D’abord, le PROBATOIRE C 2013 t’aide à réviser avec méthode sur Ndolomath. Ensuite, le PROBATOIRE C 2013 s’inscrit dans l’examen, selon la définition de l’examen. Puis, le PROBATOIRE C 2013 te montre les types de questions attendues le jour J. Enfin, le PROBATOIRE C 2013 te permet de t’entraîner en gérant mieux ton temps.
L’épreuve de mathématiques du PROBATOIRE C 2013
ACTIVITES NUMERIQUES :9 points
Exercice 1 :5 points
Dans le tableau ci-dessous, pour chacune des questions de la deuxième colonne de gauche, il vous est proposé trois réponses parmi lesquelles une seule est juste ; reproduire sur votre feuille de composition le numéro de la question et celui de la réponse juste correspondante.
| N° | Question | Réponse a) | Réponse b) | Réponse c) |
|---|---|---|---|---|
| 1° (1 pt) | Le plan vectoriel est rapporté à une base $(\vec{i},\vec{j})$ ; $f$ est l’endomorphisme du plan défini pour tout vecteur $\vec{u}(x,y)$ par $f(\vec{u})=(2x-2y)\vec{i}-(x+y)\vec{j}$. Le noyau est : | $\{\vec{0}\}$ |
La droite vectorielle de base $\vec{v}=\vec{i}-2\vec{j}$ |
La droite vectorielle de base $\vec{w}=-\vec{i}+\vec{j}$ |
| 2° (0,5 pt) | Le plan vectoriel est rapporté à une base $(\vec{i},\vec{j})$ ; la matrice de l’endomorphisme $f$ défini pour tout $\vec{u}(x,y)$ par $f(\vec{u})=(-x-y)\vec{i}+(x-y)\vec{j}$ est : | $\begin{pmatrix}-1 & -1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix}-1 & 1 \\ -1 & -1\end{pmatrix}$ | $\begin{pmatrix}1 & -1 \\ -1 & -1\end{pmatrix}$ |
| 3° (1 pt) | L’espace affine est rapporté au repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$. $P$ et $P’$ sont deux plans d’équations cartésiennes respectives $x-2y+z-2=0$ et $x+y+z+2=0$ ; les plans $P$ et $P’$ sont : | parallèles | perpendiculaires | confondus |
| 4° (1,5 pt) | $A$ et $B$ sont deux points du plan euclidien ; $I$ est le milieu de $[AB]$ ; $G$ le barycentre du système $\{(A,3);(B,-1)\}$. L’ensemble des points $M$ tels que $\left\lVert 3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right\rVert= \left\lVert \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right\rVert$ est : | Le cercle de diamètre $[GI]$ |
$\varnothing$ | La médiatrice de $[GI]$ |
| 5° (1 pt) | Le plan affine euclidien est rapporté au repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ ; le cercle $(C)$ d’équation cartésienne $3x+4y+11=0$ sont : | Sécants | Tangents | Disjoints |
Exercice 2 :4 points
1. Montrer que pour tout $x$ réel, $\cos x\sin x\cos 2x\cos 4x\cos 8x=\dfrac{1}{16}\sin 16x$. 1 pt
2. En déduire que $\cos\dfrac{\pi}{32}\sin\dfrac{\pi}{32}\cos\dfrac{\pi}{16}\cos\dfrac{\pi}{8}\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{16}$. 0,5 pt
3. On considère la fonction polynôme $p$ définie pour tout réel $x$ par $p(x)=2x^3+5x^2+x-2$.
(a) Calculer $p(-1)$ ; en déduire que $p(x)=(x+1)(ax^2+bx+c)$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels que l’on déterminera. 1 pt
(b) Résoudre alors l’équation: $2\sin^3 2x+5\sin^2 2x+\sin 2x-2=0$. 1,5 pt
Problème:11 points
Partie A8,5 points
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{x^2}{2x-2}$.
1. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition. 1 pt
2. Calculer la dérivée et dresser le tableau de variation de $f$. 2 pt
3. Montrer que la courbe $(C)$ représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$, admet une asymptote oblique et une asymptote verticale, dont on donnera les équations cartésiennes respectives. 1,5 pt
4. Tracer $(C)$ et ses asymptotes. 1,5 pt
5. Montrer que le point $K(1;1)$ est centre de symétrie de $(C)$. 1 pt
6. $m$ étant un paramètre réel, discuter graphiquement l’existence et le nombre de solutions de l’équation $x^2+2mx-2m=0$. 1,5 pt
Partie B2,5 points
On considère la suite numérique $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n\ge 2$ par la relation $u_{n+1}=\dfrac{u_n^2}{2(u_n-1)}$ avec $u_2=4$.
1. Calculer $u_3$, $u_4$ et $u_5$. 0,75 pt
2. Placer $u_2$, $u_3$, $u_4$ et $u_5$ sur le graphique de la fonction $f$. 1 pt
3. En déduire le sens de variation de $(u_n)$. 0,75 pt
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Épreuve de mathématiques — PROBATOIRE C 2013
Conclusion du PROBATOIRE C 2013
D’abord, PROBATOIRE C 2013 te rappelle d’écrire proprement et de justifier chaque résultat. Ensuite, Ndolomath t’encourage à relire l’énoncé avant de répondre aux questions. Puis, pense à gérer les points, en commençant par ce que tu maîtrises. Enfin, PROBATOIRE C 2013 devient plus abordable quand tu t’entraînes régulièrement.
