt

Exercice 1

Les parties A, B, C, D et E sont indépendantes.

A/ $A$ et $B$ sont deux points distincts du plan. Déterminer et construire le lieu des points $M$ du plan tels que : $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=1$.

B/ $PQR$ est un triangle tel que les angles $(\overrightarrow{QP},\overrightarrow{QR})$ et $(\overrightarrow{PR},\overrightarrow{RQ})$ ont respectivement pour mesures $-\dfrac{5\pi}{2}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$.

1. Déterminer les mesures principales des angles orientés suivants : $(\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR})$, $(\overrightarrow{PR},\overrightarrow{RQ})$, $(\overrightarrow{QR},\overrightarrow{QP})$.
2. En déduire que le triangle $PQR$ est isocèle.

C/ En remarquant que $\dfrac{\pi}{8}=2\times\dfrac{\pi}{16}$, démontrer que : $\cos\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$ et $\sin\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$.

En remarquant que $\dfrac{3\pi}{8}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{8}$, calculer $\cos\dfrac{3\pi}{8}$ et $\sin\dfrac{3\pi}{8}$. Justifier ensuite graphiquement le signe de $\cos\dfrac{3\pi}{8}$ et $\sin\dfrac{3\pi}{8}$.

D/ Écrire $\cos 3x$ en fonction de $\cos x$ et $\sin 3x$ en fonction de $\sin x$.

Montrer que $\tan 3x=\dfrac{3\tan x-\tan^3 x}{1-3\tan^2 x}$.

E/ Résoudre dans $]-\pi;\pi[$ l’équation : $\cos x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{2}$.

Représenter les images des solutions sur le cercle trigonométrique.

Exercice 2

Soit $f$ une fonction dont le tableau de variations est le suivant :

1. Déterminer $D_f$.
2. $g$ est une autre fonction définie par : $g(x)=f(1-3x)$.
   1. Dresser le tableau de variation de $g$ et en déduire $D_g$.
   2. Déterminer le maximum et le minimum de $f$.
3. Déterminer les extremums relatifs de $f$ sur $[0;3]$.
4. Montrer que $f$ est bornée sur $[-4;6]$.

Exercice 3

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=\dfrac{2x-1}{x-1}$.

1. Déterminer $D_f$.
2. Montrer que pour tout $x\in D_f$, $f(x)=\dfrac{1}{x-1}+2$.
3. On pose $f(x)=\dfrac{1}{t}$. Déterminer $t(x-1)$.
4. Exprimer $f(x)$ en fonction de $t(x-1)$.
5. Écrire le programme de construction de la courbe $(C_f)$.
6. Construire $(C_f)$ dans le plan muni d’un repère $(O,\vec{i},\vec{j})$, d’unité $1\,\text{cm}$. $(C_f)$ est la courbe de $f$.
7. Donner la nature et les éléments caractéristiques de $(C_f)$.